năm 1989
TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương
1 | Đắnh Tiến Cường 12 | ĐHSP Hà Nội 42 HCV
2| Ngô Bảo Châu 12 | ĐHKHTN Hà Nội 40 HCV
3| Bùi Hải Hưng II | ĐHKHTN Hà Nội 34 HCB
4 | Hà Huy Minh 12 | ĐHKHTN Hà Nội 27 HCĐ
5 | Trần Trọng Thắng | 12 | NK Trần Phú, Hải Phòng 21 HCĐ 6 | Đoàn Hồng Nghĩa | I2 | THPT Lê Hồng Phong,HCM | 19 HCĐ 10 11 12 13
30 International Mathematical Olympiad Braunschweig, West Germany
Ngày thi thứ nhất
1. Chứng minh rằng tập hợp {1,2,..., 1989} có thể biểu diễn được dưới dạng hợp rời
nhau của các tập con 44; (Ư = 1,2,..., 117) thoả mãn:
(a) Mỗi tập 4; chứa đúng 17 phần tử;
(b) Tổng của tất cả các phần tử trong mỗi tập .4; là bằng nhau.
2. Trong tam giác nhọn A4 8C đường phân giác trong xuất phát từ đỉnh 4 cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ở điểm thứ hai 4;. Các điểm ỷ¡ và Ể¡ được xác định tương tự. Kắ hiệu 4; là giao điểm của đường thẳng .1⁄1; với đường phân giác ngoài
của các góc và Ể. Các điểm ỷ; và Ểg được xác định tương tự. Chứng minh
rằng:
(a) Diện tắch của tam giác A.4g.B;Cb gấp đôi diện tắch của lục giác 41C+A:C Bì.
!9 Ngô Bảo Châu trở thành học sinh Việt Nam thứ hai hai lần tham dự IMO, và anh cũng là
học sinh đầu tiên đoạt hai huy chương Vàng IMƠ. Hiện nay anh vẫn đang giữ kỉ lục là học sinh Việt Nam có tổng số điểm đoạt được ở các kì thi [MO cao nhất 42 + 40 = 82 điểm.
! Định Tiến Cường là học sinh đầu tiên của Khối THPT Chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội
đoạt số điểm tối đa tại một kì thi IMO.
!2Trần Trọng Thắng là học sinh đầu tiên của ngôi nhà NK Trần Phú tham dự một kì thi IMO,
mở ra một trang sử hào hùng của cho ngôi trường rất non trẻ này (thành lập năm 1987). !3 Năm 1989 là năm đáng nhớ của đội tuyển Toán quốc gia Việt Nam, lần đầu tiên đoạt hai
(b) Diện tắch của tam giác A 4g BC không bé hơn bốn lần diện tắch của tam giác ÀAABC.
3. Cho ụ và k là các số nguyên dương và Ế là tập hợp gồm ụ điểm trong mặt phẳng
thoả mãn
(a) Không có ba điểm nào của Ế là thắng hàng;
(b) Với bất kì điểm ? nào của ệẾ thì đều có ắt nhất & điểm của Ế cách đều điểm
P.
Chứng minh rằng:
1
k < 5 + V2n
30 International Mathematical Olympiad Braunschweig, West Germany
Ngày thị thứ hai
4. Cho tứ giác lồi 4Ể? thoả mãn các cạnh 4B, 4/, BƠ thoả mãn đẳng thức AB = AID+ BC. Giả sử rằng tồn tại một điểm ?? bên trong tứ giác cách đường thắng ZD một đoạn bằng h sao cho 4P = h+ AD và BP Ở h~+ BƠ. Chứng minh rằng:
1 1 1
Ở= È Ở=c Ẩ -Ở: vh vwWAD wWBƠ
5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương ụ đều tồn tại số nguyên dương liên
tiếp sao cho không có số nào trong chúng là một luỹ thừa của một số nguyên tố. 6. Một hoán vị (, #Ư,..., zsẤ) của tập hợp {1,2,..., 2z}, ở đó ụ là một số nguyên
dương, được gọi là có tắnh chất 7 nếu |#; Ở #; Ư| Ở n= với ắt nhất một chỉ số Ư thuộc
{1,2,..., 2n Ở 1}. Chứng minh rằng, với mỗi số nguyên dương z thì số các hoán