TT | Họ và tên Lớp | Trường Huy chương
I1 | Nguyễn Thị Thiểu Hoa | 10 | ĐHKHTN Hà Nội HCB
2 | Lê Ngọc Chuyên 10 | ĐHSP Vinh HCĐ
3_ | Nguyễn Hùng Sơn 10 HCĐ
4 | Lê Ngọc Minh 10 | ĐHSP Hà Nội HCĐ
5 THà Huy Bảng I0] ĐHKHTN Hà Nội
6 | Nguyễn Văn Hạnh
7| Phan Thanh Diện ĐHSP Hà Nội
8 | Lê Hải Khôi ĐHKHTN Hà Nội
1. Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi với diện tắch bằng 32 tổng độ dài của hai cạnh đối điện và một đường chéo bằng 16. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể độ đài của đường chéo còn lại.
2. Cho dãy đa thức Ấ(z) thoả mãn ?2(z) = #Ý Ở 2 và P,(z) = Đ(7,_1(z)) với
3 =2,3,.... Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ụ thì nghiệm của phương trình là các số thực và đôi một khác nhau.
3. Một chiếc hộp hình chữ nhật được chia thành các hình lập phương đơn vị. Giả sử rằng người ta có thể đặt các hình lập phương có thể tắch bằng 2 vào trong hộp sao cho các cạnh của các lập phương đó là song song với các cạnh của hộp và rằng các
chúng lấp đầy đúng 40% hộp. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể các độ dài của
chiếc hộp đó.
4. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể của tắch các số nguyên dương mà có tổng bằng
5. Xét hệ p phương trình với ụ = 2p ẩn #¡,zỈ,...,+Ấ sau đây:
011#Z1 + @12#Za + :::':+ QIgÈa Ở 0 G2131 + 0222 + --: + (2qUq@ Ở 0
Ở Ở . Ở .... ...
p1) ữp2#2 Đ *+ pa#Ấ Ở= ỷ
ở đó các hệ số a;; thuộc vào tập {Ở1,0, L}. Chứng minh rảng hệ nói trên có một nghiệm (z¡, za, - -- , zẤ) thoả mãn
(a) Tất cả các số z; đều nguyên (7 = 1,2,..., ở). (b) Tồn tại ắt nhất một số j mà z; z 0.
(c) |z;| < q với mọi j = 1,2,..., g. 6. Một dãy {uẤ} được xác định bởi
tuọạ = 2 y, uị Ở= 5/2
Hai = Mu(U2 | Ở 2) Ởtị với Vn = 1,2,... Chứng minh rằng với mọi số nguyên đương ụ ta có
IuẤ|Ợ Ở 92Ợ-(-1)Ợ)
ở đó |z| được kắ hiệu là phần nguyên của số thực z.
2.19. Lần thứ mười chắn, tại Belsrade, Yugoslavia, năm
1977
1. Người ta dựng các tam giác đều A1, ABỂL, ACDAMM, ADAN về phắa trong hình vuông 4Ể). Chứng minh rằng các trung điểm của các đoạn thẳng X7, LM, MN, NK và các trung điểm của tám đoạn thắng 4X, BK, BL,CTL,CM,
DÀI, DN, AN là mười hai đỉnh của một đa giác đều mười hai cạnh.
2. Trong các dãy hữu hạn các số thực mà tổng của bất kì bẩy phần từ liên tiếp nào cũng âm và tổng của mười một phần tử liên tiếp nào cũng dương hãy xác định số lớn nhất có thể số các số hạng của dãy.
3. Cho ụ là một số nguyên lớn hơn 2 và 1⁄⁄Ấ là tập hợp các số nguyên có dạng 1 + km ở đó k Ạ Z4. Một số m Ạ VẤ được gọi là bát khả guy trong VẤẤ nếu không tồn tại các
SỐ p,g Ạ VẤ sao cho ụg Ở= rn. Chứng minh rằng tồn tại một số z Ạ WẤẤ sao cho nó
có thể biểu diễn được thành tắch của các phần tử bất khđ guy trong VẤ theo nhiều
hơn một cách. (Hai tắch được xem là giống nhau nếu như chúng sai khác nhau thứ tự viết).
