Đối với cấu kiện bê tông cốt thép, ứng suất trong cốt thép đ−ợc coi là thành phần chính nhằm cân bằng với mô men ngoại lực, khi không có mô men ngoại lực, trong cốt thép không có ứng suất, khi mô men ngoại lực tăng lên, ứng suất trong cốt thép cũng tăng theo với một l−ợng t−ơng ứng. Đối với cấu kiện bê tông ứng suất tr−ớc, yếu tố cơ bản để cân bằng với mô men ngoại lực là cánh tay đòn của cặp ngoại lực C và T, chứ không phải là sự thay đổi giá trị của bản thân các lực nàỵ ứng suất trong thép ứng suất tr−ớc đ−ợc đo trong quá trình gây ứng suất tr−ớc, sau khi đn tính toán các tổn hao, ứng suất còn lại trong thép ứng suất tr−ớc đ−ợc xác định nh− trong Ch−ơng 1. 2.1.4. ảnh h−ởng của tải trọng đến ứng suất kéo trong thép ứng suất tr−ớc.
Trong cấu kiện ứng suất tr−ớc chịu biến dạng do tác dụng của ứng suất tr−ớc và tải trọng ngoài, sự uốn cong của cáp sẽ dẫn tới sự thay đổi nhỏ của ứng suất trong thép ứng suất tr−ớc.
Xét dầm đơn giản có nhịp L, đ−ợc ứng suất tr−ớc bởi một cáp với lực tác dụng P tại độ lệch tâm e nh− trên hình 2.5.
Hình 2.5ảnh h−ởng của ứng suất tr−ớc và tải trọng đến góc xoay của dầm Góc xoayθpở gối tựa do sự uốn cong của dầm tính theo giả thuyết của Mohr:
2 p PeL EI θ = (2.7)
Nếu dầm chịu một tải trọng phân bố đều wd, góc xoay θltại gối là:
3 w 24 L d l EI θ = (2.8)
Nếu góc xoay do tải trọng lớn hơn góc xoay do ứng suất tr−ớc thì góc xoay cuối cùng sẽ là:
p l
θ θ θ= − (2.9)
Độ ginn dài tổng cộng của cáp =2eθ, biến dạng trong cáp=2eθ/l Sự tăng ứng suất do tải trọng=Es.2 . /eθ L (2.10)
Nói chung trong giới hạn đàn hồi, một sự thay đổi bất kì của tải trọng trên cấu kiện ứng suất tr−ớc không dẫn đến sự thay đổi đáng kể nào về ứng suất trong thép. Hay nói cách khác, ứng suất trong thép là ít nhiều không thay đổi trong giai đoạn đàn hồi của cấu kiện ứng ứng suất tr−ớc.
2.1.5. Sự thay đổi ứng suất trong thép ứng suất tr−ớc dính kết và không dính kết.
Tỉ lệ tăng ứng suất trong thép ứng suất tr−ớc của cấu kiện bê tông ứng suất tr−ớc d−ới tác dụng của tải trọng phụ thuộc vào độ lớn của lực dính của sợi thép c−ờng độ cao và bê tông xung quanh. Trong tr−ờng hợp dính kết, nh− cấu kiện căng tr−ớc hay căng sau bơm vữa, tác động kết hợp giữa bê tông và thép là phổ biến và ứng suất trong thép đ−ợc tính toán sử dụng giả thiết tiết diện hợp ghép đến giai đoạn nứt. Trong
tr−ờng hợp dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớcsẽ tự do ginn dài một cách độc lập trên suất chiều dài của nó d−ới tác dụng của tải trọng ngoài trên dầm. Sự tăng biến dạng trên thép sẽ phụ thuộc vào biến dạng trung bình trong bê tông tại vị trí của thép.
- Tính toán sự tăng ứng suất trong dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết ứng suất trong thép n f. n.(My)
I
= = (2.11)
Trong đó: n là tỉ lệ mô đun đàn hồi của thép và bê tông n Es Eb =
Tính toán sự tăng ứng suất trong dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc không dính kết: Nếu kí hiệu: δL là tổng độ ginn dài của cáp tại khoảng cách y từ trục qua trọng tâm. L là tổng chiều dài của cáp
Biến dạng trong bê tông tại vị trí của thép bằng . c My
E y (2.12) Tổng độ ginn dài của thớ bê tông tại vị trí của thép
0 . L c My L dx E I δ = =∫ (2.13) Biến dạn trung bình 0 . . L c L y Mdx L E I L ∂ = = ∫ (2.14) ứng suất trong thép 0 0 L L s c E y ny Mdx Mdx E H H = = ∫ ∫ (2.15)
Nếu nh− A là diện tích của biểu đồ mô men uốn do tải trọng gây ra:
0
L
A=∫Mdx (2.16) Vì vậy ứng suất trong thép =nyA
IL (2.17) Nếu dầm chịu tải trọng phân bố đều wdthì
3 w . A= 12 d L (2.18) Sự tăng ứng suất cho phép
2 nyw = 12 dL I (2.19)
Tỉ lệ của sự tăng ứng suất của dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết và không dính kết ở cả hai giai đoạn tr−ớc và sau khi nứt. Tuy nhiên ở cả hai dạng dầm, sau khi vết nứt phát triển mạnh, ta thấy ứng suất trong thép phát triển nhanh hơn. Vì thép không đạt tới c−ờng độ phá hoại của nó trong tr−ờng hợp dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết mà tại đó thép đạt tới c−ờng độ phá hoại của nó tại giai đoạn phá hoại của cấu kiện.
