CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC . 50 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC
2.2. Một số biện pháp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua dạy học nội dung hàm số trong chương trình lớp 12
2.2.1. Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên
2.2.1.1. Cơ sở của biện pháp
70
Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi từ thực tiễn sang toán học bằng các ngôn ngữ toán học. Ngôn ngữ và các công cụ toán học là các biến số, tham số, kí hiệu,… Do vậy, việc rèn luyện kỹ năng xác định được các biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số cho học sinh là cần thiết. Sau khi phát hiện được quy luật của tình huống và phát biểu lại tình huống bằng ngôn ngữ riêng của mình, học sinh cần làm công việc tiếp theo là đặt biến cho các đại lượng hay là biểu diễn các đại lượng theo biến bất kì. Hoạt động này là một thao thể hiện việc chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học.
Thông qua đó, học sinh được phát triển các thành tố năng lực mô hình hóa sau đây:
Năng lực sử dụng ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán học: Học sinh được rèn luyện kỹ năng xác định biến số, tham số liên quan từ đó khả năng diễn đạt tình huống bằng ngôn ngữ toán học ngắn gọn, chính xác hơn, có thể diễn đạt một vấn đề dưới nhiều hình thức khác nhau.
Năng lực định hướng đến các yếu tố trung tâm: Để rèn luyện tốt kỹ năng này học cần biết cách xác định được yếu tố trung tâm của tình huống, gọi ẩn, đặt biến và biểu diễn các yếu tố theo biến đã đặt trước đó. Học sinh chuyển đổi được bài toán thực tế sang ngôn ngữ toán học.
Năng lực xây dựng mô hình hóa toán học: Học sinh biểu diễn các đại lượng bằng các kí hiệu, các khái niệm toán học, công thức toán học. Xác định các biến số, tham số, các biểu thức chứa biến, mối liên hệ giữa các biến số. Từ đó, khái quát tình huống thực tiễn theo quan điểm Toán học.
Năng lực kiểm tra, đánh giá và điều chỉnh mô hình: Học sinh đối chiếu kết quả sau khi đưa tình huống thực tiễn về ngôn ngữ toán học, nhận xét, lập luận, so sánh để tìm ra các mô hình hợp lý hơn.
2.2.1.2. Cách thức thực hiện
71
Việc sử dụng mô hình hóa hỗ trợ rèn luyện kĩ năng xác định biến số, tham số liên quan và mối liên hệ giữa các biến số được thực hiện thông qua các bài toán mô hình hóa. Học sinh dựa trên kiến thức toán học, sử dụng các tham số, biến số để chuyển đổi từ bài toán thực tế sang bài toán toán học để giải quyết bằng ngôn ngữ toán học. Giáo viên cần lồng ghét bài toán thực tiễn, hướng dẫn học sinh tìm hiểu, khám phá và đưa về bài toán toán học. Học sinh có thể thực hiện mô hình hóa theo các bước sau đây:
Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn): Hiểu rõ vấn đề thực tiễn, xây dựng giả thuyết sau đó mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học. Học sinh biểu diễn các yếu tố trong tình huống dưới các biến, tham số, mối liên hệ giữa các biến,…
Bước 2 (Giải bài toán): Sử dụng kiến thức toán học thích hợp để giải quyết bài toán đã được toán học hóa. Để giải được bài toán, học sinh cần phải có phương pháp phù hợp, công cụ toán học tối ưu để xây dựng và giải quyết vấn đề toán học một cách hiệu quả.
Bước 3 (Thông hiểu): Hiểu được ý nghĩa lời giải của bài toán với tình huống thực tiễn ban đầu. Học sinh cần phát hiện được ưu - nhược điểm của kết quả toán học vào tình huống thực tiễn.
Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả): Đối chiếu giả thuyết ban đầu đưa ra, tìm hiểu những hạn chế của mô hình toán học, lời giải của bài toán, xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu để cải tiến mô hình, xây dựng mô hình mới.
Ví dụ 2.1: Một khối đá có hình là một khối cầu có bán kính R, người thợ thủ công mỹ nghệ cần cắt và gọt viên đá đó thành một viên đá cảnh có hình dạng là một khối trụ. Tính thể tích lớn nhất của viên đá cảnh sau khi hoàn thiện.
