I M= E D.
2. BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM
BÀI 7 TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1. Trong các câu sau, tứ gác ABCD có nội tiếp khơng?
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
24/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
24
2. Tứ giác ABCD là hình thang cân. 3. Tứ giác ABCD là hình bình hành.
Bài 2. Cho tam giác nhon ABC có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Chứng minh hai tứ
giác AEHF và BCEF nội tiếp.
Bài 3. Trên cạnh Ax của xAy· , lấy AB< AE . Trên cạnh Ay lấy C và D sao cho
AC< AB< AE< AD. Giả sử AB AE. = AC AD. . Chứng minh
1.DABC đồng dạng với DADE. 2. Tứ giác BCDE nội tiếp.
Bài 4. Hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại O. trên Ox,Oy, Ox’, Oy’ lần lượt lấy các điểm A,C, B và D sao cho OAOC. = OB.OD. Chứng minh
1. DOAB đồng dạng với DODC. 2. Tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài 5. Hai tiếp tuyến tại D và E của đường tròn ( )O cắt nhau tại C. Vẽ cắt tuyến CBA sao cho
D thuộc cung nhỏ AB. Gọi I là trung điểm của AB.
1. Chứng minh tứ giác CDIO nội tiếp.
2. Chứng minh ngũ giác CDIOE nội tiếp (Hướng dẫn: Chứng minh E thuộc đường tròn
(CDO))
Bài 6. Cho · 90o
xOy= , A thuộc Ox và B thuộc .. sao cho OA =OB . Lấy M bất kỳ trên tia
B y. Vẽ B H vng góc với tia A Mở H và tia HB cắt tia AO tại C. 1. Có nhận xét gì về hai tứ giác OAHB và OCMH? ·
BHO bằng những góc nào? 2. Tính · A HO và · OMC . Bài 7. Cho · = 90o
xOy . ĐiểmA cố định thuộc tia Ox . Điểm M di động trên tia Oy. Vẽ hình vng AMCB nằm phía trong ·
xOy. Gọi I là giao điểm của AC và BM. 1. Tứ giác AOMI có gì đặc biệt?
2. Chứng minh I luôn di động trên một tia cố định (Hướng dẫn: tính A OI· )
Câu hỏi nâng cao (tùy chọn):
3. Khi M di động thì B và C di động trên đường cố định nào? (Hướng dẫn: B cách tia Ox và
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
25/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
25
Bài 8. Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Đường thẳng xy là tiếp tuyến tại A của
(O). Lấy điểm D trên cạnh AC và E trên cạnh AB sao cho DE // xy. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp.
Bài 9. Tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường trịn tâm O và có hai đường cao BD và CE.
Chứng minh:
1. Tứ giác BCDE nội tiếp.
2. DE song song với tiếp tuyến xy tại A của (O).
Bài 10. Cho đường trịn (O) có dây cung BC song song với tiếp tuyến tại A. Lấy điểm E thuộc
cung nhỏ AC. Tia CE cắt tiếp tuyến ở M. Đoạn thẳng BM cắt (O) ở D. Tia ED cắt AM ở I. 1. ·
CBD bằng những góc nào? 2. Chứng minh IM2 = ID. IE.
3. Chứng minh IA2 = ID. IE. Nhận xét điểm I.
Bài 11. Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE và CF đồng quy ở trực tâm H.
1. Chứng minh hai tứ giác CDHE và CDFA nội tiếp. ·
A CF bằng những góc nào? Nhận xét gì về tia DH?
2. Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp và EH là tia phân giác của · EF
D . Điểm H là gì của tam giác DEF?
Bài 12. Lấy điểm A bên trong ·
xOy nhọn. Vẽ AB vng góc với Ox ở B; BD vng góc với Oy ở D; AC vng góc với Oy ở C; CE vng góc với Ox ở E; OA cắt DE tại K.
1. Chứng minh hai tứ giác ABOC và BCDE nội tiếp. 2. ·
BCO bằng những góc nào?
3. Chứng minh OA vng góc với DE.(Gợi ý: tứ giác ABEK nội tiếp)
Bài 13. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau ở A. Lấy M thuộc dây BC sao
cho MB > MC. Đường thẳng vng góc với OM tại M cắt AB ở I, cắt AC kéo dài ở K.
Chứng minh:
1. Hai tứ giác OMIB và OMCK nội tiếp. 2. · ·
=
OIM OKM và M là trung điểm của IK.
Bài 14. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường trịn. Điểm M thuộc cung BC khơng chứa A.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
26/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
26 1. Tứ giác AHMK có tính chất gì? · MHK và · MKH bằng những góc nào? 2. Chứng minh MHK đồng dạng với MBC.
