năm 1979
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
I | Lê Bá Khánh Trình 10 | Quốc học Huế 40 HCV
2 | Phạm Hữu Tiệp I0 | THPT Chu Văn An, Hà Nội HCB
3 | Phạm Ngọc Anh Cương | I0 | ĐHKHTIN Hà Nội HCB
4 | Bùi Tá Long 10 | ĐHSP Hà Nội HCB
7
I. Cho các số nguyên dương ?p và ụ thoả mãn
ma... Du 1
IN 2...3. 4 1318 1319 Chứng minh rằng ụ chia hết cho 1979.
2. Một hình lăng trụ ngũ giác 4i.4s.4a.44A1;. :B;D;:BƯB:. Mỗi cạnh của hai đa
giác đáy và các đoạn thắng A;Đ; với mọi Ư, j = 1,..., 5 được tô mầu xanh hoặc đỏ.
Giả sử rằng bất kì một tam giác nào có các đỉnh là các đỉnh của lăng trụ và các
cạnh của nó đều được tô mầu và có hai cạnh có mầu khác nhau. Chứng minh rằng cả 10 cạnh của các đa giác đáy đều được tô cùng một mầu.
7Lê Bá Khánh Trình là học sinh Việt Nam đầu tiên đạt số điểm tối đa trong cuộc thi Toán ở IMO. Anh hiện nay vẫn là người Việt Nam duy nhất giành được cú đúp: Huy chương vàng với số điểm tối đa, và giải thưởng đặc biệt dành cho người có bài giải độc đáo (bài số 3).
3. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau, và kắ hiệu 4 là một trong hai giao
điểm. Có hai động tử đồng thời xuất phát điểm từ 4 và cùng chuyển động đều trên
hai đường tròn theo cùng một hướng. Sau khi đi được một vòng chúng lại gặp nhau
ở điểm 44. Chứng minh rằng trong mặt phẳng tồn tại một điểm cố định P sao cho với mọi thời điểm thì P luôn cách đều hai động tử chuyển động nói trên.
4. Cho (z) là một mặt phẳng và P là một điểm nằm trên mặt phẳng (z) còn @ là điểm nằm ngoài mặt phẳng (z). Hãy xác định tất cả các điểm ?Ậ trong mặt phẳng (x) sao cho tỷ số
QP + PA
QT
đạt giá trị lớn nhất.
5. Hãy tìm tất cả các số thực ụ sao cho tồn tại các số thực không âm #1, Za, #3, Z4,
+s thoả mãn đồng thời các quan hệ sau đây:
5 Ừ.-.. kỞI1 5 Ừ..-.. k=I 5 Ừ.~.-.. kỞ]1
6. Cho 4 và 7 là các đỉnh đối diện của một thập giác đều. Một con ếch bắt đầu nhảy từ đỉnh 4. Từ bất kì một đỉnh nào của thập giác trừ đỉnh 7 nó có thể nhảy tới các đỉnh kề bên, còn khi con ếch nhẩy đến đỉnh # thì nó dừng lại và ở nguyên đó. Ta
kắ hiệu ỦẤ là số các đoạn đường khác nhau sau z bước nhảy để con ếch có thể đến được điểm 77. Chứng minh rằng ụzẤ_¡ Ở= 0, và
G2n, Ở -_=(gmỞ TỞ "1m Ở 1, 2,3, TT v2
ở đó z = 2+ V2 và =2Ở V2.
Chú ý. Một đoạn đường gồm ụ bước nhảy là một dãy các đỉnh (?Ỉ,..., Ấ) sao cho
(a3) Fạ= 44, =bE;
(b) với mọi ? mà ỷ < ? < r Ở ] thì 4 khác với #;
2.22. Lân thứ hai mươi hai, tại Washington D.C, USA,
năm 1981
. Cho tam giác AAĐC và P là một điểm nằm bên trong tam giác đó. Gọi 2, E, F tương ứng là chân các đường vuông góc được hạ từ P xuống các đường thắng ĐỂ, Ể[A, và AB. Hãy xác định tất cả các điểm ? thoả mãn
BỂ CA AB
PD TPE ` PF là bé nhất.
