Nhận xét:
Có một số tác giả sử dụng bộ điều khiển này [16], [31] cho các hệ thống phi tuyến. Nhược điểm của bộ điều khiển LQR là không áp dụng được khi các thông tin về phương trình động lực học của hệ thống là bất định, hay hệ thống chịu tác động của nhiễu không xác định.
3.1.3 Bộđiều khiển trượt (SMC)
Điều khiển SMC là bộ điều khiển hiệu quả sử dụng trong việc điều khiển bám và ổn định cho cả hệ thống tuyến tính và phi tuyến với giới hạn nhiều đầu vào [41].
Đối tượng điều khiển
Xét hệ thống phi tuyến biểu diễn bởi phương trình vi phân
𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑦, . . , 𝑦(𝑛−1)) + 𝑔(𝑦, . . , 𝑦(𝑛−1)). 𝑢 + 𝑑 (3.11) Trong đó d là nhiễu tác động vào hệ thống.
Đặt các biến trạng thái như sau:
𝑥1 = 𝑦, 𝑥2 = 𝑦̇, 𝑥3 = 𝑦̈ , … , 𝑥𝑛 = 𝑦(𝑛−1)
{ 𝑥̇1 = 𝑥2 𝑥̇2 = 𝑥3 ⋮ 𝑥̇𝑛−1= 𝑥𝑛 𝑥̇𝑛 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥). 𝑢 + 𝑑 𝑦 = 𝑥1 Trong đó:
- 𝑥 = [𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛 ]𝑇 ∈ 𝑅𝑛 - véc tơ trạng thái của hệ thống
- 𝑢 ∈ 𝑅 - tín hiệu vào hay tín hiệu điều khiển
- 𝑦 ∈ 𝑅 - tín hiệu ra
- 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅, 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅 - các hàm trơn mô tả động lực học của hệ thống
Mục tiêu điều khiển: xác định tín hiêu điều khiển u(t) để tín hiệu ra 𝑦 (𝑡) bám theo tín hiệu đặt 𝑦𝑑(𝑡)xác định.
Sai số điều khiển được định nghĩa như sau:
𝑒(𝑡) = 𝑦𝑑(𝑡) − 𝑦(𝑡) (3.12)
Đĩnh nghĩa mặt trượt 𝜎 có phương trình dạng:
𝜎 = 𝑒(𝑛−1)+ 𝑘1𝑒(𝑛−2)+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑒̇ + 𝑘𝑛−1𝑒 (3.13) Trong đó 𝑘𝑖 ∈ 𝑅 là các tham số điều khiển được lựa chọn sao cho đa thức đặc trưng: ∆(𝑠) = 𝑠𝑛−1+ 𝑘1𝑠𝑛−2+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑠 + 𝑘𝑛−1 là đa thức Hurwitz, tức là đa thức có tất cả các nghiệm có phần thực âm. Do đó các nghiệm của phương trình đặc trưng
∆(𝑠) = 0 đều nằm bên trái mặt phẳng phức, nên đặc tính q độ q trình 𝑒(𝑡) → 0
khi 𝜎 = 0.
Phương trình 𝜎 = 0 xác định một mặt cong trong không gian n chiều gọi là mặt trượt (sliding surface). Đa thức ∆(𝑠) gọi là đa thức đặc trưng của mặt trượt.
Bài tốn điều khiển tín hiệu ra 𝑦(𝑡) bám theo tín hiệu đặt 𝑦𝑑(𝑡) được chuyển thành bài tốn tìm tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) sao cho 𝜎 → 0.
Chọn hàm ứng viên Lyapunov như sau:
𝑉 =12𝜎2 (3.14)
1
𝑠𝑛−1+ 𝑘1𝑠𝑛−2+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑠 + 𝑘𝑛−1
Đạo hàm của hàm ứng viên Lyapunov được xác định:
𝑉̇ = 𝜎𝜎̇ (3.15)
Theo định lý ổn định Lyapunov (được chứng minh chi tiết trong mục II.1 – Phụ lục 2), để 𝜎 → 0 ta cần chọn tín hiệu điều khiển 𝑢(𝑡) sao cho 𝑉̇ < 0. Do 𝜎 = 𝑒(𝑛−1)+ 𝑘1𝑒(𝑛−2)+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑒̇ + 𝑘𝑛−1𝑒
Nên 𝜎̇ = 𝑒(𝑛) + 𝑘1𝑒(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑒̈ + 𝑘𝑛−1𝑒̇
→ 𝜎̇ = 𝑦𝑑(𝑛)− 𝑦(𝑛)+ 𝑘1𝑒(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑒̈ + 𝑘𝑛−1𝑒̇
Chú ý rằng: 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑢
→ 𝜎̇ = 𝑦𝑑(𝑛)− 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)𝑢 − 𝑑 + 𝑘1𝑒(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑘𝑛−2𝑒̈ + 𝑘𝑛−1𝑒̇.
Ta sẽ chọn u(t) sao cho: 𝜎̇ = −𝐾𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜎) (𝐾 > 0), với hàm sign(η) là hàm dấu, được định nghĩa là: sign(η) = { 1 𝑛ế𝑢 η > 0 0 𝑛ế𝑢 η = 0
−1 𝑛ế𝑢 η < 0,
chú ý rằng: 𝜂𝑠𝑖𝑔𝑛(𝜂) = |𝜂|. Như vậy, tín hiệu u(t) có thể được chọn như sau:
𝑢 =𝑔(𝑥) [−𝑓1 (𝑥) − d + 𝑦𝑑(𝑛)+ 𝑘1𝑒(𝑛−1)+ . . . +𝑘𝑛−2ë + 𝑘𝑛−1ė + 𝐾𝑠𝑖𝑔𝑛(σ)] (3.16)
Với điều kiện trên ta có:
𝑉̇ = 𝜎𝜎̇ = −𝐾σ𝑠𝑖𝑔𝑛(σ) = −𝐾|𝜎|
Như vậy, 𝑉̇ < 0; ∀σ ≠ 0; Theo định lý ổn định Lyapunov, ta suy ra, σ → 0; tức 𝑒 →
0 với lựa chọn của tín hiệu điều khiển như phương trình (3.16).
Quỹ đạo pha của hệ thống điều khiển trượt Hình 3.6:
(a) (b)