CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC . 50 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
2.1. Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12
2.1.1. Hoạt động 1: Chủ đề đồ thị hàm số
Bài toán 2.1: (Bài toán về cổng Arch): Khi du lịch đến thành phố Louis (Hoa Kì), ta sẽ thấy một cái cổng lớn đó là cổng Arch. Giả sử ta lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc 0 (x và y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ (10; 43).
a) Tìm hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Arch.
b) Tính chiều cao của cổng (tính từ đỉnh cao nhất trên cổng đến mặt đất, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Hình 2.1. Cổng Arch
* Mục tiêu hoạt động:
- Thiết lập hàm số có đồ thị biểu diễn hình dạng của cổng Arch (đường
51 parabol).
- Tính chiều cao của cổng (xác định tung độ đỉnh của parabol trên).
- Qua hoạt động này, giáo có thể rèn cho học sinh những kĩ năng sau đây:
+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị của hàm số bậc hai.
+ Đọc đồ thị hàm số bậc hai và nhận dạng được một số tình huống, hình ảnh trong thực tiễn có biểu diễn là đường parabol
* Tiến trình hoạt động:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa):giáo viên chia lớp thành các nhóm học sinh và yêu cầu các nhóm quan sát hình ảnh cổng Arch. Các nhóm thảo luận và đưa ra dự đoán rằng hình dạng cổng giống như một phần của đường parabol.
Sau đó, giáo viên yêu cầu các nhóm tìm dạng biểu diễn của parabol đó.
Các nhóm thảo luận để đưa ra cách xác định phương trình biểu diễn.
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán): Các nhóm HS dựa theo quan sát và các dữ kiện đề bài đưa ra để tìm dạng biểu diễn của parabol là một hàm số bậc hai.
Nhóm học sinh đã thảo luận và đưa ra hàm số cần tìm có dạng
2
f x ax bx c thỏa mãn điều kiện: f 0 c và
10 100 10 43
f a b ; f 162 162 2a 162b 0 hay có phương trình 162a b 0. Từ đó suy ra: a –0,028; 4,583. b
Tiếp theo, nhóm học sinh kết luận rằng: Hàm số cần tìm là
2
f x ax bxtrong đó a –0,028; 4,583. b
Sau đó, nhóm học sinh vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được và tìm chiều cao của cổng dựa vào đồ thị của hàm số như sau:
Hình 2.2. Đường parabol biểu diễn hình dạng cổng Arch
52
Cuối cùng, nhóm học sinh quan sát đồ thị vừa vẽ và rút ra kết luận: Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol, do đó:
h = f(162/2) = f(81) 188 (phút)
- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Khi dự đoán về hình dạng của cổng Arch, dựa theo số liệu thực tế và các kiến thức đã được học thì học sinh có thể dễ dàng tìm ra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabol. Nhóm học sinh biểu diễn đồ thị của hàm số trên và nhận xét về quỹ đạo chuyển động của quả bóng, về thời điểm quả bóng có độ cao lớn nhất, thời gian quả bóng chạm đất,...
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Trên thực tế có rất nhiều công trình được thiết kế có hình dạng tương tự như cổng Arch. Vì vậy, việc thiết kế và thi công các công trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng công trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra một số hình ảnh trên thực tế có hình dạng tương tự như hình dạng cổng Arch như: hình ảnh vòi phun nước, nhịp cầu, quỹ đạo chuyển động ném của vật,...
Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm hình học động để xác định phương trình đường parabol biểu diễn hình ảnh các hiện tượng trong thực tiễn.
53
Hình 2.3. Một số hình ảnh thực tế có hình dạng parabol
* Phân tích kết quả hoạt động:
Học sinh có thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh với các tình huống khác. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4 và rất hứng thú với dạng bài tập sưu tầm hình ảnh parabol trong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng sử dụng các phần mềm hình học động (như GeoGebra, Geometer’s Sketchpad,...).
Bài toán 2.2: (Xây dựng thân cầu) Một con sông rộng 500m, để tạo điều kiện cho người dân hai bên bờ sông giao lưu buôn bán, người ta cho cây cầu bắc qua sông theo hình dạng parabol: bề dày của cầu là 10cm, chiều rộng của câu là 4m, chiều cao tối đa của cầu là 7m so với mặt sông. Hãy xác định thể tích bê tông để xây dựng thân cầu.
* Mục tiêu hoạt động:
- Tìm được hàm số bậc hai biểu thị hình dạng cây cầu
- Tìm được thể tích bê tông để xây dựng thân cầu, dựa vào tích phân.
