VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRềN 1. BÀI TẬP CƠ BẢN

Bài 1. Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 13cm và đường tròn tâm O’ bán kính bằng 15 cm cắt nhau tại A và B. Đường thẳng OO’ cắt AB tại H. Giả sử AB24cm.

1. Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB và tính độ dài AH OH, và

’ O H.

2. Tính độ dài của OO’ trong hai trường hợp: H thuộc đoạn thẳng OO’ và H nằm ngoài đoạn thẳng OO’.

Bài 2. Cho đường tròn tâm O bán kính bằng 12cm và đường tròn tâm O’ bán kính bằng 5 cm . Giả sử OO13cm.

1. Chứng minh hai đường tròn cắt nhau.

2. Gọi A và B là hai giao điểm của hai đường tròn. Chứng minh AO là tiếp tuyến của

 O

3. Chứng minh OO vuông góc với AB tại trung điểm H của AB. Tính độ dài của AH và AB.

Bài 3. Cho điểm A thuộc đường tròn tâm O. Gọi O’ là tâm của đường tròn đường kính OA. 1. Hãy cho biết vị trí tương đối của  O và  O .

2. Giả sử  O có dây AB cắt  O tại C khác A. AO C' có gì đặc biệt? Chứng minh ACO ABO và O C // OB

3. Chứng minh C là trung điểm của AB.

Bài 4. Cho đường tròn tâm Obán kính R và đường tròn tâm O' bán kính băng R tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến OM của  O (M là tiếp điểm). OMO' là tam giác gì? Tính OM theo R và ’R .

Bài 5. Hai đường tròn  O và  O’ tiếp xúc ngoài tại A. Đường thẳng qua A cắt  O tại B

và cắt ’ O tại C.

1. Chứng minh ABO  ACO

2. Chứng minh OB // O C và tiếp tuyến Bxcủa  O song song với tiếp tuyến Cy của

 

’O

2.LUYỆN TẬP

Bài 6. Cho hai đường tròn tâm O và O’ tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ đường tiếp tuyến chung ngoài với tiếp điểm B thuộc  O và tiếp điểm C thuộc  O’ . Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC tại I.

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 2/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC





 2

1. AI là đường gì của ABC. Chứng minh ABCvuông tại A.

2. Chứng minh 1 1

2 ; 2

AIO  AIB AIO AIC và OIO' vuông tại I. 3. Chứng minh OO tiếp xúc với đường tròn đường kính BC. Bài 7. Cho điểm A thuộc đoạn thẳng OO’. Đặt ROA R; O A .

1. Hãy cho biết vị trí tương đối của hai đường tròn O R;  và O R ; 

2. Đường thẳng qua A cắt  O tại B và cắt  O tại C. Vẽ đường kính BD của  O

và đường kính CE của  O’ . Chứng minh BD // CE.

3. Chứng minh OAD đồng dạng với O’AE theo trường hợp c-g-c và AD R AE  R

 Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ đường tròn tâm O1 qua A và tiếp xúc với BC tại B, đường tròn tâm O2qua A và tiếpxúc với BCtại C.

1. Chứng minh MO A MO B1  1 ; MO A2  MO C2 (trường hợp c-c-c).

2. Chứng minh ba diểm O A O1, , 2 thẳng hàng.

3. Xác định vị trí tương đối của  O1 và  O2 . AM là đường gì đối với  O1 và  O2 ? Bài 9. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B. Vẽ đường kính ACcủa  O và

đường kính AD của  O' .

1. Chứng minh , , C B Dthẳng hàng và CD2OO'.

2. Một cát tuyến quay quanh A cắt  O tại M và cắt  O’ tại N. Vẽ OIvuông góc với MN ở I OH, vuông góc với MN ở H . Chứng minh MN 2IH 2OO'.

3. Xác định vị trí cát tuyến MN dài nhất.

Bài 10. Hai đường tròn tâm O và O’ cắt nhau tại A và B. Gọi K là trung điểm của OO’. Đường thẳng qua A và vuông góc với AK cắt  O tại M và cắt  O’ tại N. Chứng minh A là trung điểm của MN.

Hướng dẫn: Vẽ OI vuông góc với MN ở I, O'Hvuông góc với MN ở H.

