1. BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GểC Ở TÂM VÀ GểC NỘI TIẾP.
Bài 1. Cho AB là dây cung không chứa tâm của đường tròn tâm O. Vẽ dây ACvuông góc với AB. Chứng minh BOC 2BAC và suy ra B O C, , thẳng hàng.
Bài 2. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AC,có bán kính OB vuông góc với AC.Điểm M thuộc cung AB. Tính BMC và AMB.
Bài 3. Cho hai đường tròn tâm O và O’ cùng có bán kính bằng R , cắt nhau ở A và B sao cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB. Cát tuyến đi qua A cắt O và O’ lần lượt ở
C và D (A nằm giữa Cvà D).
1. Tứ giác AOBO là hình gì? Chứng minh BC BD . Câu hỏi nâng cao:
2. Nếu A không nằm giữa Cvà D thì kết quả câu 1 còn đúng không?
Bài 4. Cho BAC300 nội tiếp đường tròn tâm O. (B và Cthuộc O ). Vẽ đường tròn tâm I đi qua Osao cho hai điểm B và Cnằm ởbên trong I . Hai tia OB và OC cắt I ở E và
F. Tính EIF .
Bài 5. Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O, bán kính bằng R. Vẽ hai dây cung AD và BC cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AB ở F. Chứng minh tam giác AFE dồng dạng với tam giác ADB; tam giác BFE đồng dạng với tam giác BCA.
Bài 6. Cho hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B. Vẽ ACvà AD là hai đường kính của O và O’ .Chứng minh C, B, D thẳng hàng.
Bài 7. Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AClần lượt tại F và E. Chứng minh AD, BE và CF đồng qui.
Bài 8. Cho AB và CDlà hai dây song song của một đường tròn (tia AB và tia DCcùng chiều). Chứng minh sđ AC sđ DB. Tứ giác ABCD là hình gì?
Bài 9. Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O. CDlà dây song songvới AB (tia CD cùng chiều với tia AB).
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 7/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
7
1. Chứng minh ADCBCD. 2. Chứng minh ACDADC 90 .
Bài 10. Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp một đường tròn. Lấy D thuộc cung BCkhông chứa A. Chứng minh ADC ACB
Bài 11. Vẽ đường tròn ngoại tiếp tam giác nhọn ABCvà vẽ đường kính AD. AH là đường cao của tam giác. Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ACD.
Bài 12. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến tại A của nửa đường tròn. Vẽ MH vuông góc với tiếp tuyến đó tại H. So sánh MAH và MBH, chứng minh
MH AB MA2.
Bài 13. Cho AB là dây cung của đường tròn tâm O. Trên tia đối của tia BAlấy điểm D. Bán kính OCvuông góc với AB với C thuộc cung lớn AB. CDcắt O tại ...
1. Chứng minh CEACAB; 2. Chứng minh CA2 CE CD .
Bài 14. Lấy ba điểm A, B, C trên đường tròn tâm O. Gọi Ax là tia đối củatia AB, Ay là tia đối của tia AC.Chứng minh 1
BAy CAx sđ BC
2 với BC là cung chứa điểm A.
Bài 15. Cho tam giác ABC có ABACvà nội tiếp trong đường tròn tâm O. Lấy I là điểm chính giữa (trung điểm) của cung BC chứa A. Kéo dài BA ta có tia Ax. Nối đoạn thẳng BI. Chứng minh:
1. IAx với BI là cung chứa điểm A. 2. AI là tia phân giác của CAx.
Bài 16. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi OMlà bán kính vuông góc với cạnh BC(M thuộc cung BC không chứa A). Chứng minh AM là tia phân giác của góc
BAC.
Bài 17. Cho đường tròn tâm O có dây AB. Bán kính OM vuông góc với dây AB (M thuộc cung nhỏ AB). Tiếp tuyến của O tại A cắt tia OM ở C. Chứng minh AM là tia phân giác của góc SAC (Hướng dẫn:sđAMsđBM).
Bài 18. Trên nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, có điểm C di động. Tia phân giác của BAC cắt O tại D.
1. Chứng minh OD vuông góc với BC.
2. Tia ACcắt tia BD tại K. Tam giác ABK có gì đặc biệt? Chứng minh khi C di động thì K chạy trên một đường cố định.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 8/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
8
Bài 19. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm Ovà có hai đường cao BE; CF lần lượt cắt O ở I và K.
1. Chứng minh ABE ACF.
2. Chứng minh OA vuông góc với IK.
Bài 20. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao AD của tam giác cắt
O ở E. Vè đường kính AF của đường tròn. Chứng minh EF BC và BAD CAF .
Bài 21. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O và có đường cao AD. Gọi H là trực tâm của tam giác. Tia AD cắt O ở E. Chứng minh
1. DBEDAC DBH.
2. Điểm H và E đối xứng nhau qua đường thằng BC.
