II. Diễn giải (Interpretation) Mơ hình (Model)
3. Mơ hình (model) Quy luật logic
Mơ hình của một cơng thức là diễn giải trong đó cơng thức ấy đúng. Diễn giải U trong
ví dụ 3 trên đây là mơ hình của cơng thức R(x, f(x)) . Diễn giải I trong ví dụ 2 trên đây khơng phải là mơ hình của cơng thức ∀xR(a,x).
Khơng phải cơng thức nào cũng có mơ hình. Trái lại, có những cơng thức mà diễn giải nào cũng là mơ hình của chúng.
Cơng thức được gọi là hằng đúng (hay quy luật logic) nếu nó đúng trong mọi diễn
giải, và được gọi là hằng sai (hay mâu thuẫn logic) nếu nó khơng đúng trong bất cứ một diễn giải nào. Như vậy công thức là hằng đúng nếu như mọi diễn giải đều là mơ hình của nó; và cơng thức là hằng sai, nếu nó khơng có mơ hình nào. Cơng thức hằng
đúng A được ký hiệu là |= A. Công thức đúng trong một số diễn giải, sai trong một số
diễn giải khác gọi là công thức trung hòa.
Dễ dàng chứng minh được những khẳng định sau đây : (1) |= A khi và chỉ khi |= ∀x A .
(2) |= (A ∨ ¬ A).
(3) Cơng thức A & ¬ A là mâu thuẫn logic. (4) |= (∀xA ⊃ A)
(5) |= (A ⊃ ∃xA) (6) |=∃xA ≡ ¬ (∀x¬ A) (7) |=∀xA ≡ ¬ (∃x¬ A) Chứng minh khẳng định (1).
Từ trái qua phải. Giả sử |= A, nghĩa là I(A) = T với mọi diễn giải I. Giả sử ∀x A không phải là công thức hằng đúng. Khi đó có diễn giải, tạm gọi là J, sao cho J(∀xA)
= F. Điều này có nghĩa là có diễn giải Jx/ d sao cho Jx/ d(A) = F. Nhưng điều này mâu
thuẫn với điều giả sử ban đầu. Vậy, với mọi diễn giải J ta có J(∀xA) = T, nghĩa là |=∀xA.
Chiều ngược lại. Giả sử |=∀xA, nghĩa là I(∀xA) = T với diễn giải I tùy ý. Giả sử
variable assignment của I là νI, và νI(x) = a. Khi đó I = Ix/ a. Nhưng I(∀xA) = T lại có nghĩa là Ix/d(A) = T với mọi d ∈ DI, từ đây Ix/a(A) = T = I(A). A đúng trong diễn giải I bất kỳ, vậy |= A. Chứng minh xong.
Chứng minh khẳng định (2) :
Với diễn giải I tùy ý A đúng trong I hoặc A sai trong I. Nếu A đúng trong I thì theo định nghĩa diễn giải, A ∨ ¬A đúng trong I. Ngược lại, nếu A sai trong I thì theo định nghĩa diễn giải, ¬A đúng trong I, vì thế A ∨ ¬A cũng đúng trong I. Như thế A ∨ ¬A
ln ln đúng trong I. Vậy, A ∨ ¬A là công thức hằng đúng. Chứng minh khẳng định (6) :
Ta cần chỉ ra rằng với mọi diễn giải I, nếu ∃xA đúng trong I thì ¬∀x¬A đúng trong I, và ngược lại, nếu ¬∀x¬A đúng trong I thì ∃xA đúng trong I.
Lấy diễn giải I tùy ý. Nếu ∃xA đúng trong I thì, theo định nghĩa, ta có ít nhất một phần tử d thuộc miền diễn giải D của I sao cho A đúng trong Ix/d. Từ đây, ¬A sai trong Ix/d. Vì thế ∀x¬A sai trong Ix/d. Vậy, theo định nghĩa, ¬∀x¬A đúng trong I.
Ngược lại, Nếu ¬∀x¬A đúng trong I thì ∀x¬A sai trong I. Nói cách khác, tồn tại phần tử c thuộc miền diễn giải D của I sao cho ¬A sai trong Ix/c. Vì ¬A sai trong Ix/c nên A
đúng trong Ix/c. Vậy, theo định nghĩa, ∃xA đúng trong I.
Các khẳng định còn lại bạn đọc hãy tự chứng minh.
Để chứng tỏ rằng công thức là một quy luật logic, cần phải chỉ ra rằng nó đúng trong
mọi diễn giải. Kiểm tra tính đúng sai của cơng thức trong mọi diễn giải là một việc nói chung rất khó khăn, vì có những diễn giải có miền diễn giải là tập hợp vô tận hoặc tập hợp gồm rất nhiều phần tử. Nhưng để chứng tỏ rằng một công thức không phải là quy luật logic thì chỉ cần đưa ra một diễn giải trong đó nó sai. Người ta thường sử
dụng điều này để chứng tỏ công thức không phải là quy luật logic, đó chính là phương pháp dùng phản ví dụ.
Cơng thức A kéo theo cơng thức B (hay cịn nói là B là hệ quả logic của A) nếu trong mọi diễn giải mà A đúng thì B cũng đúng. Tổng qt hơn, cơng thức B là hệ quả của tập hợp công thức Γ (ký hiệu Γ |= B ), nếu như B đúng trong mỗi diễn giải mà tất cả các công thức từ tập Γ đúng.