. Cho hai số nguyên dương ụw và z thoả mãn 1 < z < ? và xét tất cả các tập con có 7
phần tử của tập hợp {1, 2,..., ụ}. Mỗi một tập con như vậy đều có phần tử bé nhất. Ta kắ hiệu #'(ụ, z) là trung bình số học của các số bé nhất đó. Chứng minh rằng
+ Ì
Fắn,r) = Ở_
. Hãy xác định giá trị lớn nhất của ? + ụỞ, ở đó rn và n là các số nguyên thoả mãnzn, ụ Ạ {1,2,..., 1981} và (nỲ Ở mm Ở m2) = 1.
(a) Với những giá trị nào của ụ > 2 sao cho tồn tại một tập hợp gồm có 0 số nguyên dương liên tiếp thoả mãn số lớn nhất trong tập đó là một ước của bội
chung bé nhất của tất cả n Ở 1 số còn lại.
(b) Với những giá trị ụ > 2 nào mà có đúng một tập có tắnh chất nói trên. . Ba đường tròn đồng quy tại một điểm Ô và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi
đường tròn tiếp xúc với một cặp cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm đường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác nói trên và điểm O là thẳng hàng.
. Cho một hàm số giá trị thực Ặ(z, ) hai biến thoả mãn (3) Ặ(0,)=Ừ +1;
(b) Ặ(z+ 1,0) = Ặ(z,1);
(c) Ặ(z+1,+1)=ẶỂ@,Ặ(Ủ + 1,9)):
với mọi số nguyên không âm z, ;/. Hãy xác định giá trị của Ặ(4, 1981).
2.23 Lần thứ hai mươi ba, tại Budapest, Hungary, năm
1982
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương L | Lê Tự Quốc Thắng | THPT Lê Hồng Phong, HCM | 42 HCV
2| Ngô Phú Thanh Quốc học Huế HCB
3 | Trần Minh +HKHTN Hà Nội HCB
1. Một hàm số Ặ : Z,ứ xác định trên tập tất cả các số nguyên dương và nhận các giá
trị nguyên không âm. Đồng thời với mọi rn, ?: ta có
Ặữm +m) Ở Ặ(mn) Ở Ặ(n) = 0 hoặc 1
Ặ(2)=0,Ặ(3) >0, và Ặ(9999) = 3333.
Hãy xác định giá trị của Ặ(1982).
2. Một tam giác không cân À 4¡ 4; 4s với độ dài các cạnh là ụi, ứƯ, dạ (trong đó a; là đối diện với đỉnh.4;, với mọi Ư = 1,2, 3). Với mỗi 7 = 1,2, 3 ta gọi 3; là trung
điểm của đoạn thẳng có độ dài a; và 7; là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp
tam giác với cạnh Ủ;. Đồng thời ta kắ hiệu Ế; là điểm đối xứng của 7; qua phân
giác trong của góc .4;. Chứng minh rằng các đường thẳng Ả⁄¡Ế5¡, Ả⁄Ư⁄Ế; và Ảf;S; là đồng quy.
3. Xét các dãy hữu hạn {zẤ} các số thực dương thoả mãn các tắnh chất sau:
#o = ]1,and for all Ư > 0,#Ỉ;_¡ < ZƯ.
(a) Chứng minh rằng với mọi dãy như trên đều có một số nguyên ?ụ > 1 thỏa
mẫn % 2 % 2 Tộ_ 2
Ộ+ =+---+ỞỞ >3999.
%1 2 Tp
(b) Hãy xác định một dãy như trên mà
2 2 2
% Ộ+ S+...+ # LI Ộ<4,
#I 32 tẤ
4. (a) Chứng minh rằng nếu zụ là một số nguyên dương thoả mãn phương trình #ỢỞ 3#uẼỢ +ụỢ=n
có một nghiệm nguyên (z, ), thì nó có ắt nhất ba nghiệm nguyên.