- Qua hoạt động này, học sinh được rèn luyện kĩ năng sau đây:
+ Thiết lập và biểu diễn đồ thị hàm số bậc hai
54
+ Kĩ năng đọc đồ thị hàm số bậc hai, xác định miền giời hạn của đồ thị để tính tích phân.
+ Kĩ năng mô tả tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.
* Tiến trình hoạt động:
- Giai đoạn 1 (Toán học hóa):
Xây dựng cây cầu theo hình dạng parabol, điểm xuất phát cách bờ 5m, điểm cao nhất của cầu cách chân cầu 2m như bản vẽ sau đây
Hình 2.4. Đường parabol biểu diễn hình dạng cây cầu
Đơn giản hóa bài toán ta chọn hệ trục tọa độ trùng với chân cầu như hình vẽ. Điểm O(0; 0); điểm A( 225, 2) và điểm B(510,0)
- Giai đoạn 2 (Giải bài toán):
Khi đó, hàm số y ax 2bx c
2 1
2 2
1 10 y ax bx y ax bx
Thay điểm A(225, 2) và B(510, 0) vào ta có hệ phương trình
55
2 2
255 225 2
510 510 0
a b
a b
2
2 255 4 255 a
b
Vậy hàm số 1 2 2 2 4
255 255
y x x và 2 2 2 4 1 255 255 10
y x
Diện tích chiều dày S của thân cầu là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y y1, 2và trục Ox
Do tính chất đối xứng nên ta chỉ tính diện tích S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y y1, 2 và trục Ox trong khoảng (0; 255).
Ta có:
0,1 255
2 1
0 0,1
2 4 1
2 2
255 255 10
S S x x dx dx
3 2 0,1 255
2 4 1
2 3.255 2.255 0 10 0,1
S x x x
Với cây cầu có bề dày không đổi nên ta có thể xem thể tích của cây cầu là thể tích của diện tích chiều dài và độ rộng của thân cầu
Suy ra V 4 S 204 m3
Vậy thể tích bê tông cần dùng là 204 mét khối.
Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch): Khi xây dựng về hình dạng của cây cầu, dựa theo số liệu thực tế và các kiến thức đã được học thì học sinh có thể dễ dàng tìm ra được hàm số bậc hai có đồ thị là đường parabol. Nhóm học sinh biểu diễn đồ thị của hàm số, sử dụng đồ thị hàm số và kết hợp tích phân để tính được thể tích bê tông cần để xây dựng cây cầu.
50,89 51 2
S m
56
- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế): Trên thực tế có rất nhiều công trình được thiết kế có hình dạng tương tự như cây cầu. Vì vậy, việc thiết kế và thi công các công trình sẽ được tính toán một cách cẩn thận vừa đảm bảo được chất lượng công trình lại mang lại tính thẩm mĩ cao. Giáo viên yêu cầu học sinh đưa ra một số hình ảnh trên thực tế có hình dạng tương tự như hình dạng cây cầu hình ảnh vòi phun nước, quỹ đạo chuyển động ném của vật,... Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phần mềm hình học động để xác định phương trình đường parabol biểu diễn hình ảnh các hiện tượng trong thực.
* Phân tích kết quả hoạt động:
Học sinh có thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh với các tình huống khác. Đặc biệt, học sinh áp dụng tích phân để tính được bề dày cây cầu. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4 và rất hứng thú với dạng bài tập sưu tầm hình ảnh parabol trong thực tiễn và thiết lập phương trình biểu diễn bằng sử dụng các phần mềm hình học động (như GeoGebra, Geometer’s Sketchpad,...), kết hợp tính thể tích bằng tích phân của chương sau trong chương trình lớp 12.
Như vậy, hoạt động mô hình hóa với chủ đề đồ thị hàm số phù hợp với đối tượng học sinh lớp 12, lời giải được thực hiện dựa trên các tri toán học mà học sinh đã học. Hoạt động này được tổ chức bằng cách nêu ra tình huống, giáo viên yêu cầu học sinh thực hiện: (1) Đưa hình ảnh thực tiễn về các dạng đồ thị đã học; (2) Chuyển đổi tình huống từ tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sang bài toán toán học;(3) Trình bày lời giải bài toán dựa trên tri thức toán học; (4) Từ kết quả toán học, học sinh đưa về đáp số cho tình huống có vấn đề thực tiễn, hiểu được ý nghĩa của mô hình đó và đối chiếu thực tế dựa trên hiểu biết về thế giới xung quanh của mình (có thể liên hệ với các hình ảnh tương tự trong cuộc sống).
57