4. Cho bốn số thực a, ồ, 4, ỷ và
Ặ(6) =1Ở aeosử Ở bsinử Ở Acos20 Ở Bsin 2. Chứng minh rằng nếu Ặ(ử) > 0 với mọi số thực ử thì
a2 -L b2 <2 và A?+ BỶ < I.
5. Cho các số nguyên dương a, ở thoả mãn ụẼ + ÙỲ chia cho ụ + ở có thương là ụ và
số dư là r. Hãy xác định tất cả các cặp (ụ, b) thoả mãn qgỲ + + = 1977.
6. Cho Ặ(n) là một hàm xác định trên tập các số nguyên dương và có giá trị trong tập đó. Chứng minh rằng nếu
Ặ#f+1) >/ẶỂ@))
với mọi số nguyên dương ụ thì Ặ(n) = ụ với mọi số nguyên dương n.
2.20 Lần thứ hai mươi, tại Bucharest, Romania, năm
1978
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương
I | Vũ Kim Tuấn ĐHSP Hà Nội 30 HCB
2_ | Nguyễn Thanh Tùng | ĐHSP Hà Nội 29 HCB
3 | Đỗ Đức Thái ĐHSP Hà Nội 25 HCĐ
4_ | Hồ Đình Duẩn Quốc học Huế 24 HCĐ
5 | Lê Như Dương THPT Thái Phiên, Hải Phòng | 24 HCĐ
6 | Neguyễn Tuấn Hùng | ĐHSP Vinh 23 HCĐ 7 | Nguyễn Hồng Thái | THPT Chu Văn An, Hà Nội 23 HCĐ 8 | Neguyễn Trung Hà THPT Chu Văn An, Hà Nội 22 HCĐ
1. Cho các số nguyên dương ?m và Ủ với 1 < rn < ụ. Trong biểu diễn thập phân ba chữ số của số 1978'* tương ứng bằng với ba chữ số cuối cùng của số 1978Ợ. Hãy
xác định tất cả các số rm,: có thể để tổng n + ụ là bé nhất.
2. P là một điểm cho trước trong một mặt cầu. Một góc tam điện vuông đỉnh ? cắt mặt cầu tại các điểm , WV và W/. Gọi @ là đỉnh đối diện đối với P của hình hộp
xác định bởi PU, PV và PW/. Hãy xác định quỹ tắch các điểm @). 3. Tập tất cả các số nguyên dương là hợp của hai tập rời nhau sau đây
1/0), Ặ),... Ặ0,...}, 1ụ(1), ụ),... ụữn),;...]}
ở đó
4. Cho tam giác À 4 BC cân tại đỉnh 4. Một đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn ngoại tiếp tam giác đó với các cạnh 4, AC ở các điểm ?, Q tương ứng. Chứng minh rằng trung điểm của đoạn thẳng ?? chắnh là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ÀABỂ.
Cho {ụƯ} với k Ở 1,2,...,m là một dãy gồm các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên đương ụ ta có
3>, k=l k=i =Ị
Một hội quốc tế có các thành viên đến từ sáu nước khác nhau. Danh sách các thành viên có chứa 1978 cái tên được đánh số từ 1,2,..., 1978. Chứng minh rằng có ắt
nhất một thành viên mà số thứ tự của anh ta là tổng của hai số thứ tự của hai thành
viên đến từ cùng đất nước với anh ta.
2.21 Lần thứ hai mươi mốt, tại London, United Kingdom,
năm 1979
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
I | Lê Bá Khánh Trình 10 | Quốc học Huế 40 HCV
2 | Phạm Hữu Tiệp I0 | THPT Chu Văn An, Hà Nội HCB
3 | Phạm Ngọc Anh Cương | I0 | ĐHKHTIN Hà Nội HCB
4 | Bùi Tá Long 10 | ĐHSP Hà Nội HCB
7
I. Cho các số nguyên dương ?p và ụ thoả mãn
ma... Du 1
IN 2...3. 4 1318 1319 Chứng minh rằng ụ chia hết cho 1979.
