TT | Họ và tên Lớp | Trường
1 | Nguyễn Minh Đức 10 | ĐHKHTN Hà Nội
2 | Nguyễn Khánh Trọng | 10 | THPT Chu Văn An, Hà Nội 3_ | Nguyễn Long 10 | ĐHKHTN Hà Nội
4 | Phan Vũ Diễm Hằng | 10 | ĐHKHTN Hà Nội 5 | Lê Quang Tiến 10 | ĐHKHTN Hà Nội
6 | Lê Đình Long 10 | Khối Chuyên Toán, ĐHSP Hà Nội II 7 | Nguyễn Hội Nghĩa 10 | Khối Chuyên Toán, ĐHSP Hà Nội II 8 | Nguyễn Văn Sự 10 | ĐHKHTN Hà Nội
. Ta kắ hiệu 4 là tổng các chữ số của số 444
. Cho #Ư,; (¡ = 1,2,...,?Ỉ) là các số thực thoả mãn
#3 Z#a 3% ::':> zẤ and 1 > 9a > --- > 9n.
Chứng minh rằng nếu z¡, z2, - --,, zẤ là một hoán vị của 1¡, s, - -- , Ấ thì
1
Ở 1) < 2i Ở Z4)Ợ.
;=I1
.- Cho ai, đa, dạ, --- là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi ụ > 1 đều tồn tại vô hạn các số zẤẤ thoả mãn
đẤ Ở %ũy lúa với +, là các số nguyên dương và g > ?.
. Trên các cạnh của một tam giác tuỳ ý À 4BỂ các tam giác À45ZR, ABCỂP, AC AQ được dựng về phắa ngoài sao cho ỘỂĐP = ⁄ỂỚAQ = 415ồ,/HĐỂP =
⁄ZAỂQ = 30ồ,⁄ABR = ⁄BAR = 15ồ. Chứng minh rằng ⁄@TtP = 90ồ và
Qự = HP.
444 viết trong hệ thập phân, ử là tổng
các chữ số của số 41. Hãy xác định tổng các chữ số của số ỷ.
ỘTheo tài liệu [9] thì Đoàn học sinh Việt Nam năm 1975 đoạt hai huy chương Bạc và ba huy chương Đồng. Tuy nhiên theo những thông tin mà Thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa, thành viên của đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi IMO1975, cung cấp, thì thành tắch của đội Việt Nam năm đó là một huy chương Bạc và ba huy chương Đồng. Vì thế chúng tôi tạm thời chưa đưa ra thông tin về thành viên đội tuyển và thành tắch của đội năm 1975 và sẽ cập nhật tài liệu này trong thời gian sớm nhất có thể. Nhân đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành
tới PGS.TS. Nguyễn Hội Nghĩa về những thông tin quý báu đã cung cấp cho Diễn đàn.
5. Hãy xác định xem liệu có thể tìm được 1975 điểm trên đường tròn với bán kắnh
đơn vị hay không mà thoả mãn khoảng cách giữa hai điểm bất kì đều là số hữa tỷ.
6. Hãy xác định tất cả các đa thức P hai biến thoả mãn các tắnh chất sau đây:
(a) Với mỗi số nguyên đương ụ và mọi số thực ắ, z, 1 ta có
P(tz, tụ) = Ẩ"Pặ, 0)
(b) với mọi số thực a, ỏ, c thì
P(b+c,ụ)+ P(c+a,b) + P(a+b,c) =0,
(c) P(1,0) =1.