Lần thứ mười hai, tại Keszthely, Hungary, năm 1970- 123docz.net

1. Cho điểm Ả⁄Ặ nằm trên cạnh 4 của tam giác AA BƠ. Kắ hiệu r¡, rạ và z là bán kắnh của các đường tròn nội tiếp các tam giác ÀAAA/Ể, ABMỂ và ÀAABỂ. Kắ hiệu ụi, ợỈ và g là bán kắnh của các đường tròn bàng tiếp của các tam giác đó tương

ứng với góc 4Ể. Chứng minh rằng

T1 T2 r

Ể\ đỈ2 ũ

2. Cho a, b và là các số nguyên lớn hơn 1. Xét các số 4Ấ_¡, 4Ấ, ạ_¡ và BẤ là các số thoả mãn các quan hệ sau:

a Ở đ#nữỲữn_Ở1"'*"*#0 ; an Ở #tq_Ở1ÈnỞ2"* "#0; ạ Ở #nữn_Ở1"ồ*30 ; Đụ ¡ Ở #q_Ở1ÈnỞ2 ** t0)

*tn lã Ú,Za_Ởi ⁄ 0.

trong đó các biểu diễn của các số 4Ấ_¡, Ấ_¡ trong cơ số ụ và 41Ấ, Ấ là biểu diễn trong cơ sở ủ. Chứng minh rằng

An_ Đạ_L. .

"Ở< 2Ở jf and only if ụ > b.

uy Bụ

3. Các số thực ụg,ụi,...,ụẤ,... thoả mãn điều kiện:

Ì =áo Sứi S6 -*'Ạ đạ S + +

Các số bị, bƯ,..., bẤ,... được xác định bởi

Ở ỂEỞ 1 1

= 1Ở ỞỞ.

"`. văn k=Il

(a) Chứng minh rằng 0 < đẤ < 2 với mọi n.

(b) Cho e là số thực thoả mãn 0 < c < 2. Chứng minh răng tồn tại các số thực

đạ,0+,... VỚI các tắnh chất ở trên thoả mãn Ấ > c với ? đủ lớn.

4. Hãy xác định tất cả các số nguyên dương ụ thoả mãn tắnh chất: tập hợp {n,m + 1,n+2,n+3,n + 4,n + 5} có thể chia thành hai tập hợp thoả mãn tắch của các

số trong hai tập hợp đó bằng nhau.

5. Trong tứ diện 4ABỂ7 có góc ỘBDCỂ = 900. Giả sử rằng chân đường cao được hạ từ 2 xuống mặt phẳng (1C) trùng với trực tâm của tam giác phẳng A4 ĐC.

Chứng minh rằng

(AB + BƠ + CA) < 6(A4DẼ+ BD+ ỂDĐ)). Dấu bằng xảy ra khi nào ?

6. Trong mặt phẳng có 100 điểm sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng . Xét tất cả các tam giác được có các đỉnh là ba trong số các điểm đã cho. Chứng minh rẳắng

2.13 Lân thứ mười ba, tại Zilina, Czechoslovakia, năm 1971

1. Chứng minh rằng khẳng định sau đúng cho ụ = 3 và ụ = 5 và nó sai với mọi số nguyên dương ? > 2 khác với hai trường hợp đó:

" Nếu ụ,ụsƯ,..., ỦẤ là các số thực, thì (ơi Ở ụs)(đ1 Ở đa) - - : (đi Ở #Ấ)-E (đaỞụ1)(aa2Ởụa) - - - (gạỞdẤ)=E - - - Đ(qẤỞ01)(aẤỞ0a) - * (GẤỞđẤỞ1) Đ

ỷ Ấ

. Xét một đa giác lồi ¡ với chắn đỉnh 4;.1;,..., 4a; các đa giác ; được nhận từ

đa giác bằng cách tịnh tiến các đỉnh 4; tới .4; tương ứng Ư = 2,3,..., 9. Chứng

minh rằng có ắt nhất hai đa giác trong số các đa giác P¡, fỈ,..., ỉỈ có một điểm trong chung.

