Hoạt động 2: Chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC . 50 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC

2.1. Thiết kế hoạt động mô hình hóa trong dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12

2.1.2. Hoạt động 2: Chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 2.3: Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi, phải thực hiện lộ trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất? Biết rằng vận tốc vận động viên khi chạy trên bờ và bơi dưới nước lần lượt là 4,5m/s và 1,5 m/s.

Hình 2.5. Mô hình mô phỏng bài toán

Lời giải

* Mục tiêu hoạt động:

- Tìm hàm số biểu thị thời gian vận động viên chạy từ A đến C và bơi từ C về B.

- Tìm độ dài quãng đường AC vận động viên chạy để nhảy xuống bơi về đích nhanh nhất.

- Dựa vào bảng biến thiên để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

- Qua hoạt động này, học sinh rèn luyện được các kĩ năng sau đây:

+ Thiết lập hàm số, tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số.

+ Kĩ năng mô tả những tình huống thực tiễn bằng công cụ toán học.

58

* Tiến trình hoạt động:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa): Với lộ trình như hình vẽ, ta thấy quãng đường vận động viên chạy trên bờ là đoạn AC và bơi dưới nước về đến đích là đoạn CB. Như vậy, tổng quãng đường vận động viên sẽ đi là AC + CB.

Giả sử đặt AC x x  0. Khi đó, để tính quãng đường bơi từ C đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ. Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển là khác nhau. Muốn tìm quãng đường x thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất thì đi tìm giá trị nhỏ nhất của thời gian vận động viên đi từ A đến C và bơi từ C về B.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán):

Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc chạy điền kinh và bắt đầu bơi dưới nước. Đặt AC x 0 x 200

Khi đó, ta có 4,5

x (s) là khoảng thời gian vận động viên chạy từ A đến C

và quãng đường BC là 200x2 502 (m).

Suy ra ta có, thời gian vận động viên bơi từ điểm C đến đích B là

200 2 502

1,5

x 

(s)

Vậy tổng thời gian vận động viên chạy trên bờ và bơi dưới nước là

200 2 502

4,5 1,5

x x

T  

  (s)

Xét hàm số 200 2 502

( ) 4,5 1,5

x x

f x  

  với 0 x 200

59

Khi đó, bài toán ban đầu trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trong khoảng 0;200 . 

Ta có:  

 2  

2

2 2 200

' . , 0;200

9 3 200 50

f x x x

x

   

 

     2 2  2 2

0

' 0 3 200 200 50 8 200 50

400 25 2

182,22 2

f x x x x

x

        

   

Lâp bảng biến thiên

x 0 x0 

 

'

f x _ 0 +

 

f x f(x0)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

0;200    0

min 75,87

x f x f x

  

Vậy giá trị nhỏ nhất của quãng đường AC là 75, 87m.

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch):

Bài toán yêu cầu học sinh tìm quãng đường vận động viên chạy được bao xa thì nên nhảy xuống để bơi về đích nhanh nhất. Như vậy, học sinh đưa bài toán về bài toán giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất dựa vào các dữ kiện bài cho:

chiều dài, chiều rộng của bể, vận tốc chạy trên bờ, vận tốc bơi dưới nước,..Từ đó, sử dụng cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tìm được quãng đường chạy của vận động viên để nhảy xuống bơi về đích nhanh nhất.

60 - Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

Trên thực tế, vận động viên cần chạy phối hợp với bơi, để thực hiện lộ trình nhanh nhất thì người đó cần chạy một khoảng cách nhất định để có thể tiếp tục bơi về đích nhanh nhất. Học sinh áp dụng kiến thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số để tính toán.

* Phân tích kết quả hoạt động:

Học sinh có thể thiết lập được hàm số dựa vào dữ kiện của bài toán. Từ đó, học sinh tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo yêu của bài toán. Với bài toán như vậy, yêu cầu học sinh phải nắm được cách biểu diễn hàm số, tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất.

Bài toán 2.4: Một hộp mở với đế vuông được làm từ một miếng bìa cứng hình vuông 24 inch ở một bên bằng cách cắt ra một hình vuông từ mỗi góc và lật lên hai bên. ( 1inch = 2, 54cm)

a) Biểu diễn thể tích của hộp vuông thông qua độ dài của cạnh hình vuông được cắt từ mỗi góc.

b) Độ dài cạnh hình vuông được cắt từ mỗi góc có giá trị nào thì thể tích của hộp vuông là lớn nhất?

Hình 2.6. Mô hình bìa cứng được cắt trong bài toán 2.4

61 Lời giải

* Mục tiêu hoạt động:

- Dựng được mô hình hộp mở từ miếng bìa cứng.

- Học sinh biểu diễn được thể tích của hình vuông khi biết độ dài cạnh hình vuông được cắt từ mỗi góc.

- Tìm thể tích lớn nhất của hình vuông dựa vào bảng biến thiên của hàm số.