Lời giải
72 Bước 1: Toán học hóa:
Giả sử ta cần gọt viên đá thành viên đá là một khối cầu thành một khối trụ như hình vẽ.
Hình 2.10. Mô hình minh họa cho viên đá khối cầu ví dụ 2.1.
Ta gọi 2x là chiều cao của hình lăng trụ 0 x R như hình vẽ sau:
Hình 2.11
Khi đó, ta biểu diễn bán kính của viên đá sau khi cắt gọt (khối trụ) theo x, từ đó tính được thể tích khối trụ V 2x R 2x2 là hàm số theo biến x và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.
Bước 2: Giải bài toán
Gọi 2x là chiều cao của hình lăng trụ 0 x R (hình vẽ 2.10).
73 R là bán kính của khối dá hình cầu.
Khi đó, bán kính của khối trụ là r R2x2 và thể tích của khối trụ là
2 2
2
V x R x
Xét hàm số V 2x R 2x2 với 0 x R
Ta có: V' 2 R2 3x2 0 x R33
Lập bảng biến thiên
x 3 3
R
'
V x + 0
V x
4 3 3 9
R
0 0
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất khi chiều cao của khối trụ là 2 3
3 R là
4 3 3 9 V R
Bước 3: Hiểu và thông dịch
Bài toán yêu cầu tính thể tích lớn nhất của viên đá có hình dạng khối trụ sau khi được cắt gọt từ một viên đá khối cầu có bán kính R. Ta tìm được thể tích lớn nhất của viên đá sau khi cắt gọt là
4 3 3 9 V R
74 Bước 4: Đối chiếu thực tế
Trong thực tế, bài toán thường sử dụng đối với các nghệ nhân chế tác đá, điêu khắc để có thể tìm được các sản phẩm thẩm mỹ cao, giá thành phù hợp với thị trường.
Ví dụ 2.2: Chúng ta cần thiết kế một tủ sấy hình trụ với thể tích V cho trước.
Tìm chiều cao và đường kính đáy để tủ sấy có diện tích toàn phần nhỏ nhất.
Lời giải
Bước 1: Toán học hóa
Ta dựng tủ sấy có hình ảnh tương ứng.
Hình 2.12. Hình ảnh mô phỏng máy sấy.
Mặt xung quanh và hai mặt đáy là diện tích của tủ sấy. Bài toán trở thành so sánh bán kính đáy và chiều cao của hình trụ để diện tích của tủ sấy nhỏ nhất.
Bước 2: Giải bài toán
Gọi bán kính đáy của hình trụ là r , chiều cao của hình trụ là h.
Khi đó diện tích toàn phần của hình trụ Stp= 2prh+ 2pr2 .
Vì 2 V2 tp 2V 2 2 V V 2 2 3 23 2
V r h h S r r V
r r r
p r p p p
= ị = p ị = + = + + ³
75
Dấu "= " xảy ra khi 2 2 3
2
V V
r r
r p
= Û = p . Mặt khác h V2 pr
= nên Stp nhỏ nhất khi h 3 4V 2r
= p =
Vậy hình dạng của tủ sấy là hình trụ cần làm có chiều cao bằng đường kính đáy.
Bước 3: Hiểu và thông dịch
Kết quả của bài toán giúp học sinh hiểu được cách thiết kế tủ sấy hình trụ với chiều cao bằng bán kính đáy sẽ tiết kiệm được vật liệu nhất.
Bước 4: Đối chiếu thực tế
Trong thực tế việc thiết kế tủ sấy theo các kích thước của thể tích cho trước không chỉ phụ thuộc vào chiều cao và bán kính đáy mà còn phụ thuộc vào việc sử dụng chúng để sấy vật dụng gì, chất liệu cho phép chịu đựng lực đến đâu, phụ thuộc việc vận chuyển chúng, hay không gian để đặt tủ sấy…
Phân tích kết quả hoạt động:
Qua hoạt động này, học sinh cần áp dụng các kiến thức không chỉ hàm số, mà còn sử dụng các công thức tính diện tích khối trụ, trí tưởng tưởng về hình học. Học sinh cũng cần vận dụng kĩ năng đưa tình huống về các biến, các tham số có trong bài để xây dựng hàm số.