3. Giả sử HK cắt BC tại G. Chứng minh MG BC.
Bài 15. Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O (nên vẽ BC gần tâm). Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC. Vẽ MH vng góc với BC ở H và MK vng góc với AB ở K
và giả sử K nằm ngoài cạnh AB. 1. Chứng minh · MHK = · MBK . 2. Chứng minh · MHK = · MCA.
3. Kéo dài KH cắt AC ở I. Chứng minh MI vng góc với AC.
Bài 16. Cho tam giác ABC nhọn, AB<AC, nội tiếp đường tròn tâm O (nên vẽ BC gần tâm). Lấy
điểm M thuộc cung nhỏ BC. Vẽ MH vng góc với BC ở H ; MK vng góc với AB ở K và giả sử K nằm ngồi AB. Vẽ MI vng góc với AC ở I. Chứng minh:
1. ·MHK = · MHK = · MBK = · MCA. 2. · MHI bù với · MCA và ba điểm K, H, I thẳng hàng.
Ghi chú: đường thẳng qua K, H, I được gọi là đường thẳng Simpson.
2. LUYỆN TẬP
Bài 17. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Một đường thẳng vng góc với OA và
cắt hai cạnh AB và AC của tam giác lần lượt tại E và D. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp (Hướng dẫn: vẽ tia tiếp tuyến tại A của (O)).
Bài 18. Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng xy. Vẽ OH vng góc với xy ở H. Lấy điểm A
thuộc đoạn thẳng OH. Trên đường tròn tâm O bán kính bằng OA, lấy hai điểm B và C khác
A. Tia BA và tia CA lần lượt cắt xy ở D và E. Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp (Hướng dẫn: vẽ tiếp tuyến tại A).
Bài 19. Cho đường trịn (O) cố định có dây cung AB cố định. Điểm M di động trên cung lớn AB. Vẽ MH vng góc với AB ở H . Vẽ HD vng góc với MA ở D và HC vng góc với MB ở C.
1. Chứng minh ·
MDC = ·
MHC . 2. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
27/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
27
Ghi chú: câu 3, có thể phát biểu dưới dạng khác: Chứng minh tia xuất phát từ M và vng
góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 20. Cho AB và CD là hai dây cung của một đường tròn cắt nhau tại I. Gọi M là điểm chính
giữa (trung điểm) của cung nhỏ AD. BM cắt ID tại K. Lấy điểm H thuộc đường thẳng IB
sao cho HK // AC. Chứng minh:
1. Tứ giác BDKH (hoặc BKDH) nội tiếp. 2. Tam giác KDH cân ở K.
Bài 21. Cho hai đường tròn tâm O và O' cắt nhau ở A và B. Dây AD của (O') cắt (O) tại C nằm
bên trong (O'). Tiếp tuyến của hai đường tròn tại C và D cắt nhau ở E. Chứng minh tứ giác
BCDE nội tiếp (Gợi ý: nối A và B)
Ghi chú: Trong một bài tập khác, nếu A nằm giữa hai điểm C và D thì tứ giác BCED vẫn
nội tiếp.
Bài 22. Cho tứ giác ABCD có góc ở đỉnh A và C nhọn, ngoại tiếp đường tròn tâm O với các
tiếp điểm E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh BC, G thuộc cạnh CD và H thuộc cạnh DA. 1. Chứng minh · EOH bù với µ A, · FOG bù với µ C . 2. Chứng minh nếu EG = HF thì µ A = µ C. 3. Chứng minh nếu µ A = µ C thì EG = HF.
Bài 23. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O . Hai đường thẳng AB và CD cắt
nhau ở E, AD và BC cắt nhau ở F. Tia phân giác của góc BEC cắt BC, AD lần lượt tại các điểm I và K.
1. Chứng minh · · =
FKI FIK (Gợi ý: hai góc này là hai góc ngồi của những tam giác nào?)
2. Chứng minh hai tia phân giác của ·
AFB và của ·
BEC vng góc với nhau.
Bài 24. Cho hai đường tròn tâm O và O' cắt nhau ở A và B. Cát tuyến qua A cắt (O) ở C, cắt
(O') ở D sao cho A nằm giữa C và D. Tiếp tuyến của (O) tại A cắt BD tại F, tiếp tuyến của (O') tại A cắt BC tại E. Chứng minh:
1. · µ µ = + EAF C D.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
28/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
28
Trường hợp khác của bài toán (tùy chọn): Giả thiết như trên nhưng C nằm bên trong (O')
(thay vì A nằm giữa). Ngồi ra, ký hiệu µ
C và µ
D là hai góc trong của BCD và a là nửa tổng số đo hai cung AB nằm bên trong hai đường trịn.
