CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.3. Năng lực và cấp độ mô hình hóa toán học
1.1.3.1. Khái niệm năng lực và năng lực mô hình hóa toán học
Năng lực là một khái niệm thuộc một phạm trù tâm lí học. Nhiều chuyên gia trong nhiều lĩnh vực khác nhau như xã hội học, giáo dục học, triết học, tâm lí học hay kinh tế học đã cố gắng đưa ra định nghĩa năng lực. Hiện nay, khái niệm về “năng lực” vẫn còn chưa thống nhất trên phạm vi thế giới.
Năng lực là tổ hợp các thuộc tính mang tính cá nhân, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả [22].
Năng lực còn là “khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng, thái độ để thực hiện một cách phù hợp và có hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống” [13].
Năng lực trong chương trình giáo dục phổ thông tổng thể năm 2018 là
“thuộc tính cá nhân được hình thành phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập rèn luyện, cho phép con người huy động tập hợp các kiến thức, kĩ năng và thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành công một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong điều kiện cụ thể”[3].
Theo chương trình PISA năm 2015 cho rằng: năng lực toán học là khả năng cá nhân biết lập công thức (formulate), vận dụng (employ) và giải thích (explain) toán học trong nhiều ngữ cảnh. Nó bao gồm suy luận toán học và sử dụng các khái niệm, phương pháp công cụ toán học để mô tả, giải thích và dự đoán các hiện tượng. Nó giúp con người nhận ra vai trò của toán học trên thế
26
giới và đưa ra phán đoán, quyết định của công dân biết góp ý, tham gia và suy ngẫm” [28]. Hơn nữa, năng lực môn toán còn thể hiện ở việc sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ và phương tiện học toán, đặc biệt là các phương tiện khoa học công nghệ để tìm tòi, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.
Theo chương trình PISA đánh giá học sinh quốc tế theo 8 năng lực đặc trưng của toán học đó là: Tư duy và lập luận; suy luận và chứng minh toán học;
giao tiếp toán học; mô hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học; sử dụng công cụ tính toán[28].
Năng lực tư duy và suy luận toán học là năng lực được hình thành khi chúng ta đặt các câu hỏi đặc trưng như “có hay không..?, nếu như vậy, có bao nhiêu?... và biết loại câu trả lời để có thể giải đáp được những câu hỏi như vậy.
Ngoài ra, chúng ta cần hiểu và xác định được phạm vi cũng như các hạn chế của các khái niệm toán như định nghĩa mệnh đề, phỏng đoán, giả thuyết, ví dụ,..
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề yêu cầu học sinh cần xác định được vấn đề và giải quyết nhiều dạng bài toán theo nhiều cách khác nhau. Qua đó, học sinh hình thành kỹ năng phân tích được tình huống, phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề. Dựa trên các thông tin thu thập được, học sinh phải lựa chọn phương pháp, đề xuất giải pháp phù hợp với tình huống, vấn đề cần giải quyết. Để làm được điều đó một cách tốt nhất, trước tiên học sinh cần lập kế hoạch để giải quyết vấn đề, thực hiện kế hoạch độc lập, sáng tạo, hợp tác dựa trên các giả thuyết đã đề ra.
Năng lực mô hình hóa toán học là năng lực gắn liền với cấu trúc mô hình hóa, tức là chuyển đổi tình huống “thực tiễn” dưới dạng toán học, xây dựng mô hình toán học từ các tình huống thực tiễn dựa trên các công cụ toán học.; giải thích các mô hình toán học theo nghĩa “thực tế”.
27
Năng lực lập luận toán học, học sinh cần biết cách chứng minh toán học, trình bày các lập luận toán học. Phân biệt chúng khác với các loại suy luận như thế nào, theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán của nhiều loại khác nhau.
Từ đó, học sinh hình thành các kỹ năng lập luận toán học của mình.
Năng lực giao tiếp toán học là sự bộc lộ mình về những vấn đề của toán học, hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi những người khác về những vấn đề như vậy.