. Chứng minh rằng tập hợp các số nguyên có dạng 2Ộ Ở 3 với (k = 2,3,...) chứa một tập con vô hạn mà hai số bất kì trong chúng là nguyên tố cùng nhau.

. Tất cả các mặt của tứ điện 4Ể) là các tam giác nhọn. Chúng ta xét tất cả các đa giác đường có dạng XY ZTX được xác định như sau: X là một điểm nằm trên cạnh 4 phân biệt với 4 và Đ; tương tự Y, Z,7 là các điểm trong của các

cạnh8CỂ, CT2, 2A tương ứng. Chứng minh rằng:

(a) Nếu ỘAB + ZBỂ1]D + ⁄{1JAA + ABC thì các đa giác đường có một

đường đi với độ dài bé nhất.

(b) Nếu 41B + BỂCD = ⁄Ể 21+ ABC thì có vô hạn các đa giác với độ

đài ngắn nhất có độ dài chung là 2 4Ể sin(Ủ/2), ở đó Ủ= ⁄ỘHAC+~⁄ỂAD+

⁄DAB.

. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương m tồn tại một tập hợp hữu hạn Ế gồm

các điểm trong một mặt phẳng với tắnh chất: Với mọi điểm 4 trong Ế có đúng mm điểm trong Ế mà khoảng cách tới 4 bằng đơn vị.

. Cho .4 = (ụƯ;) với (, j = 1,2,...,) là một ma trận vuông với các phần tử là các

số nguyên không âm. Giả sử rằng bất cứ phần tử nào z;; = 0 thì tổng của các phần tử nằm trên đồng Ư và cột 7 đều> ụ. Chứng minh rằng tổng của tất cả các phần tử của ma trận nói trên không nhỏ hơn n2 /2.

2.14 Lân thứ mười bốn, tại Torun, Poland, năm 1972

1. Chứng minh rằng từ một tập hợp gồm có mười số có hai chữ số trong hệ thập phân, đều có thể chọn được ra hai tập con rời nhau mà có cùng tổng.

2. Chứng minh rằng nếu ụ > 4 thì mọi tứ giác nội tiếp được trong một đường tròn

đều có thể phân hoạch thành ụ tứ giác mà mỗi tứ giác đều có thể nội tiếp được

3. Cho n và ụ là các số nguyên không âm. Chứng minh rằng (2m)!1(2n)!

m}nl(m + n)l là một số nguyên. (Trong đó fa quy ước 0! = ]).

4. Hãy tìm tất cả các nghiệm (#, za, #z, #4, zs) của hệ bất phương trình sau đây (#2 Ở #3#s)(#5 Ở 32s) < 0

Z3 Ở #4#1 #2 Ở đam) 2 3 << Ôỷ (3 Ở #s#2)(%2TỞ s2a) <0 đ2 Ở #4a3)(#2 Ở #23) 4 5 << ỷ t2 Ở a.)(gẨSỞ s1.) 5 ự X0 trong đó #1, #a, Z4, #4, #s là các số thực dương.

5. Cho Ặ và ụ là các hàm giá trị thực xác định trên tập tất cả các số thực z và thoả mãn phương trình hàm

ẶỂỦ +) + Ặ(ỦỞ 0) = 2Ặ(z)3(u)

với mọi z, Ạ R. Chứng minh rằng nếu Ặ(+z) không đồng nhất không, và nếu

IẶ(z)| < 1 với mọi z Ạ R thì ta có |g(g)| < 1 với mọi Ạ ỉR.

6. Cho bốn mặt phẳng phân biệt song song, chứng minh rằng tồn tại một tứ diện đều

mà mỗi đỉnh của nó thuộc đúng một trong bốn mặt phẳng nói trên.

2.15 Lần thứ mười năm, tại Moscow, U.S.S.R, năm 1973

1. Cho một đường thẳng ặ trong mặt phẳng và một điểm Ô nằm trên nó. Người ta

dựng các vector đơn vị 271,OH,...,OPẤ sao cho các điểm ngọn của các vector

này là 2. PỈ,..., ỪẤ nằm trong cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thắng /. Chứng minh rằng nếu ụ là số nguyên dương lẻ thì

Ở- Ở=Ở

O2H+(OP~+---+OH;l >1

Ở> Ở>

ở đó loni] được kắ hiệu là modul (hay độ dài) của vector OAỳ.