Trong giai đoạn sau khi nứt, trong khi dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết đặc tr−ng bởi các vết nứt nhỏ đ−ợc phân bố ở những vùng có mô men lớn thì ở trong dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớckhông dính kết chỉ phát triển một vài vết nứt ở vị trí những tiết diện yếu hơn. Bề rộng vết nứt của dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớckhông dính kết là rộng hơn so với tr−ờng hợp dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớcdính kết t−ơng ứng. Nói chung, dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết đ−ợc −a dùng hơn bởi c−ờng độ chịu uốn cao hơn và đặc tính biến dạng có thể dự đoán đ−ợc.
2.1.6. Mômen nứt
Trong cấu kiện bê tông ứng suất tr−ớc, mô men uốn mà tại đó bắt đầu xuất hiện vết nứt đ−ợc gọi là mô men nứt. Các vết nứt sẽ xuất hiện khi tại thớ ngoài cùng của mặt cắt tiết diện bê tông, ứng suất kéo đạt tới ứng suất phá hoại fr.
Sau khi truyền ứng suất tr−ớc cho bê tông, mặt d−ới của dầm sẽ bị chịu nén. Dần dần, ứng suất nén này sẽ đ−ợc cân bằng bởi ứng suất kéo phát triển do tải trọng trên dầm, nên ứng suất tổng cộng ở thớ d−ới cùng sẽ bằng 0. Khi tải trọng tăng hơn nữa sẽ làm xuất hiện ứng suất kéo ở mặt d−ới dầm. Vì bê tông yếu về khả năng chịu kéo, những vết nứt nhỏ sẽ phát triển ngay khi biến dạng kéo trong bê tông khoảng ( ) 6
80 100 10ữ − và nếu nh− tải trọng phát triển hơn nữa, những vết nứt sẽ phát triển trong vùng chịu kéọ ở giai đoạn này, ng−ời ta tính rằng bề rộng vết nứt vào khoảng (0, 01 0.02ữ )mm
ứng suất kéo phát triển khi vết nứt trở nên nhìn thấy đ−ợc ở mặt d−ới của dầm phụ thuộc vào dạng và sự phân bố của cốt thép và chất l−ợng của bê tông dầm. Tuy nhiên, ng−ời ta coi rằng những vết nứt nhìn thấy xuất hiện khi ứng suất kéo ở mặt d−ới là xấp xỉ t−ơng đ−ơng với mô đun phá hoại của vật liệụ Bề rộng vết nứt bị ảnh h−ởng lớn bởi độ lớn của lực dính phát triển giữa bê tông và thép.
Theo tiêu chuẩn ACI, ứng suất phá hoại của bê tôngfr = fc'(đơn vị ksi) là ứng suất trong bê tông tại thời điểm bắt đầu xuất hiện vết nứt mà mắt th−ờng không thể nhìn thấy đ−ợc.Thay giá trị ứng suất phá hoại và mô men tổng cộng tại thời điểm nứt vào công thức (2.1), ta có: f F Fec M .cr r c A I I = − − + (2.20)
Từ đó: M FI f .r cr I Fe Ac c = + + (2.21)
Hình 2.6 Biểu đồ ứng suất do mô men nứt gây ra trên tiết diện
Khi C trùng với điểm trên cùng của lõi nh− trên hình 2.8, ứng suất tại thớ d−ới cùng của tiết diện băng 0, mô men nứt đ−ợc tính theo công thức sau:
2 1 1 f . M M M ( ) r cr I r F e c c = + = + + (2.22) Trong đó: M1là mô men gây bởi ứng suất tr−ớc lệch tâm M2 là mô men gây bởi mô đun phá hoại vật liệu c là khoảng cách từ tâm tiết diện tới thớ xa nhất. 2.1.7. Mô men giới hạn
ạ Tr−ờng hợp dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết
Việc phân tích khả năng chịu lực giới hạn của tiết diện bê tông ứng suất tr−ớc chịu uốn một cách chính xác theo lí thuyết một cách chính xác là rất phức tạp, bởi cả thép và bê tông đều chịu ứng suất v−ợt quá phạm vi đàn hồi của chúng. Tuy nhiên, với mục đích thiết kế thực tế với độ chính xác chấp nhận đ−ợc từ (5 10 %ữ ) , theo tiêu chuẩn ACI, có thể sử dụng một quy trình t−ơng đối đơn giản đ−ợc giới hạn bởi các điều kiện sau:
- Sự phá hoại chủ yếu là phá hoại do uốn, không có lực dính kết do cắt hay phá hoại neo có thể giảm khả năng chịu lực của tiết diện.
