1982
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương L | Lê Tự Quốc Thắng | THPT Lê Hồng Phong, HCM | 42 HCV
2| Ngô Phú Thanh Quốc học Huế HCB
3 | Trần Minh +HKHTN Hà Nội HCB
1. Một hàm số Ặ : Z,ứ xác định trên tập tất cả các số nguyên dương và nhận các giá
trị nguyên không âm. Đồng thời với mọi rn, ?: ta có
Ặữm +m) Ở Ặ(mn) Ở Ặ(n) = 0 hoặc 1
Ặ(2)=0,Ặ(3) >0, và Ặ(9999) = 3333.
Hãy xác định giá trị của Ặ(1982).
2. Một tam giác không cân À 4¡ 4; 4s với độ dài các cạnh là ụi, ứƯ, dạ (trong đó a; là đối diện với đỉnh.4;, với mọi Ư = 1,2, 3). Với mỗi 7 = 1,2, 3 ta gọi 3; là trung
điểm của đoạn thẳng có độ dài a; và 7; là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp
tam giác với cạnh Ủ;. Đồng thời ta kắ hiệu Ế; là điểm đối xứng của 7; qua phân
giác trong của góc .4;. Chứng minh rằng các đường thẳng Ả⁄¡Ế5¡, Ả⁄Ư⁄Ế; và Ảf;S; là đồng quy.
3. Xét các dãy hữu hạn {zẤ} các số thực dương thoả mãn các tắnh chất sau:
#o = ]1,and for all Ư > 0,#Ỉ;_¡ < ZƯ.
(a) Chứng minh rằng với mọi dãy như trên đều có một số nguyên ?ụ > 1 thỏa
mẫn % 2 % 2 Tộ_ 2
Ộ+ =+---+ỞỞ >3999.
%1 2 Tp
(b) Hãy xác định một dãy như trên mà
2 2 2
% Ộ+ S+...+ # LI Ộ<4,
#I 32 tẤ
4. (a) Chứng minh rằng nếu zụ là một số nguyên dương thoả mãn phương trình #ỢỞ 3#uẼỢ +ụỢ=n
có một nghiệm nguyên (z, ), thì nó có ắt nhất ba nghiệm nguyên.
(b) Chứng minh rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên khi z = 2891. 5. Các đường chéo 4Ể và CF của một lục giác đều 4Ể1)FF' được chia trong bởi
các điểm chia ẢẶ và ẤN tương ứng sao cho
AM ƠN - AC CE `
Hãy xác định rz nếu , 1⁄ và là thẳng hàng.
6. Cho Ế là một hình vuông với cạnh độ đài bằng 100 và 7 là một đường không tự cắt bên trong hình vuông đó. 7, được thành lập bởi các đoạn thắng 4o.4:, 4i⁄4Ỉ,...,
AẤa_1LAẤ với Áạ # 4Ấ. Giả sử rằng với mọi điểm ? trên biên của Ế có một điểm
của 7, mà cách ? một đoạn không lớn hơn 1/2. Chứng minh rằng có hai điểm X và Y trong Ù sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 và độ dài của phần đường 7 mà nằm giữa hai điểm X và Y không bé hơn 198.
2.24 Lân thứ hai mươi tư, tại Paris, France, năm 1983
TT | Họ và tên Lớp | Trường Huy chương
I | Trần Tuấn Hiệp 12 | ĐHSP Hà Nội HCB
2 | Nguyễn Văn Lượng | 12 | Quốc học Huế HCB 3 | Trần Nam Dũng IT | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nắng HCB
4 | Phạm Thanh Phương | II | ĐHSP Hà Nội HCĐ
5_ | Hoàng Ngọc Chiến 12 | Quốc học Huế HCĐ
6 | Nguyễn Việt Ba II | THPT Thái Phiên, Hải Phòng HCĐ 1. Hãy xác định tất cả các hàm Ặ xác định trên tập các số dương mà nhận giá trị thực
đương và thoả mãn các điều kiện sau:
(a) Ặ(ỦẶ)) = uẶ() với mọi số dương z, 1;
(b) Ặ(z) Ở> 0ỷ as #z Ở G.
. Cho 4 là một trong hai giao điểm của hai đường tròn đồng phẳng C; và C; với các tâm Ạ; và ;, tương ứng. Một trong các tiếp tuyến chung tới các đường tròn tiếp
xúc với Ở tại ¡ và CỈ tại điểm ?Ỉ, còn tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với C¡ tại điểm Q\ và với Ca tại điểm QỈ. Cho 3⁄; là trung điểm của đoạn thẳng 7Q; và Ả⁄Ư là trung điểm của đoạn thẳng PỈ;. Chứng minh rằng ⁄21.1Ó; = ⁄MA1Mh:.
. Cho các số nguyên đương ụ, Ò và c sao cho hai số bất kì đều nguyên tế cùng nhau.