2. Hãy xác định xem liệu có tồn tại hay không một tập hợp hữu hạn Ả⁄{ các điểm trong không gian mà không nằm trên cùng mặt phẳng thoả mãn với hai điểm 4 và

B bất kì của Ả⁄Ặ chúng ta đều có thể chọn ra được hai điểm e và 7 của 4Lf sao cho

3. Cho ụ và ở là các số thực thoả mãn: phương trình

#Ẽ + a#Ế + bz? + a + 1 Ở= Ú

có ắt nhất một nghiệm thực. Với tất cả các cặp số thực (ụ, b) như vậy hãy tìm giá

trị bé nhất của ụẼ + ÙỲ.

4. Một người lắnh muốn kiểm tra sự nhanh trắ của mình bằng cách thực hiện một nhiệm vụ trong một vùng có hình là một tam giác đều. Bán kắnh hoạt động của chiếc máy dò của anh ta là bằng một nửa chân đường cao của tam giác. Người lắnh rời vị trắ đang đứng là một đỉnh của tam giác đã cho và bắt đầu công việc. Hỏi

rằng con đường mà người lắnh nên chọn để có thể đi một quãng đường ngắn nhất

mà vẫn hoàn thành nhiệm vụ của anh ta ?

5. Cho Ở là một họ các hàm khác hãng số với biến thực z có dạng

Ặ(z) = az + b ở đó ụ và b là các số thực.

sao cho ử thoả mãn các tắnh chất sau đây:

(a) Nếu Ặ và ụ thuộc vào Ớ thì tắch hợp thành ụ o Ặ cũng thuộc vào ửỞ. (b) Nếu Ặ thuộc ử thì hàm ngược của nó cũng thuộc GỂ.

(c) Với mọi Ặ thuộc vào Ở thì tồn tại một số thực +; thoả mãn Ặ(zƯ) = #. Chứng minh rằng tồn tại một số thực # thoả mãn Ặ(&) = & với mọi Ặ thuộc vào G.

6. Cho ụ1,ụa,..., đẤ là Ấ số dương và đặt ụ là một số thực cho trước thoả mãn 0 < q < 1. Hãy xác định ụ số thực ựq, 0aƯ,..., bẤ thoả mãn

(a) úy < ỷẤ với mọi & = l1,2,...,n.

b 1

(b) Ấ<< Ở< ~ với mọi & = 1,2,..., Ở 1.

k q

(Cc) mm... nắn.

2.16 Lần thứ mười sáu, tại Erfurt, West Germany, năm

1974

TT | Họ và tên Lớp | Trường Điểm | Huy chương

I | Hoàng Lê Minh 10 | ĐHKHTTN Hà Nội 38 HCV

2 | Vũ Đình Hoà 10 | ĐHSP Hà Nội 31 HCB

3 | Đặng Hoàng ITrung I0 | ĐHKHTN Hà Nội | 28 HCB

4_ | Tạ Hông Quảng 10 | ĐHSP Hà Nội 27 HCĐ

5 | Nguyễn Quốc Thắng | 10 | ĐHKHTN Hà Nội | 22

1. Ba người 4, ?ỷ và Ể cùng chơi một trò chơi như sau: Có ba cái lá bài, trên mỗi lá bài có ghi một số nguyên. Ba số nguyên đó ta kắ hiệu là p, ụ, r thoả mãn Ú < ụ < qg < r. Ba lá bài đó được xáo và sau đó chia cho mỗi người một lá. Mỗi người khi nhận được lá bài thì ghi lại số điểm ở trên lá bài lại (mỗi người ghi ra một mảnh giấy của riêng mình). Sau đó các lá bài lại được xáo và tiếp tục đem chia cho các người chơi. Những người chơi lại ghi lại các con số trên lá bài mà nhận được.