2. Một hình lăng trụ ngũ giác 4i.4s.4a.44A1;. :B;D;:BƯB:. Mỗi cạnh của hai đa
giác đáy và các đoạn thắng A;Đ; với mọi Ư, j = 1,..., 5 được tô mầu xanh hoặc đỏ.
Giả sử rằng bất kì một tam giác nào có các đỉnh là các đỉnh của lăng trụ và các
cạnh của nó đều được tô mầu và có hai cạnh có mầu khác nhau. Chứng minh rằng cả 10 cạnh của các đa giác đáy đều được tô cùng một mầu.
7Lê Bá Khánh Trình là học sinh Việt Nam đầu tiên đạt số điểm tối đa trong cuộc thi Toán ở IMO. Anh hiện nay vẫn là người Việt Nam duy nhất giành được cú đúp: Huy chương vàng với số điểm tối đa, và giải thưởng đặc biệt dành cho người có bài giải độc đáo (bài số 3).
3. Trong mặt phẳng cho hai đường tròn cắt nhau, và kắ hiệu 4 là một trong hai giao
điểm. Có hai động tử đồng thời xuất phát điểm từ 4 và cùng chuyển động đều trên
hai đường tròn theo cùng một hướng. Sau khi đi được một vòng chúng lại gặp nhau
ở điểm 44. Chứng minh rằng trong mặt phẳng tồn tại một điểm cố định P sao cho với mọi thời điểm thì P luôn cách đều hai động tử chuyển động nói trên.
4. Cho (z) là một mặt phẳng và P là một điểm nằm trên mặt phẳng (z) còn @ là điểm nằm ngoài mặt phẳng (z). Hãy xác định tất cả các điểm ?Ậ trong mặt phẳng (x) sao cho tỷ số
QP + PA
QT
đạt giá trị lớn nhất.
5. Hãy tìm tất cả các số thực ụ sao cho tồn tại các số thực không âm #1, Za, #3, Z4,
+s thoả mãn đồng thời các quan hệ sau đây:
5 Ừ.-.. kỞI1 5 Ừ..-.. k=I 5 Ừ.~.-.. kỞ]1
6. Cho 4 và 7 là các đỉnh đối diện của một thập giác đều. Một con ếch bắt đầu nhảy từ đỉnh 4. Từ bất kì một đỉnh nào của thập giác trừ đỉnh 7 nó có thể nhảy tới các đỉnh kề bên, còn khi con ếch nhẩy đến đỉnh # thì nó dừng lại và ở nguyên đó. Ta
kắ hiệu ỦẤ là số các đoạn đường khác nhau sau z bước nhảy để con ếch có thể đến được điểm 77. Chứng minh rằng ụzẤ_¡ Ở= 0, và
G2n, Ở -_=(gmỞ TỞ "1m Ở 1, 2,3, TT v2
ở đó z = 2+ V2 và =2Ở V2.
Chú ý. Một đoạn đường gồm ụ bước nhảy là một dãy các đỉnh (?Ỉ,..., Ấ) sao cho
(a3) Fạ= 44, =bE;
(b) với mọi ? mà ỷ < ? < r Ở ] thì 4 khác với #;
2.22. Lân thứ hai mươi hai, tại Washington D.C, USA,
năm 1981
. Cho tam giác AAĐC và P là một điểm nằm bên trong tam giác đó. Gọi 2, E, F tương ứng là chân các đường vuông góc được hạ từ P xuống các đường thắng ĐỂ, Ể[A, và AB. Hãy xác định tất cả các điểm ? thoả mãn
BỂ CA AB
PD TPE ` PF là bé nhất.
