1. Cho một đường thẳng ặ trong mặt phẳng và một điểm Ô nằm trên nó. Người ta
dựng các vector đơn vị 271,OH,...,OPẤ sao cho các điểm ngọn của các vector
này là 2. PỈ,..., ỪẤ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thắng /. Chứng minh rằng nếu ụ là số nguyên dương lẻ thì
Ở- Ở=Ở
O2H+(OP~+---+OH;l >1
Ở> Ở>
ở đó loni] được kắ hiệu là modul (hay độ dài) của vector OAỳ.
2. Hãy xác định xem liệu có tồn tại hay không một tập hợp hữu hạn Ả⁄{ các điểm trong không gian mà không nằm trên cùng mặt phẳng thoả mãn với hai điểm 4 và
B bất kì của Ả⁄Ặ chúng ta đều có thể chọn ra được hai điểm e và 7 của 4Lf sao cho
3. Cho ụ và ở là các số thực thoả mãn: phương trình
#Ẽ + a#Ế + bz? + a + 1 Ở= Ú
có ắt nhất một nghiệm thực. Với tất cả các cặp số thực (ụ, b) như vậy hãy tìm giá
trị bé nhất của ụẼ + ÙỲ.
4. Một người lắnh muốn kiểm tra sự nhanh trắ của mình bằng cách thực hiện một nhiệm vụ trong một vùng có hình là một tam giác đều. Bán kắnh hoạt động của chiếc máy dò của anh ta là bằng một nửa chân đường cao của tam giác. Người lắnh rời vị trắ đang đứng là một đỉnh của tam giác đã cho và bắt đầu công việc. Hỏi
rằng con đường mà người lắnh nên chọn để có thể đi một quãng đường ngắn nhất
mà vẫn hoàn thành nhiệm vụ của anh ta ?
5. Cho Ở là một họ các hàm khác hãng số với biến thực z có dạng
Ặ(z) = az + b ở đó ụ và b là các số thực.
sao cho ử thoả mãn các tắnh chất sau đây:
(a) Nếu Ặ và ụ thuộc vào Ớ thì tắch hợp thành ụ o Ặ cũng thuộc vào ửỞ. (b) Nếu Ặ thuộc ử thì hàm ngược của nó cũng thuộc GỂ.
(c) Với mọi Ặ thuộc vào Ở thì tồn tại một số thực +; thoả mãn Ặ(zƯ) = #. Chứng minh rằng tồn tại một số thực # thoả mãn Ặ(&) = & với mọi Ặ thuộc vào G.
6. Cho ụ1,ụa,..., đẤ là Ấ số dương và đặt ụ là một số thực cho trước thoả mãn 0 < q < 1. Hãy xác định ụ số thực ựq, 0aƯ,..., bẤ thoả mãn
(a) úy < ỷẤ với mọi & = l1,2,...,n.
b 1
(b) Ấ<< Ở< ~ với mọi & = 1,2,..., Ở 1.
k q
l+
(Cc) mm... nắn.