I. Ngôn ngữ logic vị từ
7. Biến tự do và biến buộc
Trong biểu thức ∀x A(x), A(x) gọi là vùng tác động của của lượng từ ∀x. Nếu biến x xuất hiện trong một vùng tác động của lượng từ ∀x (trong một cơng thức lượng từ ∀x có thể xuất hiện nhiều lần, và vì thế có thể có nhiều vùng tác động khác nhau của ∀x
trong một cơng thức) thì lần xuất hiện đó của x được gọi là xuất hiện khơng tự do (cịn gọi là buộc). Ngược lại thì gọi là xuất hiện tự do. Một biến có thể xuất hiện tự do trong cơng thức, có thể xuất hiện khơng tự do trong cơng thức, và có thể vừa xuất hiện tự do, vừa xuất hiện không tự do trong cùng một công thức.
Với lượng từ ∃x (tồn tại) cũng hoàn toàn tương tự. Chính xác hơn, nếu ở
những điều vừa nói trên đây về sự xuất hiện tự do và buộc của biến trong công thức mà ta thay lượng từ ∀x (với mọi x) bằng lượng từ ∃x (tồn tại), thì những điều đó vẫn
đúng.
Ví dụ về sự xuất hiện tự do và xuất hiện buộc của biến. Trong công thức
∀x (Ρ(x) ⊃ Ρ(y)) & Ρ(a)
xuất hiện của biến x là buộc, cịn biến y xuất hiện tự do. Trong cơng thức
∀x (Ρ(x, y) ⊃ ∃y (Q(y, x)))
cả hai lần xuất hiện của x đều là xuất hiện buộc, biến y vừa xuất hiện tự do (lần đầu), vừa xuất hiện buộc (lần sau), vì lần xuất hiện đầu của biến y nằm ngoài miền tác động của các lượng từ ∀y và ∃y, còn lần xuất hiện thứ hai, vì nằm trong vùng tác động của lượng từ ∃y nên là xuất hiện buộc.
Biến x tự do trong cơng thức nếu nó có xuất hiện tự do trong cơng thức. Nếu x khơng có xuất hiện tự do trong công thức, nghĩa là mọi xuất hiện của nó trong cơng thức đều là xuất hiện buộc thì x là biến buộc trong cơng thức đó.
Ví dụ, biến x tự do và biến y là biến buộc trong công thức sau đây : ∀y(P(x, y) ⊃ ∃xQ(y,x))
Giả sử x1, x2, …, xk là các biến, A – là công thức. Không quan tâm đến việc trong công thức A các biến đó tự do hay là biến buộc và ngồi ra có cịn các biến tự do khác hay khơng, ta ký hiệu công thức A bằng A(x1, x2, …, xk) để sau đó có thể ký hiệu kết quả phép thế các hạn từ t1, t2, …, tk tương ứng vào các chỗ xuất hiện tự do (nếu có) của các biến x1, x2, …, xk là A(t1, t2, …, tk).
Hạn từ t gọi là tự do đối với biến x trong công thức A, nếu như không một lần xuất
hiện tự do nào của biến x trong A nằm vào vùng tác động của lượng từ ∀y , ∃y với y là biến có trong t.
Ví dụ.
• Hạn từ x1 tự do đối với x2 trong cơng thức A(x2), vì trong cơng thức này xuất hiện tự do duy nhất của x2 không nằm trong miền tác động của bất kỳ lượng từ nào của biến x1- biến duy nhất trong hạn từ x1.
• Hạn từ f(x1, x3) tự do đối với x1 trong công thức ∀x3 ∃x1 (A1(x2, x3) & A3(x1, x2), vì trong cơng thức này khơng có xuất hiện tự do nào của biến x1.
• Hạn từ f(x1, x3) không tự do đối với x1 trong công thức ∃x3 (A1(x1, x3) ⊃ A2(x2, x3))