Bài 11. Cho hai dường tròn tâm O1 và O2 tiếp xúc ngoài tại E. Vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài AB và CDvới A và D là hai tiếp điểm thuộc  O1 ; B và C là hai tiếp điểm thuộc O2. Chứng minh:

1. Tứ giác ABCD là hình thang cân (Gợi ý: CDvà BA kéo dài cắt nhau ở F);

2. BC AD AB CD    (Gợi ý: vẽ tiếp tuyến chung trong tại E cắt AB và CDở M và N).

CÁC BÀI TÍNH TOÁN VÀ BÀI NÂNG CAO

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 3/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC





 3

Bài 12. Cho hai đường tròn  O và  O’ cùng có bán kính bằng R, cắt nhau tại A và B sao cho O và O’ nằm ở hai bên đường thẳng AB. Đường thẳng qua A cắt  O tại Cvà cắt  O’

tại D sao cho A nằm giữa C và D . Chứng minh BC BD .

Hướng dẫn: Vẽ hai đường kính AI của  O và AK của  O' . Chứng minh B là trung điểm của IK (phải chứng minh I, B, K thẳng hàng). Tứ giác CDKI là hình gì?

Bài 13. Cho đường tròn tâm O bán kính bính 12cm và đường tròn tâm O’bán kính bằng 16cm cắt nhau tại A và B. OO cắt AB tại I. Giả sử độ dài OO là bội chung của 4 và 5. Tính độ dài AB và OI. (Gợi ý: chứng minh OAO’ vuông)

Bài 14. Cho hai đường tròn O; R và O’; R tiếp xúc ngoài tại A(R R’) . Vẽ tiếp tuyến chung ngoài với tiếp điểm B thuộc  O và tiếp điểm Cthuộc  O' . Tiếp tuyến tại A cắt BC tại I.

1. Tính độ dài BC theo R và R’ (Hướng dẫn: vẽ O H vuông góc với OB ở H và dùng định lý Pythagore trongOO H ).

2. Tính diện tích IOO theo R và R.

Bài 15. Cho hai đường tròn O R1, i và 0 ; R2 2tiếp xúc ngoài tại A (vẽ R1 R2. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BCvới tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc O2 . Giả sử có đường tròn tâm I tiếp xúc ngoài với cả hai đường tròn  O1 và  O2 , đồng thời tiếp xúc với đoạn thẳng BCtại H.

1. Tính bán kính X của đường tròn  I theo R1 và R2. Hướng dẫn: tínhBC, BH, HC theo R ; R1 2và x.

2. Giả sử thêm BO O1 2 60 0. Tìm hệ thức giữa R1và R2(Hướng dẫn: Vẽ O H2 O B1 tại H,2O H1 O O1 2).

Bài 16. Cho nửa đường tròn tâm Ođường kính AB.Điểm C di động trên đoạn thẳng AB.Gọi I và K lần lượt là tâm của đường tròn đường kính ACvà đường kính CB.Tiếp tuyến chung tại C của  I và  K cắt  O tại D. AD cắt  I tại M và BD cắt  K tại N.

1. Chứng minh MN CD và tìm vị trí của C để MNdài nhất.

2. Tìm vị trí của C để diện tích tứ giác CMDN lớn nhất. Hướng dẫn:

2 2

CMDN 2

CM MD

S CM MD  

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 4/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC





 4

Bài 17. Hai đường tròn O1; R1 và O2;R2 tiếp xúc ngoài tại T (giả sử R1 R2. Tiếp tuyến chung ngoài BC (tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểmCthuộc  O2 cắt đường thẳng

1 2

O O tại A. Giả sử BC 1 0 3 cm và O AB1 30 0. Tính R1 và R2.

Hướng dẫn: Vẽ O H2 vuông góc với O B1 ở H. Từ giả thiết O AB1 30 0, hãy chứng minh O O1 2 và O O cos1 2 300 BC.

Bài 18. Cho hai đường tròn O; R và O’; R’ ngoài nhau. Hai tiếp tuyến chung ngoài ACvà BD cắt nhau tại I với A và B thuộc  O , C và D thuộc  O’ . Gọi M và N là trung điểm của ACvà BD. Hai tiếp tuyến chung trong cắt nhau tại K.

1. Tia IO và tia IO là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung ngoài?

2. Tia KO và tia KO' là gì đối với góc tạo bởi hai tiếp tuyến chung trong? Có nhận xét gì về bốn điểm , , , I O K O?

3. Chứng minh OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng MN. 4. Tính độ dài của AB, CD và MN theo , R R và d OO. Hướng dẫn: AB cắt IO tai H. Chứng minh IO R

IO  R

 , suy ra IO R

IO IO  R R

  . Tính độ dài IO OH AH, , và AB . Tương tự cho CD.

Bài 19. Cho hai đường tròn O; R và O’; R ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB và tiếp tuyến chung trong CDvới A và C thuộc  O , B và D thuộc  O’ . Đặt d OO .  ' Tính độ

dài của AB và CDtheo R, R’ và d.

