CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC . 50 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
2.1. Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12
2.1.3. Hoạt động 3: Hàm số mũ
Bài toán 2.5: (Bài toán lãi kép) Bài toán lãi kép tổng quát như sau: Một người vào ngân hàng gửi số tiền là P0 đồng, với lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r trong thời gian n kì. Tính Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. (Đơn vị của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày).
Lời giải
* Mục tiêu hoạt động:
- Tìm và thiết hàm số biểu thị Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
- Qua hoạt động này, học sinh rèn luyện được các kĩ năng sau đây:
65
+ Thiết lập hàm số mũ với bài toán lãi kép.
+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.
* Tiến trình hoạt động:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa):
Gọi số tiền người đó gửi ngân hàng là P0 (đồng)
Lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r, trong thời gian n kì.
Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là Pn (đồng).
Ta có:
+Ở cuối kì thứ nhất tiền lãi nhận được là P r0 và tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất là P P P r P1 0 0 01r
+Do lãi nhập vốn đến cuối kì thứ hai tiền lãi nhận được là Pr1 và tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ hai là
2
2 1 1 1 1 0 1 1 0 1
P P Pr P r P r r P r
+Một cách tổng quát, ta xây dựng được tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là Pn P01rn
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán):
Gọi số tiền người đó gửi ngân hàng là P0 (đồng).
Lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r, trong thời gian n kì.
Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì là Pn (đồng).
Ta có bảng sau:
66 Sau kì
thứ k
Số tiền lãi sau
mỗi kì Tổng giá trị đạt được sau mỗi kì k =1 P P r1 0. P P P r P1 0 0 01r
k = 2 P2 P r1. P2 P Pr1 1 P11rP01r1rP01r2
… … …
k = n P P rn n1. Pn P01rn
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch)
Bài toán lãi kép tổng quát : Một người vào ngân hàng gửi số tiền là P0 đồng, với lãi suất mỗi kì theo hình thức lãi kép là r trong thời gian n kì. Ta đi tìm Pn tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. Bài toán lãi kép xây dựng tổng giá trị đạt được bao gồm vốn và lãi theo hàm số mũ. Số tiền lãi thu được chính là số tiền vốn và lãi sau n kì hạn trừ đi số tiền vốn ban đầu.
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):
Trên thực tế, bài toán này được tổng quát hóa đưa về các thuật toán trong đầu tư lãi suất ngân hàng. Do lãi suất hàng năm không đổi nên nhà đầu tư sẽ càng lâu thì số tiền lãi nhận được càng lớn. Từ bài toán này có liên hệ với thực tiễn giúp học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức hàm số mũ để áp dụng vào thực tế.
* Phân tích kết quả hoạt động
Học sinh áp dụng kiến thức hàm số mũ để tìm ra công thức tổng quát về tổng giá trị đạt được trong bài toán lãi kép. Đây cũng là cách thức thực hiện xây
67
dựng hàm số mũ. Từ đó, học sinh có thể áp dụng vào các bài toán thực tế. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4.
Bài toán 2.6: (Bài toán trả góp ngân hàng) Xét bài toán tổng quát như sau:
Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả là r % một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần, nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoãn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x? biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi theo thời gian.
* Mục tiêu hoạt động:
- Tìm và thiết hàm số biểu thị x.
- Qua hoạt động này, học sinh rèn luyện được các kĩ năng sau đây:
+ Thiết lập hàm số mũ với bài toán trả góp ngân hàng.
+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.
* Tiến trình hoạt động:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa):
Gọi Pnlà số tiền còn lại sau tháng thứ n.
Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là a a r a . 1 r a d. với d 1 r
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là
1
1 1 P ad x ad xd
d
68 Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là
. . 1
a d x a d x r ad x r ad x d Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ hai là
2 2 2
2
1 1
1 P ad x d x ad x d ad xd
d
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là 1 1
n n
n
P ad xd d
Thay d 1 r ta được 1 n 1 n 1
n
P a r x r
r
Vì sau tháng thứ n thì người vay tiền trả được hết số tiền đã vay nên
1 1 1 .
0 1 0
1 1
n n
n
n n
r a r r
P a r x x
r r
Hình 2.9. Đồ thị hàm số mũ
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch)
Bài toán trả góp ngân hàng như sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả là r % một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần, nghĩa là tính lãi trên số tiền mà người vay còn nợ
69
ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoãn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Học sinh đi biểu diễn số tiền phải trả đều đặn vào ngân hàng hàm số mũ.
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):
Trên thực tế, bài toán này được tổng quát hóa đưa về các thuật toán mà chúng ta ít phải sử dụng trong cuộc sống. Song, bài toán này có liên hệ với thực tiễn giúp học sinh tìm tòi và khám phá kiến thức hàm số mũ để áp dụng vào thực tế.
* Phân tích kết quả hoạt động
Học sinh áp dụng kiến thức hàm số mũ để tìm ra công thức tổng quát về tổng giá trị đạt được trong bài toán trả góp ngân hàng. Đây cũng là cách thức thực hiện xây dựng hàm số mũ. Từ đó, học sinh có thể áp dụng vào các bài toán thực tế. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4.
Đối với chủ đề hàm số mũ, học sinh khám phá các bài toán thực tiễn bằng cách xây dựng hàm số mũ, hoạt động này có thể có nhiều tình huống khác với các bài toán đưa ra: tốc độ gia tăng dân số, chu kì bán rã, sự giảm giá tiền tệ,….