1. Hãy nếu cách dựng ( không cần giải thích) tâm O1 của đường tròn đi qua A và tiếp xúc với BC tại C, tâm O2 của đường tròn đi qua B và tiếp xúc với AC tại C.
2. Hai đường tròn ( )O1 và ( )O2 cắt nhau tại điểm thứ hai D khác C. Kéo dài CD ta có tia Dx. Chứng minh ãADx= ãACB= BDxã ( Gợi ý: ãADx và BDxã là gúc ngoài của những tam giác nào?).
3. Chứng minh ãADB= ãAOB.
Bài 70. Cho đường tròn tâm O có dây BC và đường kính BE. Gọi K là trung điểm của BC. Tia EK cắt ( )O tại M. Lấy điểm D tùy ý thuộc ( )O ( nhưng khác điểm, B, E, C) rồi vẽ BH vuông góc với CD tại H. Gọi I là trung điểm của BH.
1. Chứng minh CEMã = CDIã . ( Gợi ý:tanã 1tanã
CEM = 2 CEB và tanã 1tanã CDI = 2 CDB ).
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 16/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
16
2. Chứng minh ba điểm D, I, M thẳng hàng. ( Gợi ý: tia DI cắt ( )O tại M’, chứng minh
ẳ ẳ
d d '
s BM = s BM ).
Bài 71. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn ( )O cắt nhau tại A. Gọi K là trung điểm của BC. Vẽ đường kính BE, AE cắt ( )O tại M.
1. Chứng minh tanã 1tanã
BEM = 2 BOA và tanã 1tanã KEC= 2 BEC . 2. Chứng minh BEMã = ãKEC .
3. Lấy D tùy ý thuộc ( )O ( D khác B và C). Vẽ CH^ BD tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh tanã 1tanã
BDI= 2 BDC và BDIã = ãKEC. 4. Chứng minh D, I, M thẳng hàng.
Bài 72. Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B và điểm O thuộc ( )O' . Điểm C thuộc ( )O' và nằm ngoài ( )O . Tia CA cắt ( )O tại D, tia CB cắt ( )O tại E.
1. Chứng minh rằng CO là tia phõn giỏc của ãACB.
2. Chứng minh rằng hai dây AD và BE dài bằng nhau và tứ giác ADBE là hình thang cân.
3. Tia CO cắt ( )O tại I và K ( I nằm giữa C và O). Chứng minh đường kính IK vuông góc với dây BD ( hoặc dây AE); I và K là tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của
ABC
D .
Bài 73. Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B và điểm O thuộc ( )O'
. Điểm C thuộc ( )O' và nằm bên trong ( )O . Tia AC cắt ( )O tại D, tia BC cắt ( )O tại E.
1. Chứng minh rằng CO là tia phõn giỏc của một trong hai gúc ãACE hoặc BCDã . 2. Chứng minh hai dây AD và BE dài bằng nhau và tứ giác ABDE là hình thang cân.
3. CO cắt đường tròn ( )O tại I cà K. Chứng minh IK vuông góc với BD và AE 4. Chứng minh I và K là tâm đường tròn bàng tiếp của DABC.
Bài 74. Cho nửa đường tròn tâm I đường kính CD. Vẽ hai tiếp tuyến Cx và Dy của ( )I ở cùng phía với nửa đường tròn. Lấy điểm M thuộc CD và điểm A thuộc Dy. Đường tròn (ADM) tâm
O cắt ( )I tại E khác D, DE cắt Cx tại K.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 17/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
17
1. Vẽ đường kính DF của ( )O . Tứ giác AFMD là hình gì ?
2. Chứng minh C, F, E thằng hàng và DDCK đồng dạng với DFMC.
3. Chứng minh DMCK đồng dạng với DADC theo trường hợp c-g-c rồi suy ra AC vuông góc với MK.
Bài 75. Cho đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với D, E, F là các tiếp điểm trên BC, CA, AB. Vẽ DH vuông góc với EF tại H. Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của DF và DE. Chứng minh:
1. ãHED=IFBã (đặt bằng x) và HFDã = KECã (đặt bằng y)
2.HE = 2ECcosx.cosy và HF = 2FBcosx.cosy (gợi ý các tam giác BIF và CKE vuông ở I và K).
3. Hai tam giác HEC và HFB đồng dạng theo trường hợp c.g.c, suy ra HD là tia phân giỏc của BHCã .
Bài 76. Cho xOyã nhọn cố định và điểm A cố định thuộc tia Ox. Vẽ tia At vuụng gúc với OX tại A sao cho At cắt Oy. Điểm J di động trên At. Đường tròn tâm J bán kính JA cắt Oy ở B và C (B và C di động theo J). Chứng minh tâm K của đường trọn nội tiếp tam giác ABC di động trờn đường trũn cố định. (Gợi ý: AK cắt Oy ở D thỡ ãADO là gúc ngoài của tam giỏc nào?
Chứng minh tam giác OAD cân ở O).
Bài 77. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên các cung BC không chứa A, cung CA không chứa B, và cung AB không chứa C, lần lượt lấy các điểm A’, B’ và C’. Chứng minh rằng:
1. Nếu AA’, BB” và CC’ là ba tia phân giác của ba góc trong tam giác ABC thì AA’ vuông góc với B’C’ (Hướng dẫn: gọi H là giao điểm của AA’ và B’C’. Chứng minh
ã ' ã '
AHB = AHC ).
2.Nếu AA’, BB’ và CC’ tương ứng vuông góc với BC, CA, AB thì A’A là tia phân giác của B A Cã' ' ' (Hướng dẫn: chứng minh sđẳ 'AB = sđẳ 'AC ).
Bài 78: Cho tam giác ABC. Điểm D di động trên đường thẳng AB, điểm E di động trên đường thẳng AC sao cho D và E luôn ở cùng phía đối với đường thẳng BC và BD = CE. Gọi I là điểm chính giữa cung BC chứa A của đường tròn (ABC)
1. Chứng minh VIBD=VICE
2.Chứng minh VIDE đồng dạng với VIBC và DE = ID BC IB ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ. 3.Tìm vị trí của D sao cho DE ngắn nhất.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen 18/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TOÁN 9 – HÌNH HỌC
18
Ghi chú: nếu D và E di động nhưng ở hai bên BC và I là điểm chính giữa cung BC không chứa A của đường tròn (ABC) thì kết quả bài toán không đổi.
1. BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TÍCH CỦA ĐƯỜNG TRềN