Chứng minh rằng 2ụe Ở ụb Ở be Ở ca là số nguyên lớn nhất mà không thể biểu
diễn được dưới dạng #c + ca + zab, ở đó +, và z là các số nguyên không âm. . Cho tam giác A.44BC đều và ặ là tập tất cả các điểm nằm trong ba đoạn thẳng 47, BC và CA (tắnh các các điểm mút). Hãy xác định xem liệu: với mọi phân hoạch tập ặ thành hai tập con rời nhau thì có ắt nhất một trong hai tập con đó chứa các đỉnh của một tam giác vuông. Hãy chứng minh câu trả lời của bạn.
. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên đương phân biệt, tất cả bé hơn hoặc bằng 10ồ, mà không có ba số nào trong chúng lại lập thành một cấp số cộng? Chứng minh câu trả lời của bạn.
Cho ụ, ô và e là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
aệb(a Ở b) + b e(b Ở e) + cỢa(e Ở a) > 0.
2.25. Lần thứ hai mươi năm, tại Prague, Czechoslovakia, năm 1984
STT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương
1 Đàm Thanh Sơn ĐĐHKHTN Hà Nội 42 HCV
2_ | Đỗ Quang Đại ĐHSP Hà Nội HCB
3_ | Nguyễn Văn Hưng HCB
4 | Ngô Thúc Anh HCệĐ
5 | Võ Thanh Tùng HCĐ
6 | Nguyễn Thị Minh Hà | THPT Chu Văn An, Hà Nội HCĐ 1. Các số thực không âm z, , z thoả mãn z + Ữ + z = 1. Chứng minh rằng
ỉ Ũ <zU + 9z + z# TỞ 2xUz < PT
2. Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương (ụ, b) thoả mãn đồng thời hai điều
kiện sau:
(a) ab(Ủ + b) không chia hết cho ỉ. (b) (ụ + b)Ợ Ở aỢ Ở b7 chia hết cho 77,
3. Trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt Ó và 4. Với mỗi điểm X của mặt phẳng
khác với Ó ta kắ hiệu ụ(X) là độ đo của góc giữa ÓẢ và OXÝ theo đơn vị rađian,
theo hướng ngược kim đồng hồ (24(0 < a(X) < 2z). Kắ hiệu Ể(X) là đường tròn tâm Ó với bán kắnh là OX + ụ(X)/OX. Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô
một mầu trong một số mầu cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một điểm Y' mà
a(Y ) > 0 sao cho các mầu của nó xuất hiện trên đường tròn C(Y').
. Cho 4ABỂD) là một tứ giác lồi thoả mãn đường thắng 7 D tiếp xúc với đường tròn
đường kắnh 1ử. Chứng minh rằng đường thăng 47 là một tiếp tuyến tới đường tròn đường kắnh Ở72 khi và chỉ khi các đường thẳng BƠ và 47) là song song.
.- Ta kắ hiệu ở là tổng độ dài của các đường chéo của một đa giác phẳng có n đỉnh ( > 3), và p là chu vi của đa giác đó. Chứng minh rằng
2d n n +]
ở đó |+| được kắ hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá z.
Cho ụ,b,e và đ là các số nguyên lẻ thoả mãn ỷ < ụ < b < c< d và ad = ủbc. Chứng minh rằng nếu ụ + ở = 2ồ và b + c = 2" với số nguyên È và ?n nào đó thì Ủ = ].
2.26 Lân thứ hai mươi sáu, tại Joutsa, Finland, năm 1985
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương I1 | Nguyễn Tiến Dũng | ĐHKHTN Hà Nội 35 HCV
2 | Lâm Tùng Giang | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nẵng 29 HCB
3 | Huỳnh Minh Vũ THPT Chu Văn An, Hà Nội 28 HCB
4 | Huỳnh Văn Thành | THPT Nguyễn Văn Trỗi, Khánh Hoà |_ 22 HỂCB 5| Đỗ Duy Khánh THPT Nguyễn Văn Trỗi, Khánh Hoà | 18 HCĐ
6 | Chế Quang Quyền
. Cho tứ giác ABC) nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh
AB của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại đều tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng
minh rằng 47) + 8Ể = AB.
. Cho các số nguyên đương ụ và & nguyên tố cùng nhau thoả mãn k < ụ. Mỗi số
trong tập hợp Ả⁄ = {1,2,...,mz Ở 1} được tô mầu xanh hoặc trắng. Giả sử rằng
(a) Mỗi ¡ Ạ Xắ thì cả ¡ và nụ Ở Ư có cùng mầu;
(b) Với mỗi ¡ Ạ Ả⁄ và ¡ # È thì cả Ư và |Ư Ở &| có cùng một mầu. Chứng minh
rằng tất cả các số trong Ả có cùng một mầu.