Năng lực trình bày toán học chính là khả năng mã hóa, chuyển đổi, giải thích và phân biệt các dạng khác nhau của các biểu diễn của những đối tượng và bối cảnh toán học.
Năng lực sử dụng các công cụ, kí hiệu, các yếu tố kỹ thuật là sử dụng các ký hiệu và hình thức, chuyển đổi ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ ký hiệu và công thức.
Năng lực sử dụng đồ dùng hỗ trợ và công cụ toán học là khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau, có thể giúp cho hoạt động toán diễn ra tốt nhất.
Theo Niss (2001), có tám thành tố của năng lực toán học và chia làm hai cụm. Cụm thứ nhất gồm: năng lực tư duy toán học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực mô hình hóa toán học; năng lực suy luận toán học. Cụm thứ hai bao gồm: năng lực biểu diễn, năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức;
năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ phương tiện toán học.
Tám năng lực này tập trung vào những gì cần thiết để các nhân có thể học tập và ứng dụng toán học. Các năng lực này không hoàn toàn độc lập mà liên quan chặt chẽ và có phần giao thoa với nhau [28].
Sơ đồ 1.8. Các thành tố của năng lực toán học theo Niss (2001)
28
Có nhiều định nghĩa khác nhau về năng lực mô hình hóa, năng lực mô hình hóa là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quá trình mô hình hóa trong một tình huống cho trước theo Bloom và Jensen [25]. Năng lực mô hình hóa toán học là khả năng thực hiện đầy đủ các giai đoạn của quy trình mô hình hóa trong dạy học Toán nhằm giải quyết các vấn đề Toán học được đặt ra. Các thành tố của năng lực mô hình hóa Toán học:
(1) Đơn giản giả thuyết;
(2) Làm rõ mục tiêu;
(3) Thiết lập vấn đề;
(4) Xác định biến, tham số, hằng số;
(5) Thiết lập mệnh đề Toán học;
(6) Lựa chọn mô hình;
(7) Biểu diễn mô hình thích hợp;
(8) Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Bên cạnh đó, năng lực toán học hóa tình huống là khả năng áp dụng những hiểu biết toán học để chuyển một tình huống thực tiễn về dạng toán học.
29
Do đó, trọng tâm của hoạt động mô hình hóa toán học hóa tình huống thực tiễn là việc xây dựng mô hình toán học cho tình huống đó. Năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh phụ thuộc hoàn toàn vào trình độ toán học và vốn hiểu biết của họ về thế giới xung quanh. Các thành tố của năng lực toán học hóa tình huống thực tiễn của học sinh trung học phổ thông bao gồm[10]:
Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn: Khả năng quan sát tình huống thực tiễn; Khả năng tưởng tượng, chuyển đổi các ý tưởng từ thực tiễn thành các yếu tố toán học; Khả năng ước lượng, dự đoán các kết quả có thể xảy ra của tình huống.
Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống: Khả năng xác định yếu tố trọng tâm của tình huống; Khả năng thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố, đánh giá mức độ phụ thuộc của các yêu tố; Khả năng loại bỏ những gì không bản chất; Khả năng nêu ra bài toán có nội dung thực tiễn.
Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Khả năng sử dụng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác để diễn đạt các tình huống; Khả năng sử dụng ngôn ngữ toán học để chuyển đổi các bài toán thực tiễn sang dạng toán học và giải bài toán đó.
Năng lực xây dựng mô hình toán học: Khả năng phát hiện ra yếu tố trọng tâm của tình huống thực tiễn; Khả năng biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ toán học; Khả năng biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượngbằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến, đồ thị, biểu đồ,..; Khả năng khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học.
Năng lực làm việc với mô hình toán học: Khả năng giải toán trên mô hình, dựa vào lời giải bài toán nêu ra được kết quả của mô hình; Khả năng biến đổi mô hình toán học theo ý cá nhân; Khả năng dùng mô hình phán đoán tình huống thực tiễn.