(b) Chứng minh rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên khi z = 2891. 5. Các đường chéo 4Ể và CF của một lục giác đều 4Ể1)FF' được chia trong bởi
các điểm chia ẢẶ và ẤN tương ứng sao cho
AM ƠN - AC CE `
Hãy xác định rz nếu , 1⁄ và là thẳng hàng.
6. Cho Ế là một hình vuông với cạnh độ đài bằng 100 và 7 là một đường không tự cắt bên trong hình vuông đó. 7, được thành lập bởi các đoạn thắng 4o.4:, 4i⁄4Ỉ,...,
AẤa_1LAẤ với Áạ # 4Ấ. Giả sử rằng với mọi điểm ? trên biên của Ế có một điểm
của 7, mà cách ? một đoạn không lớn hơn 1/2. Chứng minh rằng có hai điểm X và Y trong Ù sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 và độ dài của phần đường 7 mà nằm giữa hai điểm X và Y không bé hơn 198.
2.24 Lân thứ hai mươi tư, tại Paris, France, năm 1983
TT | Họ và tên Lớp | Trường Huy chương
I | Trần Tuấn Hiệp 12 | ĐHSP Hà Nội HCB
2 | Nguyễn Văn Lượng | 12 | Quốc học Huế HCB 3 | Trần Nam Dũng IT | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nắng HCB
4 | Phạm Thanh Phương | II | ĐHSP Hà Nội HCĐ
5_ | Hoàng Ngọc Chiến 12 | Quốc học Huế HCĐ
6 | Nguyễn Việt Ba II | THPT Thái Phiên, Hải Phòng HCĐ 1. Hãy xác định tất cả các hàm Ặ xác định trên tập các số dương mà nhận giá trị thực
đương và thoả mãn các điều kiện sau:
(a) Ặ(ỦẶ)) = uẶ() với mọi số dương z, 1;
(b) Ặ(z) Ở> 0ỷ as #z Ở G.
. Cho 4 là một trong hai giao điểm của hai đường tròn đồng phẳng C; và C; với các tâm Ạ; và ;, tương ứng. Một trong các tiếp tuyến chung tới các đường tròn tiếp
xúc với Ở tại ¡ và CỈ tại điểm ?Ỉ, còn tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với C¡ tại điểm Q\ và với Ca tại điểm QỈ. Cho 3⁄; là trung điểm của đoạn thẳng 7Q; và Ả⁄Ư là trung điểm của đoạn thẳng PỈ;. Chứng minh rằng ⁄21.1Ó; = ⁄MA1Mh:.
. Cho các số nguyên đương ụ, Ò và c sao cho hai số bất kì đều nguyên tế cùng nhau.
Chứng minh rằng 2ụe Ở ụb Ở be Ở ca là số nguyên lớn nhất mà không thể biểu
diễn được dưới dạng #c + ca + zab, ở đó +, và z là các số nguyên không âm. . Cho tam giác A.44BC đều và ặ là tập tất cả các điểm nằm trong ba đoạn thẳng 47, BC và CA (tắnh các các điểm mút). Hãy xác định xem liệu: với mọi phân hoạch tập ặ thành hai tập con rời nhau thì có ắt nhất một trong hai tập con đó chứa các đỉnh của một tam giác vuông. Hãy chứng minh câu trả lời của bạn.
. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên đương phân biệt, tất cả bé hơn hoặc bằng 10ồ, mà không có ba số nào trong chúng lại lập thành một cấp số cộng? Chứng minh câu trả lời của bạn.
Cho ụ, ô và e là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
aệb(a Ở b) + b e(b Ở e) + cỢa(e Ở a) > 0.
