Hướng dẫn: gọi p là nửa chu vi của tam giác.
Các tiếp điểm trên cạnh BC, CA, AB lần lượt làA1,B1vàC1.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
28/32
Đặtx AB1 AC1, yBA1BC1vàzCA1CB1thìBC y z CA, z x x, y z p Bài 44. Kết quả quan trọng cần nhớ: Chứng minh độ dài hai tiếp tuyến nối từ đỉnh của tam giác đến hai tiếp điểm trên đường tròn bàng tiếp năm bên trong góc ở đỉnh đó bằng nửa chu vi tam giác.
Bài 45.Cho tứ giácABCD.Đường trong nội niếp củaACBvàACDlần lượt tiếp xúcACtại M và N.
1. Chứng minh:
2
AB CD BC DA
AM AN
2. Giả sử thêm đường tròn nội tiếp củaBDAvà củaBDCtiếp xúc vớiBDlần lượt tại ở P và Q. Chứng minh MN=PQ.
Bài 46. Cho S, p, r lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Chứng minh S=pr.
Bài 47.Cho tam giác ABC. Gọi r,p,a,b,c lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, nửa chu vi, độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C củaABC.
Chứng minh tan tan tan
2 2 2
A B C
r pa p b pc
Bài 48.Cho tam giác ABC có S là diện tích; r r ra, ,b clần lượt là bán kính của các đường tròn bàng tiếp bên trong các góc ở đỉnhA B C, , tương ứng.p, a, b, c lần lượt là nửa chu vi, độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng.
1. Chứng minhS p a r a p b r b p c r c
Hướng dẫn: Gọi I là tâm của đường tròn bàng tiếp bên trong góc ở đỉnh A, với các điểm
1, 1, 1
A B C thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Gợi ý đẳng thứcS SIABSIAC SIBC
2. Gọi r h h h, a, ,b clần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp, độ dài các đường cao kẻ từ , ,
A B CcủaABC.Chứng minh:
1 1 1 1 1 1 1
a b c a b c
P r h h h r r r S
Bài 49. Cho tam giácABCvuông góc ở A có r là bán kính đường tròn nội tiếp. Trên cạnh BC lấy D và E sao cho BD=BA, CE=CA.
1. Chứng minh r bằng nửa chu vi trừ cạnh huyền.
2. Chứng minh DE=2r.
3. Chứng minhSABC p p a
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
29/32
Bài 50. Cho tam giác ABC (vuông ở A) có p là nửa chu vi, r và R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp.
1. Chứng minh r bằng nửa chu vi trừ đi cạnh huyền, suy ra tổng hai cạnh góc vuông bằng2rR
2. Giả sửABC(vuông ở A), có đường cao AH và r p r p1, 1, ,2 2lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và nửa chu vi củaAHB và AHCtương ứng. Dùng câu 2, hãy chứng minh:AH r r1 r2
Bài 51. Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc với BC tại D, p là nửa chu vi, BC=a, CA=b, AB=c.
1. Chứng minh . 1 2 2
DB DC 4a b c Hướng dẫn: DB= p-b, DC= p-c
2. NếuABCvuông ởA, dùng câu trên và định lý Pythgore, chứng minhSABC BD DC. Bài 52.Tam giác ABC vuông ở A có I là tâm đường tròn nội tiếp bán kính r và các tiếp điểm trên cạnh BC, CA, AB là D, E, F tương ứng.
1. Chứng minhSAEIF r2
2. Chứng mínhSBDIF r BD. vàSCDIE r DC.
3. Chứng minh: 2SABC AB AC. r DB r DCrồi kết hợp hai cái trên để suy ra
ABC .
S DB DC
Bài 53.Cho đường trờn O r, nội tiếp tam giácABCvới tiếp điểm Dthuôc cạnhBC.Vẽ đường kính DE của O .Tiếp tuyến của O tại E cắt AB tại H và cắt AC tại K. Tia AE cắt BC tại F.
1. Chứng minh: ,
tan tan
2 2
r r
BD CD
B C
với , 2 2
B Clần lượt là nửasố đoABC ACB,
2. Chứng minh
2 KErtanC và
2
KErtanB (Hướng dẫn: dùng tỉ số lượng giác trong
OEKvà OEH)
3. Chứng minh:
tan 2
tan tan
2 2
C BD
BC B C
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
30/32
4. Chứng minh:
tan 2
tan tan
2 2
C CF KE
B C
CB KH
, suy ra: BDCP
Bài 54. Cho điểm B thuộc đường tròn O có đường kính AC (nên vẽ H gần A hơn C).
Lấy điểm D trên tia AB sao cho AD3AB. Tia Dy vuông góc với DC cắt tia tiếp Ax của
O tại E. Chứng minh tam giác BDE cân tại E.
Hướng dẫn: Vẽ EI AD tại I . Chứng minh rằng ABBI ID.
Bài 55. Cho đường thẳng d cố định bên ngoài đường tròn cố định O R; . Điểm M di động
trên d. Từ M vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là P và Q, QM cắt PQ tại K. Chứng minh đoạn thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định và k di động trên một đường cố định.