1. Chứng minh µ µ + = C D a . 2. Chứng minh · · = - = EAF 180o a CBD. 3. Có nhận xét gì về bốn điểm A, B, E, F? Chứng minh EF // CD.
Bài 25. Cho AB1và AC1là hai dây cung bằng nhau của một đường tròn. Lấy điểm H bên trong
đường tròn sao cho AH = AB1 = AC1(AH nằm giữa AB1 và AC1). Kéo dài B1H cắt đường
tròn ở B.
1. Chứng minh · = · 1
BHA BC A và · = ·
1 1
BHC BC H (Gợi ý: hai tam giác cân và một tứ giác nội tiếp sẽ suy ra được điều gì về góc?)
2. Kéo dài AH cắt đường tròn ở A1. Chứng minh BC1 = BH = BA1.
3. Kéo dài C1H cắt đường tròn ở C. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của
A1B1C1.
4. Chứng minh CA1 = CH và H là trực tâm của ABC.
Bài 26. Cho AD là dây cung của đường trịn tâm O bán kính bằng R sao cho AD<R 3. Phía trong đường trịn dựng tam giác ADE đều. Vẽ dây cung AB = AD. Kéo dài BE cắt (O) ở C. Chứng minh CE = R.
Hướng dẫn:
Chứng minh · · =
CDA CEA và CE = CD giống bài trên rồi chứng minh CA D· = 30.
Bài 27. Hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau ở A và B. Vẽ dây AC của (O1) tiếp xúc với
(O2) tại A; vẽ dây AD của (O2) tiếp xúc với (O1) tại A. Gọi E là điểm đối xứng của A qua B.
1. Hai đường trung trực của AC và của AD cắt nhau ở I. Chứng minh tứ giác AO1IO2 là
hình bình hành.
2. Chứng minh tứ giác ACED nội tiếp đường trịn tâm I (Gợi ý: tính chất đường trung bình của tam giác ABI cho O1O2 // BI)
Bài 28. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn. Điểm M di động trên cung nhỏ BC. Vẽ MH vng góc với AB ở H và MK vng góc với AC ở K .
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
29/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
29
2. Chứng minh MHK đồng dạng với MBC theo trường hợp góc-góc, suy ra
HK = BC. MH MB
3. Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để HK dài nhất (Gợi ý: Lúc đó H trùng với B)
Bài 29. Cho đường trịn tâm O đường kính BC. Điểm H thuộc đoạn thẳng OB. Lấy điểm A bên
ngồi đường trịn sao cho AH vng góc với BC. Từ A kẻ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm
là D và E sao cho D ở giữa B và E. Chứng minh:
1. Tứ giác AEHD nội tiếp (Gợi ý: đường trịn đường kính AO) 2. HA là tia phân giác của góc DHE;
Câu hỏi nâng cao (tùy chọn):
3. Ba đường thẳng BE, CD và AH đồng quy (Gợi ý: EH cắt (O) ở F, DH cắt (O) ở G. Chỗ đồng quy là tâm đường tròn nội tiếp DEH)
4. Ba đường thẳng BD, CE và AH đồng quy (Gợi ý: Tại tâm đường tròn bàng tiếp của
DEH)
Bài 30. Cho tam giác ABC có I là tâm đường trịn nội tiếp. Gọi O là tâm của đường tròn (BIC).
1. Chứng minh · · =
IOC A BC và · · =
IOB A CB
2. Có nhận xét gì về tứ giác OBAC? Chứng minh O, I, A thẳng hàng.
(Hướng dẫn: AO là tia phân giác của góc BAC)
3. Vẽ đường kính IJ của (O). Điểm J có gì đặc biệt đối với tam giác ABC?Tính BJC· theo
· = BA C.
a
Bài 31. Cho A di động trên nửa đường trịn đường kính BC cố định. Gọi I là tâm đường trịn
nội tiếp tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn (BIC) . Chứng minh điểm O là điểm cố định và tính bán kính của (O).
Bài 32. Cho tam giác ABD có AD<AB. Đường trung trực của BD cắt tia phân giác của góc BAD tại C. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài 33. Cho tam giác ABE cân ở A và nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi D là trung điểm của AE .
Vẽ bán kính OF vng góc với BE, F thuộc cung BE không chứa A.Gọi C là trung điểm của OF.
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
30/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
30
1. OF là đường trung trực của BC và DCAB = DACE.
2. A,O,F thẳng hàng và tam giác CDE cân ở C. 3. Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Bài 34. Bốn điểm A,B,C,D nằm trên đường tròn (O) theo đúng thứ tự sao cho BA = BD. Hai đường thẳng CD và AB cắt nhau ở E.Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC tại F.Chứng minh:
1. · · ·
= =
EA F BA D ECF .