Hướng dẫn: CD cắt OO’ tai I . Chứng minh CI OI R CD  d  R R

  . Sử dụng định lý Pythagore để tính IC, suy ra độ dài của CD.

Bài 20. Hai đường tròn O1; R 1và O R2; 2 tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếptuyến chung ngoài BC với tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc O2 . Hãy tính độ dài của AB và AC theo R1 và R2.

Hướng dẫn: Tiếp tuyến chung tại A cắt BC ở I. Tính độ dài của BC và AI theo R1 và R 2. Gọi H là giao điểm của IO1 và AB. Ta có 2 2 2

1

1 1 1

AH  AO  AI

Bài 21. Hai đường tròn O R1; 1 và O2;R2 tiêp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với tiếp điểm B thuộc  O1 và tiếp điểm C thuộc  O2 . Giả sử AB 1 2cm và

AC 1 6cm. Hãy tính R1 và R2.

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 5/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC





 5

Bài 22. Cho điểm B thuộc đoạn thẳng AC.Gọi O1; R1 và O ;R2 2 là hai đường tròn đường kính AB và BC tương ứng. Vẽ d1 là tiếp tuyến của  O1 tại A và d2 là tiếp tuyến của  O2 tại C. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài FGvới tiếp điếm F thuộc  O1 và tiếp điểm G thuộc  O2 ; FG cắt d1 tại D và cắt d2 tại E. Tiếp tuyến chung trong tại B cắt FG tại I.

1. Tính độ dài của BI, AD và CE theo R1 và R2. Hướng dẫn: Chứng minh 1 2; 1

2

BI  FG  R R ADO đồng dạng với BO I1 2. Tính diện tích tứ giác ACED theo R1 và R2.

Bài 23. Cho điểm A cố định bên trong đường tròn tâm O và A khác O. Dây BC của  O

quay quanh điểm A. Gọi O1 và O2 là tâm của hai đường tròn cung qua A và tiếp xúc với

 O tại B và Ctương ứng.

1. Chứng minh tứ giác OO AO1 2 là hình bình hành. Dây BC ở vị trí nào thì hình bình hành trở thành hình thoi?

Hướng dẫn:chứng minh BAO1 và ….

2. Hai đường tròn  O1 và  O2 cắt nhau tại M khác A. Chứng minh OM // O O1 2 và M luôn di động trên một đường cố định khi dây BC quay quanh A.

Hướng dẫn: hãy xác định đường trung bình của AMO. Có nhận xét gì về AMO?

Bài 24. Cho ba đường tròn tâm O O1; 2 và O3 tiếp xúc ngoài nhau từng đôi một, với A là tiếp điểm của  O2 và  O3 ; B là tiếp điểm của  O3 và  O1 ; Clà tiếp điểm của  O1 và  O2 ;

AB và AClần lượt cắt  O1 tại D và E. Chứng minh DE là đường kính của O1 .

Hướng dẫn vẽ hình: vẽ đường tròn nhỏ (bán kính khoảng lcm) và lấy ba điểm A, B, Ctùy ý trên đó. Vẽ ba tiếp tuyến tại A, B, Ccắt nhau tại các điểm O O O1, , 2 3 thích hợp với đề bài.

Sau đó vẽ ba đường tròn tâm O ;O , O1 2 3. Chứng minh O D1 // AO3 vàO E1 // AO2.

Bài 25. Hai đường tròn tâm O vá O ngoài nhau. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài AB với tiếp điểm A thuộc  O và tiếp điểm B thuộc O . Vẽ hai tiếp tuyến chung trong EH và FG với E và F thuộc  O ; Gvà H thuộc  O’ . EH cắt AB tại C, FG cắt AB tại D. Chứng minh AC BD .

Hướng dẫn: Gọi I là trung điểm của OO và M là trung điểm của CD. Chứng minh:

1. OCO’ vuông ở C và ODO’ vuông ở D , tứ giác AOO B’ là hình thang.

2. IM là đường trung trực đoạn thẳng CD và là đường trung bình của hình thang ' ,

AOO B suy ra AC BD

https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 6/43

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC





 6

Ghi chú: bài toán trên có nguồn gốc từ bài toán lớp 8 như sau: vẽ tam giác nhọn KOO'có hai đường cao ODvà O C . Vẽ OAvuông góc với CDtại A', O B vuông góc với CDtại B. Chứng minh AD BC .

BÀI 6. GểC Ở TÂM ĐƯỜNG TRềN – GểC NỘI TIẾP VÀ GểC Cể ĐỈNH