- Dầm trong tr−ờng hợp này là dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết - Dầm là dầm tĩnh định.
- Tải trọng đ−ợc coi là tải trọng giới hạn có đ−ợc từ kết quả của một thí nghiệm tĩnh ngắn hạn. Không xét tới va chạm, mỏi và tải trọng dài hạn.
T−ơng tự nh− cấu kiện bê tông cốt thép, sự phá hoại tiết diện của cấu kiện bê tông ứng suất tr−ớc xảy ra nh− sau: Với tiết diện có hàm l−ợng thép nhỏ hơn cần thiết, phá hoại bắt đầu khi thép bị ginn dài quá mức và kết thúc khi bê tông bị phá hoạị Với tiết diện có hàm l−ợng thép quá lớn, bê tông bị phá hoại tr−ớc khi ứng suất của thép đạt
tới giới hạn, độ võng tr−ớc khi phá hoại là khá bé, do vậy ta gọi là phá hoại giòn. Với tiết diện có hàm l−ợng thép quá bé, thép có thể bị kéo đứt ngay sau khi bê tông bị phá hoại do phải chịu lực kéo từ bê tông truyền sang.
Tại tải trọng giới hạn, cặp ngẫu lực C’ và T’ tác động với cánh tay đòn a’, trong đó T’ là lực kéo trong thép và C’ là lực nén trong bê tông. Theo tiêu chuẩn ACI, chỉ số của thép (ωp)xấp xỉ với giá trị giới hạn để đảm bảo rằng thép ứng suất tr−ớc (Asp)sẽ trong giới hạn chảy của nó.
' . / 0,30 p p fps fc ω =ρ ≤ (2.23) Trong đó: ρp = Aps/bd Trong tr−ờng hợp cả thép ứng suất tr−ớc(Aps) và cốt thép th−ờng (As) cùng đ−ợc sử dụng trong dầm ứng suất tr−ớc, tổng tất cả thép chịu kéo đ−ợc coi là cùng với khả năng của thép chịu nén (As). Tỉ lệ thép giới hạn là:
ω ω+ p+ω'≤0,30 (2.24) Trong đó: '
.fy / fc
ω ρ= ρp = Aps/bd
Hình 2.7 Mô men giới hạn
ứng suất trong thép gần đạt tới c−ờng độ giới hạn của nó tại điểm phá hoại của dầm chịu uốn và đ−ợc tính theo công thức sau:
ps pu 1 0,5. p. pu' c f f f f ρ = − (2.25)
Lực nén giới hạn trong bê tông C’ cân bằng với lực kéo giới hạn trong thép T’ C’=T’=A fps ps
Mô men kháng giới hạn là: M’=T’.a’=A fps ps. 'a =Mn
Giả thiết biểu đồ ứng suất tại lúc phá hoại nh− trên hình 2.9, ta xác định đ−ợc khoảng cách từ mép trên tới trục trung hòa tới hạn '
d k :
' ' ' 1 ' ' 1 1 . ' ' . . . . . . . ps ps c d c c A f C C k f k b d k k f b k f b = ⇒ = = với k1=0,85 (2.26) Trong đó ' 1. c
k f là ứng suất nén trung bình trong bê tông lúc phá hoạị Khi đó, với lực C’ đi qua trọng tâm vùng nén, ta có a’:
' ' / 2 d a = −d k = −d a với ' d a=k (2.27) Mô men kháng giới hạn là:
'
( / 2) n ps ps
M =M = A f d−a (2.28)
Tiêu chuẩn ACI đ−a ra một hệ số giảm c−ờng độ θ =0, 9, nên mô men giới hạn thiết kế đ−ợc xác định theo công thức sau:
Mu = ΦAps.fps.(d−a/ 2) (2.29)
b. Tr−ờng hợp dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc không dính kết
Đối với dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc không dính kết, việc tính toán chính xác c−ờng độ giới hạn là khó khăn hơn nhiều so với dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết vì không thể tính toán ứng suất trong thép tại lúc phá hoại dầm một cách chinh xác. Cũng không có đủ số liệu về c−ờng độ giới hạn của dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết để thiết lập một ph−ơng pháp tính toán hoàn toàn tin cậỵ Tuy vậy, c−ờng độ của dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc không dính kết nhỏ hơn so với dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết khoảng (10 30)%ữ