. Cho hai số nguyên dương ụw và z thoả mãn 1 < z < ? và xét tất cả các tập con có 7
phần tử của tập hợp {1, 2,..., ụ}. Mỗi một tập con như vậy đều có phần tử bé nhất. Ta kắ hiệu #'(ụ, z) là trung bình số học của các số bé nhất đó. Chứng minh rằng
+ Ì
Fắn,r) = Ở_
. Hãy xác định giá trị lớn nhất của ? + ụỞ, ở đó rn và n là các số nguyên thoả mãnzn, ụ Ạ {1,2,..., 1981} và (nỲ Ở mm Ở m2) = 1.
(a) Với những giá trị nào của ụ > 2 sao cho tồn tại một tập hợp gồm có 0 số nguyên dương liên tiếp thoả mãn số lớn nhất trong tập đó là một ước của bội
chung bé nhất của tất cả n Ở 1 số còn lại.
(b) Với những giá trị ụ > 2 nào mà có đúng một tập có tắnh chất nói trên. . Ba đường tròn đồng quy tại một điểm Ô và nằm trong một tam giác cho trước. Mỗi
đường tròn tiếp xúc với một cặp cạnh của tam giác. Chứng minh rằng tâm đường
tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác nói trên và điểm O là thẳng hàng.
. Cho một hàm số giá trị thực Ặ(z, ) hai biến thoả mãn (3) Ặ(0,)=Ừ +1;
(b) Ặ(z+ 1,0) = Ặ(z,1);
(c) Ặ(z+1,+1)=ẶỂ@,Ặ(Ủ + 1,9)):
với mọi số nguyên không âm z, ;/. Hãy xác định giá trị của Ặ(4, 1981).
2.23 Lần thứ hai mươi ba, tại Budapest, Hungary, năm
1982
TT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương L | Lê Tự Quốc Thắng | THPT Lê Hồng Phong, HCM | 42 HCV
2| Ngô Phú Thanh Quốc học Huế HCB
3 | Trần Minh +HKHTN Hà Nội HCB
1. Một hàm số Ặ : Z,ứ xác định trên tập tất cả các số nguyên dương và nhận các giá
trị nguyên không âm. Đồng thời với mọi rn, ?: ta có
Ặữm +m) Ở Ặ(mn) Ở Ặ(n) = 0 hoặc 1
Ặ(2)=0,Ặ(3) >0, và Ặ(9999) = 3333.
Hãy xác định giá trị của Ặ(1982).
2. Một tam giác không cân À 4¡ 4; 4s với độ dài các cạnh là ụi, ứƯ, dạ (trong đó a; là đối diện với đỉnh.4;, với mọi Ư = 1,2, 3). Với mỗi 7 = 1,2, 3 ta gọi 3; là trung
điểm của đoạn thẳng có độ dài a; và 7; là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp
tam giác với cạnh Ủ;. Đồng thời ta kắ hiệu Ế; là điểm đối xứng của 7; qua phân
giác trong của góc .4;. Chứng minh rằng các đường thẳng Ả⁄¡Ế5¡, Ả⁄Ư⁄Ế; và Ảf;S; là đồng quy.
3. Xét các dãy hữu hạn {zẤ} các số thực dương thoả mãn các tắnh chất sau:
#o = ]1,and for all Ư > 0,#Ỉ;_¡ < ZƯ.
(a) Chứng minh rằng với mọi dãy như trên đều có một số nguyên ?ụ > 1 thỏa
mẫn % 2 % 2 Tộ_ 2
Ộ+ =+---+ỞỞ >3999.
%1 2 Tp
(b) Hãy xác định một dãy như trên mà
2 2 2
% Ộ+ S+...+ # LI Ộ<4,
#I 32 tẤ
4. (a) Chứng minh rằng nếu zụ là một số nguyên dương thoả mãn phương trình #ỢỞ 3#uẼỢ +ụỢ=n
có một nghiệm nguyên (z, ), thì nó có ắt nhất ba nghiệm nguyên.
(b) Chứng minh rằng phương trình trên không có nghiệm nguyên khi z = 2891. 5. Các đường chéo 4Ể và CF của một lục giác đều 4Ể1)FF' được chia trong bởi
các điểm chia ẢẶ và ẤN tương ứng sao cho
AM ƠN - AC CE `
Hãy xác định rz nếu , 1⁄ và là thẳng hàng.
