2 (1 ) sin os 113 o s os 1 3 sin 13 3 sin
2.3.1 Giới thiệu về thuật toỏn GRG
Xột bài toỏn tối ƣu:
Trong đú hàm f(x) và hi(x) phải liờn tục và khả vi tại x và lõn cận của x thỏa món:
{x | xlk ≤ x ≤ xuk k = 1,..., n} (2-6)
Trƣớc hết khai triển gần đỳng hàm f(x) và hi(x) tại x1 nhƣ sau:
(2-7) Cỏc biến số đƣợc chia thành hai tập là là cỏc biến cơ sở và là cỏc biến khụng cơ
sở. Cỏc hệ số cũng chia thành hai tập hợp là và chứa cỏc biến cơ sở và biến khụng cơ sở theo thứ tự đú, dạng khai triển của hai đại lƣợng này nhƣ sau:
(2-8)
Vỡ x1 là phƣơng ỏn xấp xỉ đầu chấp nhận đƣợc, thỏa cỏc ràng buộc của bài toỏn nờn nghiệm kế tiếp cú thể viết là:
(2-9) Biểu diễn cỏc điều kiện ràng buộc dƣới dạng nhƣ sau:
(2-10)
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 36
(2-11) Thay cỏc biến cơ sở từ hàm mục tiờu vào phƣơng trỡnh (2-11) ở trờn, giỏ trị của hàm mục tiờu thay đổi từ n đến (n – m) đồng thời bài toỏn trở thành bài toỏn quy hoạch phi tuyến khụng bị ràng buộc.
Nếu x1 là lời giải tối ƣu, gradient của hàm mục tiờu phải bằng khụng, điều đú cú nghĩa là:
(2-12)
Phƣơng trỡnh (2-12) xem nhƣ lƣợng giảm vộc tơ gradient, nếu vộc tơ gradient giảm bằng 0 tại giỏ trị x1 thỡ nú cũng thỏa món điều kiện cõn bằng Lagrange. Trỏi lại nếu di
chuyển dọc theo hƣớng sẽ đạt đƣợc giỏ trị nhỏ hơn của hàm mục tiờu. Giỏ trị mới này sẽ đƣợc giữ lại, theo phƣơng trỡnh (1) cỏc biến cơ sở sẽ biến đổi theo hƣớng
, do đú hƣớng tỡm kiếm nghiệm mới của bài toỏn sẽ là:
(2-13) Cỏc hƣớng tỡm kiếm đó xỏc định nhƣng độ dài bƣớc đi trờn hƣớng đú chƣa tớnh đƣợc, giỏ trị của bƣớc đi trờn cỏc hƣớng tỡm kiếm đó chọn sẽ thay đổi theo từng vũng lặp. Theo powell, để xỏc định đƣợc độ dài bƣớc tỡm kiếm cú thể sử dụng một quy trỡnh gồm hai pha nhƣ sau.
Pha 1:
Giả sử rằng hƣớng tỡm kiếm d tại điểm hiện thời x đó xỏc định đƣợc, gọi bƣớc tỡm kiếm lớn nhất cú thể đạt đƣợc trờn hƣớng d là D đƣợc chia đều làm mƣời phần, pha 1 gồm cỏc bƣớc nhƣ sau:
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 37
Pha 2:
Trờn hƣớng tỡm kiếm của pha 1 cú thể điểm tối ƣu nằm trong khoảng (xa, xc), trong pha này powell giới thiệu một phƣơng phỏp ƣớc lƣợng bằng hàm bậc hai để tớnh toỏn vị trớ của điểm tối ƣu.
Bƣớc 1: sử dụng kết quả của pha 1, vị trớ gần đỳng của điểm tối ƣu đƣợc cho bởi cụng thức sau:
(2-14)
Bƣớc 2: xỏc định
(2-15)
Nếu xảy ra điều kiện:
(2-16)
thỡ dừng tỡm kiếm và quay lại chƣơng trỡnh chớnh.
Trỏi lại sẽ hủy bỏ cỏc giỏ trị khụng chấp nhận đƣợc xa, xb, xc và chấp nhận điểm x* , sắp xếp ba điểm xa, xb, xc theo thứ tự xa > xb > xc và quay lại bƣớc 1.
Nếu tọa độ của điểm tỡm kiếm vƣợt ra ngoài vựng chấp nhận đƣợc, cần điều chỉnh lại bằng phƣơng phỏp Newton nhƣ sau:
Tớnh m ràng buộc:
Số húa bởi Trung tõm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 38
Quy trỡnh này đƣợc lặp đi lặp lại cho đến khi :
(2-19) Nếu tất cả cỏc điều kiện dừng đƣợc thỏa món, giỏ trị mới của lời giải sẽ nằm trong vựng chấp nhận đƣợc.
Về cơ bản thuật toỏn GRG gồm cỏc bƣớc chớnh sau đõy:
Bƣớc 1: tỡm một phƣơng ỏn xuất phỏt chấp nhận đƣợc và chia nú ra làm hai tập hợp là biến cơ sở và biến khụng cơ sở kớ hiệu lần lƣợt là và .
Bƣớc 2: xỏc định hƣớng tỡm kiếm, sử dụng phƣơng trỡnh (2.8) để tớnh gradient của cỏc biến khụng cơ sở, xem xột cỏc điều kiện biờn với mỗi biến và thực hiện cỏc biến đổi sau:
(2-20)
Tiếp tục kiểm tra điều kiện tối ƣu, nếu quỏ trỡnh dừng lại, nếu khụng thỏa món
cần thay đổi theo cỏc phƣơng trỡnh (2-20). Sử dụng phƣơng trỡnh (2-13) để tớnh và cuối cựng là xỏc định hƣớng tỡm kiếm d.
Bƣớc 3: Thực hiện quỏ trỡnh tỡm kiếm gồm hai pha nhƣ đó giới thiệu ở trờn.
Bƣớc 4: Kiểm tra điều kiện ràng buộc của bài toỏn, nếu điểm tỡm kiếm vƣợt ra ngoài vựng giới hạn cần điều chỉnh lại bƣớc tỡm kiếm theo phƣơng phỏp Newton nhƣ núi ở trờn.
Bƣớc 5: Thay đổi tập cơ sở
Nếu cỏc biến số tiệm tiến tới giới hạn của chỳng, chẳng hạn:
(2-21) Khi đú biến phải loại ra khỏi tập cơ sở và trở thành biến khụng cơ sở, núi cỏch khỏc cỏc biến khụng cơ sở cú giỏ trị tuyệt đối lớn nhất trong vộc tơ gradient đƣợc lựa chọn để đƣa vào tập cỏc biến cơ sở. Do cỏc biến đó thay đổi, tớnh cập nhật lại cỏc ma trận B và sau đú quay lại bƣớc 2.