2.25. Lần thứ hai mươi năm, tại Prague, Czechoslovakia, năm 1984
STT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương
1 Đàm Thanh Sơn ĐĐHKHTN Hà Nội 42 HCV
2_ | Đỗ Quang Đại ĐHSP Hà Nội HCB
3_ | Nguyễn Văn Hưng HCB
4 | Ngô Thúc Anh HCệĐ
5 | Võ Thanh Tùng HCĐ
6 | Nguyễn Thị Minh Hà | THPT Chu Văn An, Hà Nội HCĐ 1. Các số thực không âm z, , z thoả mãn z + Ữ + z = 1. Chứng minh rằng
ỉ Ũ <zU + 9z + z# TỞ 2xUz < PT
2. Hãy xác định tất cả các cặp số nguyên dương (ụ, b) thoả mãn đồng thời hai điều
kiện sau:
(a) ab(Ủ + b) không chia hết cho ỉ. (b) (ụ + b)Ợ Ở aỢ Ở b7 chia hết cho 77,
3. Trong mặt phẳng cho hai điểm phân biệt Ó và 4. Với mỗi điểm X của mặt phẳng
khác với Ó ta kắ hiệu ụ(X) là độ đo của góc giữa ÓẢ và OXÝ theo đơn vị rađian,
theo hướng ngược kim đồng hồ (24(0 < a(X) < 2z). Kắ hiệu Ể(X) là đường tròn tâm Ó với bán kắnh là OX + ụ(X)/OX. Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô
một mầu trong một số mầu cho trước. Chứng minh rằng tồn tại một điểm Y' mà
a(Y ) > 0 sao cho các mầu của nó xuất hiện trên đường tròn C(Y').
. Cho 4ABỂD) là một tứ giác lồi thoả mãn đường thắng 7 D tiếp xúc với đường tròn
đường kắnh 1ử. Chứng minh rằng đường thăng 47 là một tiếp tuyến tới đường tròn đường kắnh Ở72 khi và chỉ khi các đường thẳng BƠ và 47) là song song.
.- Ta kắ hiệu ở là tổng độ dài của các đường chéo của một đa giác phẳng có n đỉnh ( > 3), và p là chu vi của đa giác đó. Chứng minh rằng
2d n n +]
ở đó |+| được kắ hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá z.
Cho ụ,b,e và đ là các số nguyên lẻ thoả mãn ỷ < ụ < b < c< d và ad = ủbc. Chứng minh rằng nếu ụ + ở = 2ồ và b + c = 2" với số nguyên È và ?n nào đó thì Ủ = ].
2.26 Lân thứ hai mươi sáu, tại Joutsa, Finland, năm 1985
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương I1 | Nguyễn Tiến Dũng | ĐHKHTN Hà Nội 35 HCV
2 | Lâm Tùng Giang | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nẵng 29 HCB
3 | Huỳnh Minh Vũ THPT Chu Văn An, Hà Nội 28 HCB
4 | Huỳnh Văn Thành | THPT Nguyễn Văn Trỗi, Khánh Hoà |_ 22 HỂCB 5| Đỗ Duy Khánh THPT Nguyễn Văn Trỗi, Khánh Hoà | 18 HCĐ
6 | Chế Quang Quyền
. Cho tứ giác ABC) nội tiếp đường tròn. Một đường tròn có tâm nằm trên cạnh
AB của tứ giác sao cho ba cạnh còn lại đều tiếp xúc với đường tròn đó. Chứng
minh rằng 47) + 8Ể = AB.
. Cho các số nguyên đương ụ và & nguyên tố cùng nhau thoả mãn k < ụ. Mỗi số
trong tập hợp Ả⁄ = {1,2,...,mz Ở 1} được tô mầu xanh hoặc trắng. Giả sử rằng
(a) Mỗi ¡ Ạ Xắ thì cả ¡ và nụ Ở Ư có cùng mầu;
(b) Với mỗi ¡ Ạ Ả⁄ và ¡ # È thì cả Ư và |Ư Ở &| có cùng một mầu. Chứng minh
rằng tất cả các số trong Ả có cùng một mầu.
. Cho đa thức Ặ(z) = ụo + ụi# + - -- + ụ,## với các hệ số nguyên, số các hệ số mà
là số lẻ được kắ hiệu là s(/). Với mỗi ¡ = 0, 1,..., ta đặt Q;(z) = (1+ #}. Chứng
minh rằng nếu ?1/a,..., ?Ấ là các số nguyên thoả mãn 0 < ¡¡ < ?Ư < --- < ?Ấ thì
t0(QƯ, + QƯẤ, + + QƯẤ) > t0(Q)¡,).
. Cho một tập hợp 3⁄ gồm 1985 số nguyên dương phân biệt, sao cho không có số nào có ước nguyên tố lớn hơn 26. Chứng minh rằng ẢẶ chứa ắt nhất một tập con bốn phần tử mà tắch của chúng là một luỹ thừa bậc bốn của một số nguyên. - Một đường tròn có tâm là Ô đi qua các đỉnh 4 và Ể của tam giác A ABC và cắt
các đoạn thắng 4 và BC tại các điểm phân biệt #Z và N tương ứng. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A4 và AFEBN giao nhau tại hai điểm phân biệt B và Ả/. Chứng minh rằng tam giác AO3⁄ B là tam giác vuông.
Với mỗi số thực z¡ ta dựng dãy {zẤ}?ồ ¡ bảng cách đặt
1
#n+L Ở (s, + x) for each ụ > 1.
1h
Chứng minh rằng tồn tại đúng một giá trị của z¡ để sao cho
UÚ<#Ấ<ZẤẬ¡i<1 với mọi số nguyên dương 0.
2.227 Lân thứ hai mươi bấy, tại Warsaw, Poland, năm 1986
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
1 | Hà Anh Vũ II | ĐHSP Hà Nội 34 HCV
2 | Nguyễn Phương Tuấn | II | ĐHSP Hà Nội 30 HCB 3_ | Nguyễn Hùng Sơn 12 | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nẵng | 26 HCB
4 | Nguyễn Tuấn Trung II | ĐHKHTN Hà Nội 24 HCĐ
5 | Phùng Hồ Hải II | ĐHKHTN Hà Nội 21 HCĐ
6 | Đào An Hải 12 | THPT Phan Bội Châu, Nghệ Tĩnh 8
27th International Mathematical Olympiad Warsaw, Poland
Ngày thi thứ nhất
Ngày 09 tháng 07 năm 19656
1. Cho ở là một số nguyên dương khác với 2,5 và 13. Chứng minh rằng có thể tìm
được hai số nguyên dương ụ và Ù từ tập hợp {2, 5, 13, đ} sao cho ab Ở 1 không phải
là số chắnh phương.
. Cho tam giác A4:.4s 4; và một điểm ?) trong cùng mặt phẳng tam giác. Ta xác
định 4, = 4,_s với mọi s > 4. Người ta dựng một tập hợp các điểm Ọ, Ỉ,1,...,
sao cho ?Ấ.; là ảnh của qua phép quay với tâm là 4Ư,¡ với gốc quay 120? theo chiều ngược kim đồng hồ (với & = 0,1,2,...). Chứng minh rằng nếu Psss = ?Đ}, thì tam giác A4i 4s 4s là tam giác đều.
. Mỗi đỉnh của một ngũ giác đều được gắn một số nguyên sao cho tổng của cả năm số đó là số dương. Nếu ba đỉnh liên tiếp được đánh các số là #+, Ậ/, z tương ứng và < 0 thì ta thực hiện một toán tử sau đây: các số z, , z sẽ được thay thế bởi các SỐ # +, ỞỮ Và z + tương ứng. Một toán tử như thế được lặp đi lặp lại cho đến khi có ắt nhất một trong năm số là âm. Hãy xác định xem liệu quá trình trên có thể diễn ra và kết thúc sau một số hữu hạn bước hay không.
ệ Hà Anh Vũ là học sinh đầu tiên của Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội đoạt huy chương Vàng tại một kì thi của MO.
4.
27th International Mathematical Olympiad Warsaw, Poland
Ngày thị thứ hai Ngày 10 tháng 07 năm 1956
Cho 4 và là hai đỉnh liên tiếp cuẩ một đa giác phẳng đều ụ cạnh (ở đó ụ > 5).