V. Hệ suy luận tự nhiên của logic vị từ
2. Quy trình INSEADOR
Định lý 4.1 Một công thức bất kỳ của logic vị từ tương đương với một tập hợp các công thức
dạng tuyển.
Chúng ta chứng minh được điều đó bằng cách sử dụng một quy trình đưa bất cứ công thức nào của logic vị từ về dạng tuyển. Đó là quy trình INSEADOR, với các bước giữ ngun tính đúng của cơng thức: với A là một công thức, A* là kết quả áp dụng một bước bất kỳ của quy trình INSEADOR vào A, Khi đó |= A khi và chỉ khi |= A*. Đây là quy trình mở rộng của quy trình INDO mà ta đã gặp ở phần logic mệnh đề.
Các bước như sau:
I - Loại bỏ dấu kéo theo và tương đương (Implication Out) A ⊃ B ⇒ ¬ A ∨ B
A ≡ B ⇒ (¬ A ∨ B) & (¬ B ∨ A)
N - Đưa dấu ¬ vào đứng trước công thức nguyên tử (Negation In) ¬¬ A ⇒ A
¬(A ∨ B) ⇒ ¬ A & ¬ B ¬(A & B) ⇒ ¬ A ∨ ¬ B ¬∀xA(x) ⇒ ∃x¬A(x) ¬∃xA(x) ⇒ ∀x¬A(x)
S - Chuẩn hoá (Standardization). Ở bước này ta đổi tên các biến buộc sao cho trong công thức cùng một biến không vừa buộc vừa tự do và lượng từ theo một biến bất kỳ không nằm trong miền tác động của một lượng từ khác với cùng biến đó. Chẳng hạn, trong công thức ∀x(P(x) & Q(a)) ⊃ Q(x) biến x vừa buộc vừa tự do, khi đó ta đổi tên biến buộc thành biến y, và được
công thức mới ∀y(P(y) & Q(a)) ⊃ Q(x); trong công thức ∀x(P(x) ⊃ ∃xQ(x,a)) ta thấy lượng từ
∃x nằm trong miền tác động của lượng từ ∀x, vậy ta đổi thành ∀x(P(x) ⊃ ∃yQ(y,a)).
E - Loại bỏ lượng từ tồn tại (Exist Out)
Ta có hai trường hợp loại bỏ lượng từ tồn tại. Nếu lượng từ ∃x không nằm trong miền tác động của bất cứ lượng từ tồn thể nào thì ta bỏ lượng từ ∃x đi và thay tất cả các xuất hiện của x trong miền tác động của lượng từ này bằng một hằng đối tượng chưa có trong cơng thức. Hằng đối tượng như vậy gọi là hằng scolem. Chẳng hạn : ∃xP(x,a) được biến đổi thành P(b,a), với b là hằng scolem.
Nếu lượng từ ∃x nằm trong miền tác động của lượng từ ∀y thì bỏ ∃x và thay hạn từ f(y) vào chỗ của x trong miền tác động của lượng từ ∃x nêu trên. Nếu lượng từ ∃x nằm trong miền tác động của nhiều lượng từ toàn thể ∀x1, ∀x2, …, ∀xk thì bỏ ∃x và thay hạn từ f(x1, x2, …, xk) vào vị trí của các biến x trong miền tác động của ∃x. Ở đây f là một ký tự hàm đối tượng mới, chưa có trong cơng thức. Hàm được tạo theo cách này gọi là hàm scolem. Ví dụ : ∀x(P(x) ⊃ ∀z∃yQ(x,y,z)) biến đổi thành ∀x(P(x) ⊃ ∀zQ(x,f(x,z),z)).
D – Đưa dấu tuyển vào đứng trứớc các literal (Disjunction In ) A ∨ (B & C) ⇒ (A ∨ B) & (A ∨ C)
(B & C) ∨ A ⇒ (A ∨ B) & (A ∨ C) A ∨ (B ∨ C) ⇔ (A ∨ B) ∨ C A & (B & C) ⇔ (A & B) & C
Hai dòng cuối của bước D trên đây nói rằng nếu trong cơng thức chỉ có các dấu tuyển hoặc chỉ có các dấu hội thì khơng cần sử dụng đến dấu ngoặc đơn.
O – Operator Out (Loại bỏ các dấu & và ∨) A & B ⇒ A,
B A ∨ B ⇒ {A, B}
R – Rename (Đổi tên biến). Ở bước này ta đổi tên các biến tự do sao cho các tập hợp khác nhau (tức là các công thức dạng tuyển khác nhau) có các tên biến riêng của mình, khơng trùng lặp với các tên biến đã có trong các tập hợp khác.
Ví dụ, đưa cơng thức ∀x((P(x) ∨ Q(a,x))⊃ ∃yQ(x,y)) về dạng tuyển ∀x((P(x) ∨ Q(a,x)) ⊃ ∃yQ(x,y))
I: ∀x(¬(P(x) ∨ Q(a,x)) ∨ ∃yQ(x,y)) N: ∀x((¬P(x) & ¬Q(a,x)) ∨ ∃yQ(x,y)) S: ∀x((¬P(x) & ¬Q(a,x)) ∨ ∃yQ(x,y)) E: ∀x((¬P(x) & ¬Q(a,x)) ∨ Q(x,f(x))) A: (¬P(x) & ¬Q(a,x)) ∨ Q(x,f(x)) D: (¬P(x) ∨ Q(x,f(x))) & (¬Q(a,x) ∨ Q(x,f(x))) O: ¬P(x) ∨ Q(x,f(x)), ¬Q(a,x) ∨ Q(x,f(x)) {¬P(x), Q(x,f(x))}, {¬ Q(a,x), Q(x,f(x))} R: {¬P(x), Q(x,f(x))}, {¬Q(a,y), Q(y,f(y))}. II. Phép thế
1. Định nghĩa
Phép thế là một ánh xạ hữu hạn từ một tập các biến đối tượng đến một tập hạn từ. Chúng ta ghi
phép thế dưới dạng {x1← t1, x2 ← t2, …, xn ← tn} , hoặc {x1 / t1, x2 / t2, …, xn / tn}, trong đó xi là biến đối tượng, ti là hạn từ, với i = 1, 2, …, n. Ví dụ, {x←a, y←b}, {x←a, y←x, z←f(a,x)} là các phép thế. Với phép thế γ = {x1← t1, x2 ← t2, …, xn ← tn} ta gọi tập hợp {x1, x2 , …, xn { là
miền xác định (domain) của γ và {t1, t2, …, tn} là miền giá trị (range) của γ, các hạn từ t1, t2, …,
tn gọi là các phần tử thế của γ. Nếu các phần tử thế của phép thế γ đều là biến đối tượng thì γ
được gọi là phép đổi tên biến, hay ngắn gọn hơn, là phép đổi biến. Ví dụ, τ = {x←y,y←z} là
một phép đổi biến.