Hướng dẫn:
1. Vẽ OH vuông góc với d’ tại H. QH cắt PQ tại I . Chứng minh OA OH OK OM R2.
2. Chứng minh độ dài OI không đổi (nghĩa là I cố định). Suy ra điều phải chứng minh.
Bài 56. Cho điểm I cố định bên trong đường tròn tâm O bán kinh bằng R (I khác O). Dây PQ quay quanh điểm I. Hai tiếp tuyến tại P và Q cắt nhau tại M . Chứng minh M di động trên một đường cố định khi dây PQ quay.
Hướng dẫn: Vẽ MH vuông góc với OI tại H, OM cắt PQ tại K. Chứng minh OI OH OK OM R2, suy ra điểm H cố định và ta có điều phải chứng minh.
Bài 57. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O, bán kính bằng R, cắt nhau tại A. Gọi D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC, DE cắt OA tại K. Chứng minh
OK R.
Hướng dẫn: Giả sử OA cắt BC tại I . Sử dụng hằng đẳng thức, hay chứng minh
2 2 2
OK KI R .
Bài 58. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O, bán kính bằng R, cắt nhau tại A. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AC, M là điểm bất kỳ trên đường thẳng
EF. Vẽ tiếp tuyến MQ (Q là tiếp điểm). Chứng minh MQMA.
Hướng dẫn: Giả sử OA cắt BC và EF lần lượt tại I và II. Ta suy ra MQ2 MA2 bằng việc chứng minh các đẳng thức sau:
1. MQ2 OM2R2
2. MO2MA2 HO2HA2 3. HO2HA2 R2
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
31/32
Bài 59. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O, bán kính bằng R, cắt nhau ở A. L điểm D bất kỳ trên đường thẳng BC. Gọi M là trung điểm của AD. Đường tròn đường kính
AD cắt O tại Q và T .
1. Chứng minh MQ và MT là hai tiếp tuyến của O
(Hướng dẫn: Vẽ tiếp tuyến MQ’. Chứng minh MQMAMQ(nghĩa là làm lại bài tập trên)
2. Giả sửD di động trên đường thẳng BC. Chứng minh đường thẳng QT luôn quay quanh một điểm cố định.
(Hướng dẫn: Gọi I là giao điểm của QT với OA, K là giao điểm của QT và OM . Vẽ MH vuông góc với OA tại H. Chứng minh OI OH OK OM vv , )
Bài 60. Cho điểm I và đường tròn tâm O cố định. Điểm Q di động trên O sao cho không thẳng hàng với O và I . Tiếp tuyến tại Q cắt đường trung trực của đọan thẳng QI tại M . Chứng minh khi Q di động thì M di động trên một đường cố định.
Hướng dẫn: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M xuống đường thẳng OI . Ta có:
2 2 2 2
MI MQ MO R , suy ra MO2MI2 R2. Mà MO2MI2 HO2HI2 nên H cố định (tại sao?). Vậy M di động trên đườn thẳng vuông góc với OI tại H.
Bài 61. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn với các tiếp điểm E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh BC, G thuộc cạnh CD và H thuộc cạnh DA. Chứng minh các đường thẳng
, , ,
AC BD EG FH đồng qui.
Hướng dẫn: Để vẽ hình dễ nhìn, nên vẽ MCD có đường tròn nội tiếp các tiếp điểm F G H, , thuộc MC CD DM, , tương ứng. Lấy E thuộc cung nhỏ HF rồi vẽ tiếp tuyến tại E lần lượt cắt MD MC, và CD tại A B Q, , .
Đặt AH AEa CF; CG c MH; MF m QE; QG q. Giả sử EG cắt AC tại I . Dùng định lí Menelaus trong ACQ với cát tuyến EG, chứng minh IA a
IC c . Tương tự, nếu FH cắt AC tại ’I thì xét ACM và cát tuyến HF, ta có: I A a
I C c
, suy ra I trùng ’I và , ,
AC EG FH đồng qui. Tương tự, BD EG FH, , đồng qui.
Bài 62. Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp một đường tròn với các tiếp tuyến E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh BC, G thuộc cạnh CD và H thuộc cạnh DA. Chứng minh các đường thẳng
, ,
AC EF GH đồng qui; các đường thẳng BD GF HE, , đồng qui (giả sử không có sự song song nào xảy ra).
Bài 63. Cho tam giác ABC nhọn có D thuộc cạnh BC, E thuộc cạnh AC và F thuộc cạnh AB sao cho AD BE CF, , đồng qui tại H. Chứng minh rằng nếu H là tâm đường tròn nội tiếp
DEFthì H là trực tâm của tam giác ABC.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
32/32
Hướng dẫn: đường thẳng qua A và song song với BC, cắt tia DE tại I , cắt tia DF tại K. Ta có AI AI DC DB
AK DC DB AK .
Sử dụng hệ quả của định lí Thales và định lí Ceva, suy ra: AI 1.
AK
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 1/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
1
Bài 5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRềN