1974
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
I | Hoàng Lê Minh 10 | ĐHKHTTN Hà Nội 38 HCV
2 | Vũ Đình Hoà 10 | ĐHSP Hà Nội 31 HCB
3 | Đặng Hoàng ITrung I0 | ĐHKHTN Hà Nội | 28 HCB
4_ | Tạ Hông Quảng 10 | ĐHSP Hà Nội 27 HCĐ
5 | Nguyễn Quốc Thắng | 10 | ĐHKHTN Hà Nội | 22
1. Ba người 4, ?ỷ và Ể cùng chơi một trò chơi như sau: Có ba cái lá bài, trên mỗi lá bài có ghi một số nguyên. Ba số nguyên đó ta kắ hiệu là p, ụ, r thoả mãn Ú < ụ < qg < r. Ba lá bài đó được xáo và sau đó chia cho mỗi người một lá. Mỗi người khi nhận được lá bài thì ghi lại số điểm ở trên lá bài lại (mỗi người ghi ra một mảnh giấy của riêng mình). Sau đó các lá bài lại được xáo và tiếp tục đem chia cho các người chơi. Những người chơi lại ghi lại các con số trên lá bài mà nhận được.
Quá trình xáo bài, chia bài, và mỗi người phi lại các con số trên lá bài được thực hiện ắt nhất hai lần trở lên. Sau lần cuối cùng 4 thấy rằng tổng tất cả các số mà anh ta ghi lại bằng 20 trong khi đó với con số đó thì với là 10 và với Ể là 9.
Giả sử rằng ở bước cuối cùng ỷ nhận được lá bài ghi số r. Hỏi rằng ai là người đã
nhận được lá bài chứa số ụ trong lần đầu tiên.
2. Trong tam giác A AC chứng minh rằng có một điểm 7) trên canh 4 thoả mãn ỂD là trung bình nhân của 472 và 2? khi và chỉ khi Ý
Ơ
sin Asin Đ < sin Ừ
2n-+1
3. Chứng minh rằng số Ế3 }ụ ba
âm.
)2? không chia hết cho đ với mọi nguyên không
4. Xét một phân hoạch một bàn cờ 8 x 8 thành p hình chữ nhật thoả mãn các điều kiện sau:
(a) Mỗi hình chữ nhật có có số các hình vuông trắng và đen là bằng nhau. (b) Nếu a; là số các hình vuông trắng trong hình chữ nhật thứ Ư thì
đi < đạ < *** < Ểụ
Hãy xác định giá trị lớn nhất của p sao cho một phân hoạch là có thể thực hiện được. Với giá trị p đó hãy xác định tất cả các dãy có thỂ ơi, đa,..., đụ.
5. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của
cỐ q h b h e + d
_ #ụe+b+d sa+b+c b+c+d sƯa+c+đ
ở đó a, b, c, d là các số dương tuỳ ý.
6. Cho 7 là một đa thức khác hằng số với hệ số nguyên. Kắ hiệu (7) là số các số nguyên & khác nhau thoả mãn (?(&))? = 1. Chứng minh rằng
nắ?) Ở degf?) < 2
ở đó deg(7) là bậc của đa thức 7.
3 Hoàng Lê Minh là học sinh Việt Nam đầu tiên đoạt huy chương Vàng IMO, ngay ở lần
đầu tiên Việt Nam ta tham dự MO. Thành tắch này là mốc son khởi điểm cho những thành
tắch chói lọi mà những đội tuyển sau của ta kế thừa và phát huy.
2.17 Lần thứ mười bảy, tại Burgas, Bulgaria, năm 1975 5 6