Vì biến dạng trong thép ứng suất tr−ớc là đều trên suốt chiều dài của nó và biến dạng tại tiết diện nguy hiểm là giảm đi, ứng suất trong thép ứng suất tr−ớc sẽ tăng chậm cho nên khi bê tông đn bị phá hoại, ứng suất trong thép vẫn th−ờng vẫn nhỏ hơn nhiều c−ờng độ giới hạn của nó. Khi ch−a có vết nứt xuất hiện trên dầm, ứng suất trong thép đ−ợc tính toán nh− đn trình bàỵ Khi dầm bị nứt hay đạt tới biến dạng dẻo, không thể tính toán ứng suất một cách dễ dàng. Tuy vậy, vẫn có thể tính toán ứng suất trong thép khi dầm bị phá hoại theo công thức chung nh− sau:
fps = fse+ ∆fs(2.30) Trong đó:
se
f : ứng suất tr−ớc hiệu quả trong thép ứng suất tr−ớc s
f
∆ : ứng suất phụ thêm trong thép ứng suất tr−ớc sinh ra là kết quả của dầm uốn do tải trọng phá hoại
' 70 300 c ps se p f f f ρ = + + (2.31) Trong đó: fps ≤ fpy;fps≤ fse+200(MPa)
Sau khi tính toán c−ờng độ fpsvà cánh tay đòn t−ơng ứng, ta xác định đ−ợc mô men giới hạn của dầm nh− tr−ờng hợp của dầm sử dụng thép ứng suất tr−ớc dính kết.
Để hạn chế vết nứt và làm tăng c−ờng độ cấu kiện dầm ứng suất tr−ớc, tiêu chuẩn ACI quy định diện tích tối thiểu của thép ứng suất tr−ớc không dính kết.
0, 004 s
A = A (2.32)
Trong đó A là phần diện tích của phần tiết diện giữa lực kéo với trục trọng tâm của tiết diện
2.2. Tính toán và bố trí cáp ứng suất tr−ớc trong dầm liên tục có tiết diện thay đổi
2.2.1. Giới thiệu chung về dầm liên tục ứng suất tr−ớc
Xét một ví dụ so sánh sự làm việc giữa một dầm đơn giản ứng suất tr−ớc và một dầm liên tục ứng suất tr−ớc có cùng tiết diện, cùng nhịp L, cùng lực căng T và cùng chịu một tải trọng phân bố tới hạn w '(Hình 2.10).
Hình 2.8 So sánh khả năng chịu tải của dầm đơn giản và dầm liên tục
Với dầm đơn giản ứng suất tr−ớc, nếu tại tiết diện giữa dầm xuất hiện mô men tới hạn gây bởi tải trọng phân bố tới hạn w ', khi đó trong thép ứng suất tr−ớc xuất hiện lực kéo tới hạn T’ cùng với cánh tay đòn a’, tạo thành mô men kháng tới hạn T’.a’, cân bằng mô men một nửa dầm qua gối tựa bên trái, ta có:
2 ' ' ' ' 2 w '. 8 . . w ' 8 L T a T a L = ⇒ = (2.33)
Với dầm liên tục ứng suất tr−ớc, xét phần dầm trên một nửa nhịp, lúc này có 2 mô men kháng xuất hiện tại giữa nhịp và trên gối tựa, do vậy vị trí của cáp (c.g.s) tại gối tựa ảnh h−ởng tới khả năng chịu lực. Lấy cân bằng mô men qua gối, ta có:
2 ' ' ' ' 2 w '. 16. . 2. . w ' 8 L T a T a L = ⇒ = (2.34)
Nh− vậy với cùng một điều kiện hình học và tải trọng, ta thấy dầm liên tục ứng suất tr−ớc có khả năng chịu lực nhiều gấp 2 lần so với dầm đơn giản ứng suất tr−ớc. Có thể chia dầm liên tục ứng suất tr−ớc thành 2 loại: toàn phần và từng phần.
Với dầm liên tục ứng suất tr−ớc toàn phần, tất cả các sợi cáp ứng suất tr−ớc đ−ợc kéo tại chỗ và liên tục từ đầu này tới đầu kia của cấu kiện hoặc có thể vắt qua nhau tại các vị trí gối tựạ Trên hình 2.11 là một số loại dầm liên tục toàn phần thông dụng.
Hình 2.9 Bố trí cáp trong dầm liên tục ứng suất tr−ớc toàn phần [11]
Loại (a) là dầm thẳng sử dụng cáp ứng suất tr−ớc bố trí theo vùng chịu kéo của tiết diện, loại này th−ờng đ−ợc sử dụng cho sàn hoặc dầm nhịp ngắn. Nh−ợc điểm của loại này là tổn hao do ma sát lớn và khó khăn trong việc bố trí cáp qua nhiều nhịp.