* Tiến trình hoạt động:

- Giai đoạn 1 (Toán học hóa):

Từ độ dài của cạnh hình vuông được cắt từ mỗi góc là x (inch) ta thiết lập được các giá trị sau:

+ Độ dài mặt đáy của hình hộp + Diện tích đáy của hình hộp + Thể tích của hình hộp

Ta đưa thể tích của hình hộp về hàm số f(x) và đi tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

- Giai đoạn 2 (Giải bài toán):

a) Ta gọi độ dài của cạnh hình vuông được cắt từ mỗi góc là x, đơn vị là inch.

Theo giả thiết thì độ dài của cạnh của hình vuông là mặt đáy của hình hộp bằng 24 2 . x

Ta có công thức tính thể tích hình hộp là V S h d. trong đó, Sd là diện

62 tích đáy và h là chiều cao của hình hộp.

Do đó, diện tích đáy của hình hộp là Sd 24 2 x2và chiều cao của hình hộp là x.

Từ đó, ta có thể tích hình hộp là V 24 2 x2.x4x396x2576x

b) Để Vmaxthì hàm số f x 4x396x2576x đạt giá trị lớn nhất với 0 x 24

Ta có: f x' 12x2 192x576

  4

' 0

12 f x x

x

 

    

Học sinh lập bảng biến thiên ta được:

x  4 12 

 

'

f x + 0 _ 0 +

 

f x 1024 

 0

Từ bảng biến thiên ta suy ra, độ dài cạnh của hình vuông cắt từ mỗi góc bằng 4 inch thì thể tích hình hộp có thể tích lớn nhất là 1024inch3

- Giai đoạn 3 (Hiểu và thông dịch)

Bài toán yêu cầu dựng một hộp vuông từ một bìa cứng hình vuông bằng cách cắt các góc của bìa cứng đó. Xác định hàm số biểu diễn thể tích hộp vuông theo độ dài cạnh của hình vuông được cắt từ góc. Từ đó, học sinh tìm độ dài cạnh của hình vuông cắt từ góc để hộp vuông có thể tích lớn nhất.

- Giai đoạn 4 (Đối chiếu thực tế):

63

Bài toán ứng dụng vào việc dựng các hộp vuông bằng cách cắt các góc của bìa cứng hình vuông đã cho và tính được thể tích của khối vuông đó. Học sinh có thể phát triển bài toán tương tự vào thực tiễn: tính bể chứa nước của gia đình, xây bể nước mưa có diện tích lớn nhất,…Các cạnh của hộp vuông lớn sẽ ảnh hưởng tới thể tích của hộp vuông đó. Trong thực tế, có nhiều vật dụng có dạng hình hộp chữ nhật: bao diêm, hộp sữa, hộp phấn,…Khi thiết kế, nhà sản xuất quan tâm đến việc thiết kế sao cho tiết kiệm nguyên liệu nhất, đựng được nhiều nhất (hay thể tích lớn nhất) và có tính thẩm mỹ cao.

Hình 2.7. Hình ảnh minh họa vật dụng hình hộp trong thực tế

* Phân tích kết quả hoạt động:

Học sinh có thể thiết lập công thức biểu diễn hàm số, vẽ và đọc đồ thị của hàm số, so sánh với các tình huống khác. Đặc biệt, học sinh áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số vào bài toán này. Với bài toán này, theo đánh giá hầu hết học sinh đều đạt được kĩ năng mô hình hóa ở cấp độ 4.

Như vậy, hoạt động 2 về chủ đề giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đối với hoạt động này, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc kiến thức về tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của hàm số. Đặc biệt, trước khi thực hiện tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, học sinh cần tìm yếu tố trọng tâm của bài toán, gọi

64

biến và biểu diễn các yếu tố theo biến, từ đó thiết lập được hàm số. Ngoài ra, học sinh cần kết hợp các kiến thức toán như công thức tính thể tích, công thức tính diện tích, quãng đường, vận tốc,….Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tình huống theo đúng quy trình của mô hình hóa toán học: (1) Toán học hóa:

Thiết lập biến số, biểu diễn các đại lượng của bài toán theo biến số. Tìm được đại lượng trọng tâm đưa về dạng tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số; (2) Giải bài toán: Dựa vào công cụ, tri thức toán học để giải toán (có thể sử dụng bảng biến thiên, các tìm giá trị lớn nhất trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng đoạn); (3) Hiểu và thông dịch: Hiểu được ý nghĩa của bài toán trong ngữ cảnh thực tế dựa trên kết quả thu được từ bài toán; (4) Đối chiếu thực tế: Đối chiếu kết quả bài toán dựa trên hiểu biết về thế giới xung quanh, có thể mở rộng bài toán mô hình hóa (ví dụ số mét vải để bọc quanh hộp bìa cứng,…). Ngoài ra, học sinh có thể tự xây dựng bài toán tính huống cho mình dựa vào các hoàn cảnh gặp trong cuộc sống ngày (ví dụ: xây dựng bể chứa nước sao cho ít tốn nguyên vật liệu nhất,…)