30
Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình: Khả năng kiểm tra, đối chiếu kết quả; Khả năng phê phán, phát hiện giới hạn của mô hình; Khả năng vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn và biết so sánh tìm ra mô hình hợp lý hơn (để điều chỉnh mô hình toán học).
1.1.3.2. Năng lực mô hình hóa của học sinh
Theo chương trình PISA đánh giá học sinh quốc tế theo 8 năng lực đặc trưng của toán học đó là: Tư duy và lập luận; suy luận và chứng minh toán học;
giao tiếp toán học; mô hình hóa; nêu và giải quyết vấn đề; biểu diễn, sử dụng kí hiệu và ngôn ngữ toán học; sử dụng công cụ tính toán. Trong các năng lực trên, mô hình hóa là năng lực được nhiều nước trên thế giới quan tâm, được đề cập từ rất sớm và có vai trò ngày càng quan trọng trong chương trình môn Toán.
Không chỉ các nước lớn như Mỹ, Singapore, Đức, Pháp,.. quan tâm đến năng lực mô hình hóa mà Việt Nam cũng vậy. Mục tiêu quan trọng của chương trình toán phổ thông là hình thành và phát triển cho học sinh khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyết những tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống [5].
Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp học sinh tìm hiểu, khám phá các tình huống trong thực tế bằng công cụ và ngôn ngữ của toán học như hình vẽ, đồ thị, hàm số, phương trình, kí hiệu,…Vì vậy, mô hình hóa giúp học sinh nhận biết được ý nghĩa và vai trò của toán học trong cuộc sống thực tiễn, phát triển khả năng phân tích, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học trong những tình huống khác nhau, đồng thời phát triển tư duy phê phán, khả năng liên hệ kiến thức toán học với các môn học khác.
Theo chương trình giáo dục phổ thông môn Toán năm 2018, năng lực mô hình hóa được thể hiện qua việc xác định được mô hình toán học ( gồm công thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị,…) cho tình huống xuất hiện trong bài toán
31
thực tiễn; giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập;
thể hiện và đánh giá được lời giải trong ngữ cảnh thực tế và cải tiến[3].
Năng lực mô hình hóa là khả năng “phiên dịch” các đặc điểm, mối quan hệ, giả thuyết có trong tình huống thực tiễn sang bài toán, hiểu và kiểm chứng lời giải của bài toán, cũng như khả năng phân tích và so sánh những mô hình đã có bằng cách kiểm tra những giả thuyết đã có, các đặc điểm của mô hình. Tóm lại, năng lực mô hình hóa là khả năng biểu diễn quá tình huống thực tiễn bằng cách xây dựng và kiểm chứng mô hình toán học. Như ta đã biết, không có năng lực nào là siêu nhiên, toàn năng, do vậy, muốn giải quyết nhiệm vụ và các vấn đề thực tiễn, học sinh cần phải vận dụng các kĩ năng khác như kĩ năng giao tiếp, kĩ năng giải quyết vấn đề, kĩ năng hoạt động nhóm để hiện thực hóa mô hình hóa.
Hơn thế nữa, năng lực mô hình hóa với các thành phần cốt lõi như sau:
Năng lực thu nhận thông tin toán học từ tình huống thực tiễn
- Thực hiện các thao tác thu nhận thông tin từ tình huống thực tiễn: quan sát tình huống, liên tưởng tình huống với các tri thức toán đã biết.
- Đơn giản hóa tình huống thực tiễn.
- Ước lượng và dự đoán các kết quả có thể xảy ra của tình huống.
Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm của tình huống
-Xác định được yếu tố trọng tâm của tình huống, loại bỏ những gì không bản chất hay nói cách khác yếu tố trọng tâm là đại lượng đang cần tìm trong bài toán thực tiễn.
- Thiết lập mối quan hệ giữa các yếu tố bài toán, đánh giá mức độ phụ thuộc của các yêu tố.
Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học
32
- Vận dụng ngôn ngữ tự nhiên ngắn gọn, chính xác để diễn đạt các tình huống.
- Sử dụng ngôn ngữ toán học để chuyển đổi các bài toán thực tiễn sang dạng toán học và giải quyết bài toán trong mô hình được thiết lập.
Năng lực xây dựng mô hình toán học
- Phát hiện ra yếu tố trọng tâm của tình huống thực tiễn
-Biểu diễn các đại lượng thực tế bằng ngôn ngữ toán học, biểu đạt các mối quan hệ giữa các đại lượngbằng các mệnh đề toán học, các biểu thức chứa biến, đồ thị, biểu đồ,..;
- Khái quát hóa các tình huống thực tiễn theo quan điểm của toán học.
Năng lực làm việc với mô hình toán học
-Giải toán trên mô hình, dựa vào lời giải bài toán nêu ra được kết quả của mô hình;
-Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập Năng lực kiểm tra, đánh giá, điều chỉnh mô hình:
- Kiểm tra, đối chiếu kết quả sau khi giải bài toán
- Vận dụng suy luận có lý vào việc đưa ra các mô hình toán cho tình huống thực tiễn và cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không phù hợp.
1.1.3.3. Năng lực mô hình hóa của giáo viên
Giáo viên cần trang bị đủ kiến thức và kĩ năng để hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động mô hình hóa. Giáo viên đóng vai trò là người điều phối, hỗ trợ tư vấn hơn là người giảng dạy theo cách truyền thống. Do đó, năng lực quản lý lớp học của giáo viên cũng rất là quan trọng và cần thiết. Giáo viên cần đưa ra những tiêu chí, yêu cầu hoàn thành và hỗ trợ học sinh trong quá trình thực hiện mô hình hóa. Tình huống phải phù hợp với trình độ của học sinh, phải
33
kích thích sự tò mò của học sinh và học sinh có thể sử dụng những kiến thức toán học đã biết để giải quyết vấn đề của tình huống.
Theo một cuộc khảo sát đối với các giáo viên dạy toán tại 13 trường trung học phổ thông trên toàn quốc [10], có 75% số giáo viên được khảo sát cho rằng các hoạt động sau đây là rất cần thiết trong quá trình dạy học là: (1) khai thác sâu các ví dụ và bài tập có nội dung thực tiễn trong sách giáo khoa và sách bài tập. (2) đưa ra những tình huống ngoài sách giáo khoa có sử dụng toán học để giải quyết những vấn đề gần gũi với trải nghiệm thực tế của học sinh, (3) và yêu cầu học sinh thường xuyên sưu tầm các tình huống, mô hình toán học trong thực tiễn liên quan đến kiến thức đã học (thông qua học tập dự án).
1.1.3.4. Cấp độ mô hình hóa
Để học sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức, các tình huống và bài tập mô hình hóa cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Học sinh tự mình giải quyết được vấn đề của bài toán có ảnh hưởng rất lớn về mặt tâm lý. Nếu học sinh gặp thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho học sinh nản chí, dễ gây mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình học tập. Chính vì vậy, khi thiết kế hoạt động mô hình hóa, bài tập mô hình hóa giáo viên cần chú ý đến các cấp độ mô hình hóa. Theo Ludwig và Xu (2010) về các đánh giá cấp độ mô hình hóa [26]:
Cấp độ 0: Học sinh không hiểu tình huống, không thể phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
Cấp độ 1: Học sinh chỉ hiểu tình huống tình huống thực tiễn nhưng không thể đơn giản hóa tình huống hoặc không thể tìm được mối liên kết đến một ý tưởng toán học nào.
Cấp độ 2: Ở cấp độ này, học sinh cần đạt được hai kĩ năng mô hình hóa đầu tiên. Tức là tìm hiểu được vấn đề thực tiễn xuất hiện trong tình huống, học