Đường tròn tâm I tiếp xúc trong với (O) tại M và tiếp xúc với AB tại H. Vẽ OQ là bán kính vuông góc với AB.
1.Chứng minh đường thẳng MH luôn đi qua một điểm cố định K (Gợi ý: K thuộc đường thẳng OQ và OK = OM).
2.Chứng minh VKOH đồng dạng với VKMQ.
3.Chứng minh IK2- IM2=2R2 (Phương tích của K đối với (I)).
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 20/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
20
4.Xác định vị trí của M để KM + xKH nhỏ nhất trong các trường hợp x = 1; 3 2; 2.
Hướng dẫn: đặt a=HKOã thỡ KM = 2Rcosa và
cos KH R
= a .
Bài 90. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp VABC với bán kính r. Tia AI và BI lần lượt cắt (O) ở D và E.
1.Chứng minh BAIã =CBDã và VBID cõn ở D.
2.Chứng minh IA BD. = R2- OI2 (Gợi ý: Phương tích của I đối với (O)).
3.Vẽ đường kính DH của (O); vẽ IM vuông góc với AB ở M. Chứng minh hệ thức Euler:
2 2 2
R - OI = Rr, nghĩa là phương tích của I đối với (O) bằng hai lần tích hai bán kính của (O) và (I) (Hướng dẫn: chứng minh VAMI đồng dạng với VHBD rồi dùng câu 2).
1. BÀI TẬP NÂNG CAO
Bài 91. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm D và E sao cho E thuộc cung AD. AD cắt BE tại H. Hai tiếp tuyến của nửa đường tròn D và E cắt nhau ở I. Chứng minh ID = IH = IE (Gợi ý: AE cắt BD tại C. Chứng minh I thuộc CH).
Bài 92. Cho đường tròn tâm o và dây BC cố định không qua tâm. Điểm D di động thuộc (O) nhưng không trùng với B và C. VẼ BH vuông góc với CD ở H. Gọi I là trung điểm của BH.
Chứng minh đường thẳng DI luôn đi qua một điểm cố định khi D di động trên (O).
Bài 93. Cho nửa đường tròn tâm I đường kính CD. Vẽ hai tia tiếp tuyến Cx và Dy của (I) ở cùng phía với nửa đường tròn. Lấy điểm M thuộc CD và điểm A thuộc Dy. Đường tròn (ADM) tâm O cắt (I) tại E khác D. DE cắt Cx tại K. Chứng minh MK, AC và (O) cùng đi qua một điểm.
Bài 94. Cho tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn. Lấy điểm D tùy ý thuộc cung BC không chứa A. Vẽ DH, DI, DK tương ứng vuông góc với BC, CA, AB tại H, I và K. Chứng minh BC CA AB
DH= DI+ DK.
Bài 95. Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B, điểm O thuộc (O’). Lấy C thuộc (O’) và nằm ngoài (O). Tia CO cắt (O) tại I và K (I nằm giữa O và C). Chứng minh I và K lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của VABC.
Bài 96. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Các tia phân giác ở đỉnh A, B, C lần lượt cắt (O) tại A1, B ,1 C1. Chứng minh AA1+ BB1+CC1> AB+BC+CA
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 21/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
21
Gợi ý: Lấy B’ thuộc tia AB sao cho AB’ = AC. Chứng minh A C1 = A B1 = A B1 '. Gọi H là trung
điểm BB’. Chứng minh 1 ( )
1
A A> AH= 2 AB+ AC . Viết các bất đẳng thức tương tự.
2. BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM
Bài 97. Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau ở A và B. AB cắt OO’ tại H. Điểm M nằm ngoài hai đường tròn và thuộc đường thẳng AB. Từ M vẽ tiếp tuyến MC của (O) và tiếp tuyến MD của (O’) (C và D là hai tiếp điểm).
Chứng minh HO2- HO'2= MO2- MO'2=R2- R'2 và MC = MD.
Ghi chú: đường thẳng AB được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn.
Bài 98. Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 ngoài nhau, có bán kính tương ứng bằng R1 và R2. Gọi A, B thuộc (O1); C, D thuộc (O2) là các tiếp điểm của hai tiếp tuyến chung ngoài AC và BD của hai đường tròn. Gọi I là trung điểm của AC, K là trung điểm của BD. Gọi H là giao điểm của IK và O1O2.
1.Chứng minh O O1 2 là đường trung trực của đoạn thẳng IK.
Hướng dẫn: Giả sử AC cắt BD tại Q, chứng minh QI = QK và tia QO1 trùng tia Q O2.
2.Chứng minh: HO12- HO22= IO12- IO22= R12- R12 . 3.Chứng minh H nằm ngoài hai đường tròn.
Hướng dẫn: Vì (O1) và (O2) ngoài nhau nên ta có (HO1- R1)+(HO2- R2) 0> . Suy ra
2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
HO R HO R 0 HO R HO R
- -
+ >
+ + . Sử dụng thêm đẳng thức
2 2
1 2
HO - HO = R12- R12 trong câu 3 để suy ra đpcm.
4.Chứng minh với mọi điểm M thuộc đường thẳng IK thì phương tích của điểm M đối với hai đường tròn bằng nhau (đường thẳng IK được gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn).
Hướng dẫn: Gọi p1 và p2lần lượt là phương tích của điểm M đối với (O1) và (O2). Khi đó
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 ( 1 1) ( MO2 2) ( 1 MO ) (2 1 2) (HO1 2) ( 1 2) 0 p - p = MO - R - - R = MO - - R - R = - HO - R - R = 5.Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trên đường tiếp tuyến chung trong.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 22/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
22
Bài 99. 1. Gọi I là tring điểm của đoạn thẳng OO', ta luôn có GO2- GO'2 =2GI OO. '.