. Cho đa thức Ặ(z) = ụo + ụi# + - -- + ụ,## với các hệ số nguyên, số các hệ số mà
là số lẻ được kắ hiệu là s(/). Với mỗi ¡ = 0, 1,..., ta đặt Q;(z) = (1+ #}. Chứng
minh rằng nếu ?1/a,..., ?Ấ là các số nguyên thoả mãn 0 < ¡¡ < ?Ư < --- < ?Ấ thì
t0(QƯ, + QƯẤ, + + QƯẤ) > t0(Q)¡,).
. Cho một tập hợp 3⁄ gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng ẢẶ chứa ắt nhất một tập con bốn phần tử mà tắch của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên. - Một đường tròn có tâm là Ô đi qua các đỉnh 4 và Ể của tam giác A ABC và cắt
các đoạn thắng 4 và BC tại các điểm phân biệt #Z và N tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A4 và AFEBN giao nhau tại hai điểm phân biệt B và Ả/. Chứng minh rằng tam giác AO3⁄ B là tam giác vuông.
Với mỗi số thực z¡ ta dựng dãy {zẤ}?ồ ¡ bảng cách đặt
1
#n+L Ở (s, + x) for each ụ > 1.
1h
Chứng minh rằng tồn tại đúng một giá trị của z¡ để sao cho
UÚ<#Ấ<ZẤẬ¡i<1 với mọi số nguyên dương 0.
2.227 Lân thứ hai mươi bấy, tại Warsaw, Poland, năm 1986
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
1 | Hà Anh Vũ II | ĐHSP Hà Nội 34 HCV
2 | Nguyễn Phương Tuấn | II | ĐHSP Hà Nội 30 HCB 3_ | Nguyễn Hùng Sơn 12 | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nẵng | 26 HCB
4 | Nguyễn Tuấn Trung II | ĐHKHTN Hà Nội 24 HCĐ
5 | Phùng Hồ Hải II | ĐHKHTN Hà Nội 21 HCĐ
6 | Đào An Hải 12 | THPT Phan Bội Châu, Nghệ Tĩnh 8
27th International Mathematical Olympiad Warsaw, Poland
Ngày thi thứ nhất
Ngày 09 tháng 07 năm 19656
1. Cho ở là một số nguyên dương khác với 2,5 và 13. Chứng minh rằng có thể tìm
được hai số nguyên dương ụ và Ù từ tập hợp {2, 5, 13, đ} sao cho ab Ở 1 không phải
là số chắnh phương.
. Cho tam giác A4:.4s 4; và một điểm ?) trong cùng mặt phẳng tam giác. Ta xác
định 4, = 4,_s với mọi s > 4. Người ta dựng một tập hợp các điểm Ọ, Ỉ,1,...,
sao cho ?Ấ.; là ảnh của qua phép quay với tâm là 4Ư,¡ với gốc quay 120? theo chiều ngược kim đồng hồ (với & = 0,1,2,...). Chứng minh rằng nếu Psss = ?Đ}, thì tam giác A4i 4s 4s là tam giác đều.
. Mỗi đỉnh của một ngũ giác đều được gắn một số nguyên sao cho tổng của cả năm số đó là số dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp được đánh các số là #+, Ậ/, z tương ứng và < 0 thì ta thực hiện một toán tử sau đây: các số z, , z sẽ được thay thế bởi các SỐ # +, ỞỮ Và z + tương ứng. Một toán tử như thế được lặp đi lặp lại cho đến khi có ắt nhất một trong năm số là âm. Hãy xác định xem liệu quá trình trên có thể diễn ra và kết thúc sau một số hữu hạn bước hay không.
ệ Hà Anh Vũ là học sinh đầu tiên của Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội đoạt huy chương Vàng tại một kì thi của MO.
4.
27th International Mathematical Olympiad Warsaw, Poland
Ngày thị thứ hai Ngày 10 tháng 07 năm 1956
Cho 4 và là hai đỉnh liên tiếp cuẩ một đa giác phẳng đều ụ cạnh (ở đó ụ > 5). Gọi Ó là tâm của đa giác đó, một tam giác A.XY Z chuyển động trong mặt phẳng luôn đồng dạng với tam giác ban đầu ÀA@ 41, sao cho các đỉnh ỲY và Z trượt trên biên của đa giác trong khi đó X thì nằm bên trong đa giác. Hãy xác định quỹ tắch
của điểm X.
. Hãy xác định tất cả các hàm Ặ xác định trên tập các số thực không âm và nhận các giá trị thực không âm, sao cho:
@) Ặ(zẶ(0))ẶÚ) = Ặ( + u) với mọi z, 1 > 0;
(b) Ặ@) =0;
(c) Ặ#(z) # 0 với 0 < z< 2.
. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm có hữu hạn điểm , mỗi điểm đều có toạ độ nguyên. Hỏi rằng liệu ta có thể luôn tô được mầu một số điểm bằng mầu đỏ và
các điểm còn lại bằng mầu trắng sao cho với bất kì đường thắng (/) nào mà song song với một trong hai trục toạ độ thì sự chênh lệch số các điểm trắng và đỏ luôn lớn hơn 1.
2.28. Lần thứ hai mươi tám, tại Havana, Cuba, năm 1987
STT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
L | Trần Trọng Hùng II | ĐHSP Hà Nội 38 HCB
2_ | Nguyễn Văn Quang | 12 | THPT Lam Sơn, Thanh Hoá | 30 HCĐ
3 Phan Phương Đạt II | THPT Hà Nội-Amsterdam 29 HCĐ
4 | Phạm Triều Dương | 12 | THPT Hà Nội-Amsterdam 28 HỂĐ
5 Đoàn Quốc Chiến II | ĐHKHTN Hà Nội 25 HCệĐ
6 | Nguyễn Hữu Tuấn 12 | ĐHKHTN Hà Nội 22 HCĐ
28th International Mathematical Olympiad Havana, Cuba
Ngày thi thứ nhất Ngày 10 tháng ỷ7 năm 19657
1. Cho ụ là một số nguyên dương. Với mỗi số nguyên không âm È ta kắ hiệu pẤ(k) là số các hoán vị của tập hợp {1,2,..., +}, mà có đúng É điểm cố định. Chứng minh rằng
Ừ....=.
k=0
Chú ý. Một hoán vị Ặ của tập hợp Ế là một song ánh đi từ Ế vào Ế. Một phần tử
¡ Ạ 6 được gọi là điểm cố định của hoán vị Ặ nếu như Ặ(¡) = Ư¡.
2. Cho tam giác nhọn A48, đường phân giác trong của tam giác từ .4 cắt đoạn
thắng BỂ tại điểm Ƒ và cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác A.4 BC ở điểm thứ
hai ý. Từ điểm 7 ta kẻ các đường thẳng vuông góc với .4 và AC, cắt các đường thắng này tương ứng ở các điểm K và 3. Chứng minh rằng tứ giác 41K N4 và tam giác ÀA 5Ể có cùng diện tắch.
3. Cho #, #s,..., #Ấ là các số thực thoả mãn
#1 Đ+sc Eưa =1
Chứng minh rằng với mọi số nguyên & > 2 thì có các số nguyên ơi, đa, ..., đẤ,
không đồng thời bằng không sao cho |a;| < & Ở 1 với mọi 2 và
(k Ở 1)
|đi#i + đ1#2 + --: + 0Ấ#Ấ| < m1
28th International Mathematical Olympiad Havana, Cuba
Ngày thị thứ hai Ngày lÌ tháng 07 năm 1957
4. Chứng minh rằng không tồn tại một hàm nào từ tập hợp các số nguyên không
5. Cho ụ là một số nguyên không bé hơn 3. Chứng minh rằng có một tập hợp ụ điểm
trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì là một số vô tỷ và mỗi tập ba điểm bất kì đều xác định một tam giác không suy biến mà điện tắch của nó
là một số hữu tỷ.
6. Cho ụ là một số nguyên lớn hơn hay bằng 2. Chứng minh rằng nếu &Ỳ + k + rụ là
một số nguyên tố với mọi số nguyên & thoả mãn 0 < & < +/n⁄3, thì kÝ + k+n là số nguyên tố với mọi số nguyên & thoả mãn 0 < k < n Ở 2.
2.29. Lân thứ hai mươi chắn, tại Canberra, Australia, năm
1985
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
1 | Ngô Bảo Châu II | ĐHKHTN Hà Nội 42 HCV
2| Trần Thanh Hải 12 | THPT Lê Hồng Phong, HCM | 29 HCB
3_ | Phan Phương Đạt 12 | THPT Hà Nội-Amsterdam 29 HCB
4_ | Hồ Thanh Tùng 12 | THPT Hà Nội-Amsterdam 28 HCB 5 | Trần Trọng Hùng | 12 | ĐHSP Hà Nội 26 HCB 6 | Đoàn Hồng Nghĩa | 11 | THPT Lê Hồng Phong, HCM | 12
29th International Mathematical Olympiad Canberra, Australia
Ngày thi thứ nhất
1. Cho hai đường tròn đồng phẳng và đồng tâm có bán kắnh là F và r với l > r. Lấy P là một điểm cố định trên đường tròn bé và ? là một điểm biến thiên trên
đường tròn lớn. Đường thắng 3P cắt đường tròn lớn ở điểm thứ hai Ể. Đường
thắng ý vuông góc với 8? tại điểm P cắt đường tròn nhỏ tại điểm thứ hai 4 (nếu