6. Cho Ế là một hình vuông với cạnh độ đài bằng 100 và 7 là một đường không tự cắt bên trong hình vuông đó. 7, được thành lập bởi các đoạn thắng 4o.4:, 4i⁄4Ỉ,...,
AẤa_1LAẤ với Áạ # 4Ấ. Giả sử rằng với mọi điểm ? trên biên của Ế có một điểm
của 7, mà cách ? một đoạn không lớn hơn 1/2. Chứng minh rằng có hai điểm X và Y trong Ù sao cho khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 1 và độ dài của phần đường 7 mà nằm giữa hai điểm X và Y không bé hơn 198.
2.24 Lân thứ hai mươi tư, tại Paris, France, năm 1983
TT | Họ và tên Lớp | Trường Huy chương
I | Trần Tuấn Hiệp 12 | ĐHSP Hà Nội HCB
2 | Nguyễn Văn Lượng | 12 | Quốc học Huế HCB 3 | Trần Nam Dũng IT | THPT Phan Châu Trinh, Đà Nắng HCB
4 | Phạm Thanh Phương | II | ĐHSP Hà Nội HCĐ
5_ | Hoàng Ngọc Chiến 12 | Quốc học Huế HCĐ
6 | Nguyễn Việt Ba II | THPT Thái Phiên, Hải Phòng HCĐ 1. Hãy xác định tất cả các hàm Ặ xác định trên tập các số dương mà nhận giá trị thực
đương và thoả mãn các điều kiện sau:
(a) Ặ(ỦẶ)) = uẶ() với mọi số dương z, 1;
(b) Ặ(z) Ở> 0ỷ as #z Ở G.
. Cho 4 là một trong hai giao điểm của hai đường tròn đồng phẳng C; và C; với các tâm Ạ; và ;, tương ứng. Một trong các tiếp tuyến chung tới các đường tròn tiếp
xúc với Ở tại ¡ và CỈ tại điểm ?Ỉ, còn tiếp tuyến còn lại tiếp xúc với C¡ tại điểm Q\ và với Ca tại điểm QỈ. Cho 3⁄; là trung điểm của đoạn thẳng 7Q; và Ả⁄Ư là trung điểm của đoạn thẳng PỈ;. Chứng minh rằng ⁄21.1Ó; = ⁄MA1Mh:.
. Cho các số nguyên đương ụ, Ò và c sao cho hai số bất kì đều nguyên tế cùng nhau.
Chứng minh rằng 2ụe Ở ụb Ở be Ở ca là số nguyên lớn nhất mà không thể biểu
diễn được dưới dạng #c + ca + zab, ở đó +, và z là các số nguyên không âm. . Cho tam giác A.44BC đều và ặ là tập tất cả các điểm nằm trong ba đoạn thẳng 47, BC và CA (tắnh các các điểm mút). Hãy xác định xem liệu: với mọi phân hoạch tập ặ thành hai tập con rời nhau thì có ắt nhất một trong hai tập con đó chứa các đỉnh của một tam giác vuông. Hãy chứng minh câu trả lời của bạn.
. Có thể chọn được hay không 1983 số nguyên đương phân biệt, tất cả bé hơn hoặc bằng 10ồ, mà không có ba số nào trong chúng lại lập thành một cấp số cộng? Chứng minh câu trả lời của bạn.
Cho ụ, ô và e là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
aệb(a Ở b) + b e(b Ở e) + cỢa(e Ở a) > 0.
2.25. Lần thứ hai mươi năm, tại Prague, Czechoslovakia, năm 1984
STT | Họ và tên Trường Điểm | Huy chương
1 Đàm Thanh Sơn ĐĐHKHTN Hà Nội 42 HCV
2_ | Đỗ Quang Đại ĐHSP Hà Nội HCB
3_ | Nguyễn Văn Hưng HCB
4 | Ngô Thúc Anh HCệĐ
5 | Võ Thanh Tùng HCĐ
6 | Nguyễn Thị Minh Hà | THPT Chu Văn An, Hà Nội HCĐ