Quá trình xáo bài, chia bài, và mỗi người phi lại các con số trên lá bài được thực hiện ắt nhất hai lần trở lên. Sau lần cuối cùng 4 thấy rằng tổng tất cả các số mà anh ta ghi lại bằng 20 trong khi đó với con số đó thì với là 10 và với Ể là 9.

Giả sử rằng ở bước cuối cùng ỷ nhận được lá bài ghi số r. Hỏi rằng ai là người đã

nhận được lá bài chứa số ụ trong lần đầu tiên.

2. Trong tam giác A AC chứng minh rằng có một điểm 7) trên canh 4 thoả mãn ỂD là trung bình nhân của 472 và 2? khi và chỉ khi Ý

sin Asin Đ < sin Ừ

2n-+1

3. Chứng minh rằng số Ế3 }ụ ba

âm.

)2? không chia hết cho đ với mọi nguyên không

4. Xét một phân hoạch một bàn cờ 8 x 8 thành p hình chữ nhật thoả mãn các điều kiện sau:

(a) Mỗi hình chữ nhật có có số các hình vuông trắng và đen là bằng nhau. (b) Nếu a; là số các hình vuông trắng trong hình chữ nhật thứ Ư thì

đi < đạ < *** < Ểụ

Hãy xác định giá trị lớn nhất của p sao cho một phân hoạch là có thể thực hiện được. Với giá trị p đó hãy xác định tất cả các dãy có thỂ ơi, đa,..., đụ.

5. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể của

cỐ q h b h e + d

_ #ụe+b+d sa+b+c b+c+d sƯa+c+đ

ở đó a, b, c, d là các số dương tuỳ ý.

6. Cho 7 là một đa thức khác hằng số với hệ số nguyên. Kắ hiệu (7) là số các số nguyên & khác nhau thoả mãn (?(&))? = 1. Chứng minh rằng

nắ?) Ở degf?) < 2

ở đó deg(7) là bậc của đa thức 7.

3 Hoàng Lê Minh là học sinh Việt Nam đầu tiên đoạt huy chương Vàng IMO, ngay ở lần

đầu tiên Việt Nam ta tham dự MO. Thành tắch này là mốc son khởi điểm cho những thành

tắch chói lọi mà những đội tuyển sau của ta kế thừa và phát huy.

2.17 Lần thứ mười bảy, tại Burgas, Bulgaria, năm 1975 5 6 5 6 TT | Họ và tên Lớp | Trường

1 | Nguyễn Minh Đức 10 | ĐHKHTN Hà Nội

. Ta kắ hiệu 4 là tổng các chữ số của số 444

. Cho #Ư,; (¡ = 1,2,...,?Ỉ) là các số thực thoả mãn

#3 Z#a 3% ::':> zẤ and 1 > 9a > --- > 9n.

Chứng minh rằng nếu z¡, z2, - --,, zẤ là một hoán vị của 1¡, s, - -- , Ấ thì

Ở 1) < 2i Ở Z4)Ợ.

;=I1

.- Cho ai, đa, dạ, --- là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mọi ụ > 1 đều tồn tại vô hạn các số zẤẤ thoả mãn

đẤ Ở %ũy lúa với +, là các số nguyên dương và g > ?.

. Trên các cạnh của một tam giác tuỳ ý À 4BỂ các tam giác À45ZR, ABCỂP, AC AQ được dựng về phắa ngoài sao cho ỘỂĐP = ⁄ỂỚAQ = 415ồ,/HĐỂP =

⁄ZAỂQ = 30ồ,⁄ABR = ⁄BAR = 15ồ. Chứng minh rằng ⁄@TtP = 90ồ và

Qự = HP.

444 viết trong hệ thập phân, ử là tổng

các chữ số của số 41. Hãy xác định tổng các chữ số của số ỷ.