Bài 22. Cho đường tròn tâm Ocó dây AB. Gọi M là trung điểm của dây AB. Vẽ dây CDbất kỳ đi qua M(CDkhông trùng với AB). Chứng minh dây CDdài hơn dây AS.
Bài 23. Cho hai đường tròn đồng tâm O. Điểm I thuộc đường tròn lớn. Từ I kẻ tia Ix cát đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự tại , B, EA . Kẻ tia Itcắt đường tròn nhỏ và lớn theo thứ tự tại , D, FC sao cho CD AB . Vẽ OHvuông góc với AB ở H và OI vuông góc với CDở I . Chứng minh IFIE.
Bài 24. Cho điểm I bên trong đường tròn tâm O. Cho hai đây cung ACvà BD cùng đi qua I sao cho IO là tia phân giác của AIB. Vẽ OHvuông góc với ACở H, OKvuông góc với BD ởK.
1. Chứng minh AC BD .
2. Chứng minh sđAD sđBC và tứ giác ABCD là hình thang cân.
3. Chứng minh OI vuông góc với AB.
BÀI TẬP CƠ BẢN VỀ GểC Cể ĐỈNH BấN TRONG VÀ NGOÀIĐƯỜNGTRềN
Bài 25. Gọi Clà điểm chính giữa cung lớn AB của đường tròn tâm O.Trên cung nhỏ BClấy điểm M. Tia CMcắt tia ABở D.
1. Chứng minh CBM CDB. 2. Chứng minh CB2 CD CM .
Bài 26. Gọi I là điểm trên dây AB của đường tròn tâm O sao cho IA IB . Gọi D là điểm chính giữa của cung AB. DI cắt O tại C. Tiếp tuyến của O tại Ccắt tia AB
tại E. Chứng minh EI EC .
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 9/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
9
Bài 27. Gọi Clà điểm chính giữa của cung AB lớn của đường tròn tâm O. Trên cung nhỏ BClấy điểm M. Tiếp tuyến tại M của O và tia CMlần lượt cắt AB tại D và E. Chứng minh DE DM (Gợi ý: Kéo dài đoạn DM ta có tia Mx. Chứng minh CMxMED).
Bài 28. Cho AB và AClàdây cung của đường tròn tâm O. E và D lần lượtlà điểm chính giữa (trung điểm) của cung AB không chứa Cvà cung ACkhông chứa B. ED cắt AB và
AClần lượt tại H và K. Chứng minh tam giác AHK cân tại A.
Bài 29. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai tia phân giác của ABC và ACB cắt nhau tại I và cắt O lần lượt tại D và E.
1. Chứng minh sđADsđDC và sđ AE sđEB .
2. Chứng minh tam giác DCI cân tại D; tam giác EBI cân tại E.
Bài 30. Cho tam giác ABCnội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi H I K; ; lần lượt là điểm chính giữa của các cung BCkhông chứa A, CAkhông chứa Bvà ABkhông chứa C. AH cắt
IKởE.
1. Chứng minh AEI AEK .
2. Chứng minh AH vuông góc với IK
Bài 31. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Hai tia phân giác của ABC và ACB cắt nhau tại I và cắt O lần lượt tại D và E. DE cắt AB và ACở H và K. Tia AI cắt O tại M.
1. Chứng minh sđ EAsđ EB sđ DA sd DC sđ MB sđ MC; ; 2. Chứng minh tam giác DAI cân tại D, tam giác EAI cân tại E.
3. Đường thẳng DE là gì đối với đoạn thẳng AI ? Chứng minh tứ giác AHIK là hình thoi.
Bài 32. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn O cắt nhau tại C. Vẽ cát tuyến CDE của O ( D nằm giữa Cvà E). Lấy điểm F trên dây DE sao cho CF CA CB . Hai tia
AFvà FB lần lượt cắt O tại I và K. Chứng minh:
1. sđ AI sđ AD sđ IE và sđ BK sđ BD sđ EK (qui ước các cung là cung nhỏ của
O )
2. I và K là các điểm chính giữa của DE (lớn và nhỏ).
3. Hai bán kính OI và OK thẳng hàng.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 10/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
10
3. LUYỆN TẬP CHUNG
Bài 33. Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O bán kính R . Vẽ hai đây cung AD và BC cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AB ở F. Chứng minh
1. AE AD AF AB và phát biểu kết quả tương tự.
2. AE AD BE BC 4 R2
Bài 34. Cho tam giác ABC cân ở A và nội tiếp trong một đường tròn. Lấy D thuộc cung BC không chứa A. AD cắt BC tại E. Chứng minh AS2 AD AE .
Bài 35. Trên nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB, lấy điểm M sao cho AM MO . Vẽ tiếp tuyến tại A. Vẻ MH vuông góc với tiếp tuyến đó tại H.
1. Chứng minh AM2 MH AB . 2. Tính MH và AH theo R.
Bài 36. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O. Trên tiếp tuyến của O tại A, lấy điểm B khác A. Đoạn thẳng OB cắt O tại M. Vẽ ACvuông góc với OBtại C.Chứng minh AM là đường phân giác của tam giác ABC (Gợi ý: kéo dài ACcắt O tại D).
Bài 37. Cho tam giác BCD tù tại đỉnh B và có đường cao BA. Tia CB cắt đường tròn (ABD) tại I. Tia DB cắt đường tròn ABC tại K. Chứng minh:
1. CAKDAI;
2. AB là tia phân giác của IAK .
Bài 38. Từ điểm Sthuộc tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O, kẻ cát tuyến cắt O lần
lượt tại B và C. Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC. (D thuộc dây BC) 1. Chứng minh ADSACDDAB.
2. Chứng minh tam giác SAD cân tại S.
Bài 39. Cho tam giác ABC có I là tâm dường tròn nội tiếp. Gọi O là tâm của đường tròn
BIC. Chứng minh IOC ABC và IOB ACB .
Bài 40. Cho tam giác AMB nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tia phân giác của AMB cắt AB ở C , cắt O ở D. Chứng minh MA.MB MC.MD (Gợi ý: xét hai tam giác đồng dạng).
Bài 41. Cho tam giác ABD có AB AD . Đường trung trực của BD cắt tia phân giác của BADtạiC. Chứng minh điểm Cthuộc đường tròn ABD
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 11/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
11
(Hướng dẫn: tia phân giác của BAD cắt đường tròn ABD tại C. Chứng minh C cách đều hai điểm B và D; C1 trùng với C).
Bài 42. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Tia phân giác của BACcắt
O tại M. Tia phân giác của ABC cắt AM tại I. 1. Chứng minh IAB MBC .
2. MIB là góc ngoài của tam giác nào? Chứng minh tam giác MBI cân ở M.
Bài 43: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Trên cung BC không chứa A, lấy điểm chính giữa M (trung điểm của cung). Trên đoạn thẳng AM lấy điểm I sao cho MI = MB.
1. Chứng minh: IABã = MBCã .
2. Chứng minh: ãIBA= ãIBC. Điểm I là gỡ của DABC?
Bài 44: Cho tam giác ABC đều và nội tiếp đường tròn tâm O. Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Lấy D trên dây AM sao cho MD= MB.
1. Tam giỏc MBD cú gỡ đặc biệt? Chứng minh: MBCã = DBAã ; DBMC= DBDA.
2. Chứng minh MB+MC= MA. Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để MA+ MB+ MC lớn nhất.
Bài 45: Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau ở A và B. Cát tuyến qua B cắt (O) ở C, cắt (O’) ở D sao cho B nằm giữa C và D. Chứng minh hai tam giác AOO’ và ACD đồng dạng (Gợi ý:
ã 1 ã
' 2
AOO = AOBdo DAOO'= DBOO').
Bài 46: Hai đường tròn tâm O1 và O2 cắt nhau ở A và B sao cho hai tâm nằm ở hai bên đường thẳng AB. Giả sử hai đoạn thẳng CD và EF cùng đi qua A (C và E thuộc ( )O1 ; D và F thuộc
( )O2 sao cho AB là tia phõn giỏc của CAFã . Chứng minh:
1. Tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEF.
2. sđằBC= sđằBE (ằBC khụng chứa A và BEằ chứa A).
3. Chứng minh: CD= EF (Gợi ý: tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng 1).
Bài 47: Tam giác ABC nhọn có đường cao AH và nội tiếp trong đường tròn bán kính R. AD là đường kính của đường tròn. Chứng minh:
1. 2 .R AH= AB AC. 2. . .
ABC 4
AB BC CA SD = R
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 12/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
12
Bài 48: Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt nhau tại A. OA cắt BC ở H và cung nhỏ BC ở I. Chứng minh:
1. sđºIB= sđICº và I là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
2. IA BC. = 2IH AB. (Gợi ý: hệ quả định lý Thales về tính chất đường phân giác trong ABH
D ).
Bài 49: Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D và E thuộc cạnh BC sao cho BD= BA, CE= CA.
1. Chứng minh: ã 1à
BAE= 2C và ã 1à
CAD= 2B (Gợi ý: AB là tiếp tuyến của đường tròn tâm C bán kính CA v.v..).
2. Tớnh DAEã .
Bài 50: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn (O) cố định. Gọi I là điểm chính giữa của cung lớn BC. Vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng IB= IC. Điểm A di động trên cung lớn BC của (O). Tia BA cắt (I) tại D.
1. Chứng minh: AC= AD (Gợi ý: chứng minh BACã = 2BDCã ).
2. Tỡm vị trớ của A trờn BCằ để chu vi tam giỏc ABC lớn nhất.
Bài 51: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, có bán kính OC vuông góc với AB. Lấy