Hướng dẫn: sử dụng hằng đẳng thức và xét hai trường hợp; G thuộc hoặc không thuộc đoạn thẳng OO'.
2 Cho hai đường tròn (O, R) và (O',R') có trục đẳng phương cắt OO' tại H. Chứng minh
2 '2 2 '2
HO - HO =R - R .
3 Giả sử M là điểm mà phương tích của M đối với hai đường tròn (O) và (O') bằng nhau.
Chứng minh M thuộc trục đẳng phương của hai đường tròn ấy.
Hướng dẫn: vẽ MK vuông góc với OO' tại K, ta có KO2- KO'2= MO2- MO'2= R2- R'2 (tại sao?). Suy ra KO2- KO'2= HO2- HO'2 . Sử dụng câu 1 ta có 2HI.OO' = 2GI.OO', suy ra HI = GI. Tự lý luận H trùng G.
Bài 100. Cho ba đường tròn từng đôi một không đồng tâm. Chứng minh rằng các trục đẳng phương của từng cặp đường tròn đồng quy.
Bài 101. Hai đường trũn (O R1, 1) và (O R2, 2) tiếp xỳc (ngoài hoặc trong) tại A (R1ạ R2). Lấy điểm M thuộc tiếp tuyến chung tại A của hai đường tròn. Từ M vẽ hai tiếp tuyến MC và MD với C thuộc ( )O1 và D thuộc ( )O2 . Hai đường thẳng CD và O O1 2 cắt nhau tại Q. Hai đường thẳng O C1 và O C2 cắt nhau tại O3.
1.Chứng minh: O C3 O D3 . 2.Chứng minh 1 1
2 2
QO R
QO = R (Hướng dẫn: dùng định lý Ménélaus trong VO O O1 2 3 với cát tuyến QCD).
3.Chứng minh QC Q. D=QA2 (Hướng dẫn: phương tích của Q đối với đường tròn tâm M bán kính bằng MC).
Ghi chú: bài toán có dạng phát biểu khác: Khi M di động, trên tiếp tuyến chung thì đường thẳng CD luôn đi qua điểm cố định.
Bài 102. Cho hai đường trũn (O R1, 1) và (O R2, 2) tiếp xỳc tại A (R1ạ R2). Một đường trũn ( )O3
tiếp xúc (trong hoặc ngoài tùy ý) với ( ) ( )O và O1 2 lần lượt tại C và D. Gọi Q là giao điểm của
1 2
O O với BC. Từ Q kẻ tiếp tuyến QT với ( )O3 (T là tiếp điểm). Tính độ dài đoạn thẳng QT theo R và R1 2 trong hai trường hợp:
1. ( )O1 tiếp xúc ngoài với ( )O2 . 2. ( )O1 tiếp xúc trong với ( )O2 .
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 23/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
23
Hướng dẫn: Hai tiếp tuyến tại C và D cắt nhau ở M. Chứng minh MA cũng là tiếp tuyến.
Chứng minh QT2=QC QD. . Sau đó áp dụng bài trên.
Bài 103. Cho hai đường trũn (O R1; 1) và (O R2; 2) (R1ạ R2) khụng đồng tõm và cú vị trớ tương đối tùy ý. Gọi xy là trục đẳng phương của chúng. Trục xy cắt O O1 2 ở H. Lấy điểm M tùy ý thuộc xy sao cho M nằm ngoài hai đường tròn. Từ M kẻ hai tiếp tuyến MC và MD với C thuộc
( )O1 và D thuộc ( )O2 . Hai đường thẳng CD và O O1 2 cắt nhau tại Q. hai đường thẳng O C1 và O D2 cắt nhau tại O.
1.Chứng minh rằng O C3 = O D3 2. Chứng minh 1 1
2 2
QO R QO = R .
3. Chứng minh rằng QC QD. = QH2+ R12- O H1 2 = QH2+ R22- O H2 2.
Hướng dẫn: QC.QD là phương tích của Q đối với đường tròn tâm M bán kính bằng MC.
Do đó QC.QD=QM2- MC2. Sử dụng định lý Pythagore trong DQMH và phương tích của M đối với ( )O1 .
Ghi chú: Từ điểm M có thế kẻ được bốn tiếp tuyến đến hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 . Do đó điểm Q có thể nằm ngoài hoặc thuộc đoạn thẳng O O1 2 tùy theo cách vẽ tiếp tuyến.
Bài 104. Cho hai đường trũn (O R1; 1) và (O R2; 2) (R1ạ R2) khụng đồng tõm và cú vị trớ tương đối tùy ý. Xét đường tròn ( )O3 tiếp xúc với ( )O1 tại C và tiếp xúc với ( )O2 tại D. Hai
đường thẳng CD và O O1 2 cắt nhau tại Q. Kẻ tiếp tuyến QT của đường tròn ( )O3 với T là tiếp điểm. Tính độ dài của QT theo R1, R2 và d= O O1 2 trong các trường hợp sau:
1.Hai đườngtròn ( )O1
và ( )O2
cùng tiếp xúc ngoài, hoặc cùng tiếp xúc trong với ( )O3
. 2.Hai đườngtròn ( )O1 và ( )O2 một đường tròn tiếp xúc ngoài, đường tròn còn lại tiếp xúc trong với ( )O3 .
BÀI 7. TỨ GIÁC NỘI TIẾP