ỘTheo tài liệu [9] thì Đoàn học sinh Việt Nam năm 1975 đoạt hai huy chương Bạc và ba huy chương Đồng. Tuy nhiên theo những thông tin mà Thầy giáo, PGS. TS. Nguyễn Hội Nghĩa, thành viên của đội tuyển Việt Nam tham dự kì thi IMO1975, cung cấp, thì thành tắch của đội Việt Nam năm đó là một huy chương Bạc và ba huy chương Đồng. Vì thế chúng tôi tạm thời chưa đưa ra thông tin về thành viên đội tuyển và thành tắch của đội năm 1975 và sẽ cập nhật tài liệu này trong thời gian sớm nhất có thể. Nhân đây, chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành

tới PGS.TS. Nguyễn Hội Nghĩa về những thông tin quý báu đã cung cấp cho Diễn đàn.

5. Hãy xác định xem liệu có thể tìm được 1975 điểm trên đường tròn với bán kắnh

đơn vị hay không mà thoả mãn khoảng cách giữa hai điểm bất kì đều là số hữa tỷ.

6. Hãy xác định tất cả các đa thức P hai biến thoả mãn các tắnh chất sau đây:

(a) Với mỗi số nguyên đương ụ và mọi số thực ắ, z, 1 ta có

P(tz, tụ) = Ẩ"Pặ, 0)

(b) với mọi số thực a, ỏ, c thì

P(b+c,ụ)+ P(c+a,b) + P(a+b,c) =0,

2.18. Lần thứ mười tám, tại Linz, Austria, năm 1976

TT | Họ và tên Lớp | Trường Huy chương

I1 | Nguyễn Thị Thiểu Hoa | 10 | ĐHKHTN Hà Nội HCB

2 | Lê Ngọc Chuyên 10 | ĐHSP Vinh HCĐ

3_ | Nguyễn Hùng Sơn 10 HCĐ

4 | Lê Ngọc Minh 10 | ĐHSP Hà Nội HCĐ

5 THà Huy Bảng I0] ĐHKHTN Hà Nội

6 | Nguyễn Văn Hạnh

7| Phan Thanh Diện ĐHSP Hà Nội

8 | Lê Hải Khôi ĐHKHTN Hà Nội

1. Trong mặt phẳng cho tứ giác lồi với diện tắch bằng 32 tổng độ dài của hai cạnh đối điện và một đường chéo bằng 16. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể độ đài của đường chéo còn lại.

2. Cho dãy đa thức Ấ(z) thoả mãn ?2(z) = #Ý Ở 2 và P,(z) = Đ(7,_1(z)) với

3 =2,3,.... Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ụ thì nghiệm của phương trình là các số thực và đôi một khác nhau.

3. Một chiếc hộp hình chữ nhật được chia thành các hình lập phương đơn vị. Giả sử rằng người ta có thể đặt các hình lập phương có thể tắch bằng 2 vào trong hộp sao cho các cạnh của các lập phương đó là song song với các cạnh của hộp và rằng các

chúng lấp đầy đúng 40% hộp. Hãy xác định tất cả các giá trị có thể các độ dài của

chiếc hộp đó.

4. Hãy xác định giá trị lớn nhất có thể của tắch các số nguyên dương mà có tổng bằng

5. Xét hệ p phương trình với ụ = 2p ẩn #¡,zỈ,...,+Ấ sau đây:

011#Z1 + @12#Za + :::':+ QIgÈa Ở 0 G2131 + 0222 + --: + (2qUq@ Ở 0

Ở Ở . Ở .... ...

p1) ữp2#2 Đ *+ pa#Ấ Ở= ỷ

ở đó các hệ số a;; thuộc vào tập {Ở1,0, L}. Chứng minh rảng hệ nói trên có một nghiệm (z¡, za, - -- , zẤ) thoả mãn

(a) Tất cả các số z; đều nguyên (7 = 1,2,..., ở). (b) Tồn tại ắt nhất một số j mà z; z 0.

tuọạ = 2 y, uị Ở= 5/2

Hai = Mu(U2 | Ở 2) Ởtị với Vn = 1,2,... Chứng minh rằng với mọi số nguyên đương ụ ta có

IuẤ|Ợ Ở 92Ợ-(-1)Ợ)

ở đó |z| được kắ hiệu là phần nguyên của số thực z.