2. Tứ giác ACEF nội tiếp và AD//EF.
Bài 35. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và AB<AC.Hai tiếp tuyến tại B,C cắt nhau ở D.Từ D kẻ tia song song với AB và cắt AC ở I. Từ D kẻ tia song song với AC và cắt AB ở K.Chứng minh:
1. Tứ giác BICD nội tiếp; 2. Tứ giác BOIC nội tiếp;
3. Sáu điểm B,C,D,B,O,K cùng thuộc một đường tròn.
Bài 36. Hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau ở A, B.Lấy điểm C thuộc (O2) và ở trong (O1)
;điểm D thuộc (O1) và ở trong (O2) .Tia AC căt (O1) ở E, Tia AD căt (O2) ở F. 1. Chứng minh DBCE : DBFD theo trường hợp góc – góc.
2. Nếu AB là tia phân giác góc CAD thì chứng minh CE = DF.
Bài 37. Từ A ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến với hai tiếp điểm là B, C.Lấy điểm M
thuộc cung nhỏ BC . Vẽ MD,ME,MF tương ứng vng góc với BC,CA,AB tại D,E,F. 1. Tìm và chứng minh hai tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh · · · ·
= , = , 2 = . .
MDE MFD MDF MED MD ME MF
3. BM cắt DF ở I, CM cắt DE ở K. Chứng minh tứ giác MIDK nội tiếp.
Bài 38. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H.
Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa A.
1. Chứng minh · · · ·
+ = 180 ;o + = 180o
A BC A HC A CB A HB .
2. Điểm I đối xứng với M qua AC, điểm K đối xứng với M qua AB. Chứng minhA IC· = A BC·
và tứ giác AHCI nội tiếp; · · =
A KB A CB và tứ giác AHBK nội tiếp. 3. Chứng minh · · · ·
= ; =
https://www.facebook.com/groups/tailieuhsgvatoanchuyen
31/43
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC TỐN 9 – HÌNH HỌC
31
Bài 39. Cho tam giác ABC vuông ở A. Điểm D thuộc cạn AC sao cho · · >
A BD DBC . Vẽ đường tròn tâm D tiếp xúc với BC ở T.Từ B kẻ tiếp tuyến của (D) với tiếp điểm E khác T.Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BE tại I.
1. Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp. 2. Chứng minh IEA· = Cµ ·+ DBC . 3. Chứng minh tam giác AIE cân tại I.
Bài 40. Cho đường tròn tâm O có đường kính BE và dây cung BC.Gọi K là trung điểm của BC. EK cắt (O) tại M.VẽBH vuông góc với CM ở H.Tiếp tuyến tại M cắt BH ở I.Chứng minh:
1. Các cặp tam giác BEC và BMH; BEK và BMI đồng dạng theo trường hợp góc – góc. 2. Tứ giác BIMK nội tiếp.
3. I là trung điểm của BH.
Bài 41. Cho đường trịn tâm O có đường kính BE và dây cung BC.Gọi K là trung điểm của BC. EK cắt (O) tại M.VẽBH vng góc với CM ở H.Gọi I là trung điểm của BH.Chứng minh:
1. Tứ giác KMBI nội tiếp. 2. · ·
=
BCM BMI .
3. Đường thẳng MI là tiếp tuyến của (O).
Bài 42. Cho đường trịn tâm O có đường kính BE và dây cung BC. Gọi K là trung điểm của BC. Lấy điểm D tùy ý thuộc (O) nhưng khác với B,C,E. VẽBH vng góc với CD ở H. Gọi I
là trung điểm của BH.
1. Chứng minh · · · · · ·
= 1 = 1
t an t an ; t an t an . Suy ra: HDI= CEK
2 2
HDI HDB CEK CEB .
2. DI cắt EK ở M. Chứng minh M thuộc(O).
Bài 43. Từ điểm A nằm ngồi đường trịn tâm O, vẽ hai tiếp tuyến AB và AC (B,C là hai tiếp
điểm).OA cắt BC ở K. Vẽ đường kính BE của (O), EK căt (O) tại M. Chứng minh: 1. Hai tứ giác ABOC và ACKM nội tiếp;
2. MAOMBA và AO tiếp xúc với đường tròn (ABM). 3. Vẽ đường kính CF. Chứng minh A, M, Fthẳng hàng.
Bài 44. Hai tiếp tuyến tại B và C cửa đường tròn (O) cắt nhau ở A. Lấy điểm D tùy thuộc (O)
nhưng không trùng với B và C. Vẽ BH vng góc với CD ở H. Gọi I là trung điểm của BH, DI