IV. Hệ tiên đề của logic mệnh đề
3. Các hệ tiên đề khác của logic mệnh đề
Thay các tiên đề A1, A2, A3 hoặc một số trong số đó bằng những tiên đề khác của logic mệnh đề, tương đương với hệ S . Ở đây chúng tơi chỉ xem xét hệ tiên đề, trong đó các tiên đề, ngồi các phép tốn ⊃ và ¬ như ở hệ S , cịn có thể chứa các phép toán & và ∨. Một hệ tiên đề như vậy rất tiện lợi khi sử dụng, vì các phép tốn & và ∨ trở thành các phép toán ban đầu, chứ khơng phải chỉ là các phép tốn được định nghĩa thơng qua ⊃ và ¬.
Sau đây là hệ tiên đề đó, ta ký hiệu nó là CL (viết tắt chữ Classical Logic) – Hệ logic cổ điển. Các phép tốn cơ sở là ⊃, ¬, & và ∨.
Với mọi công thức A, B, C, những công thức sau đây là tiên đề: (C1) A ⊃ (B ⊃ A); (C2) (A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C)); (C3) (A & B) ⊃ A (C4) (A & B) ⊃ B; (C5) A ⊃ (B ⊃ (A & B) ); (C6) A ⊃ (A ∨ B); (C7) B ⊃ (A ∨ B); (C8) (A ⊃ C) ⊃ ((B ⊃ C) ⊃ ((A ∨ B) ⊃ C )); (C9) (A ⊃ B) ⊃ ((A ⊃ ¬B) ⊃ ¬A); (C10) ¬¬A ⊃ A
Quy tắc B A B A MP ⊃ ,
So sánh hai hệ S và CL ta thấy rằng tất cả các tiên đề và quy tắc của S đều là các tiên đề và quy tắc của hệ CL. Như vậy, S là hệ con của CL. Nhưng mặt khác, sử dụng các định nghĩa & và ∨ nhờ ⊃ và ¬ ta cũng dễ dàng chứng minh được rằng tất cả các tiên đề của CL là tiên đề hoặc định lý của hệ S. Như vậy S và CL là tương đương.
Ví dụ chứng minh trong hệ CL định lý (p & (q ∨ r)) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))
Vì S là hệ con của CL nên siêu định lý 1 và hệ quả 1 của nó cũng đúng đối với CL. Chúng ta dùng các khẳng định đó để chứng minh định lý đã nêu.
1. p & (q ∨ r) giả thiết 2. (p & (q ∨ r)) ⊃ p tiên đề C3 3. (p & (q ∨ r)) ⊃ (q ∨ r) tiên đề C4 4. p 1, 2, MP 5. q ∨ r 1, 3, MP 6. p ⊃ (q ⊃ (p & q)) tiên đề C5 7. p ⊃ (r ⊃ (p & r)) tiên đề C5 8. (q ⊃ (p & q)) 4, 6, MP 9. (r ⊃ (p & r)) 4, 7, MP 10. (p & q) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) tiên đề C6 11. (p & r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) tiên đề C7
12. (q ⊃ (p & q)) ⊃ (((p & q) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ (q ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)))) hệ quả 1 của định lý suy diễn 13. (r ⊃ (p & r)) ⊃ (((p & r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ (r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))))
hệ quả 1 của định lý suy diễn 14. ((p & q) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ (q ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)))
8, 12, MP 15. q ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) 10, 14, MP 15. q ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) 10, 14, MP 16. ((p & r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ (r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)))
9, 13, MP 17. r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) 11, 15, MP 17. r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) 11, 15, MP
18. (q ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ ((r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ ((q ∨ r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)))) tiên đề C8
19. (r ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) ⊃ ((q ∨ r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r))) 15, 18, MP 20. (q ∨ r) ⊃ ((p & q) ∨ (p & r)) 17, 19, MP
21. (p & q) ∨ (p & r) 5, 20, MP
Như vậy : (p & (q ∨ r)) (p & q) ∨ (p & r). Từ đây, theo định lý suy diễn, ta được điều phải chứng minh (p & (q ∨ r)) ⊃((p & q) ∨ (p & r)).