Thực chất của phương pháp hợp giải là chứng minh bằng phản chứng. Để chứng minh rằng từ một tập tiền đề {A1, A2, … , An} cho trước có thể rút ra kết luận B, ta thêm ¬B vào tập tiền đề này, được tập mới {A1, A2, … , An, ¬B}. Khi đó nếu trong tập mới nhận được có mâu thuẫn thì phép chứng minh đã hồn tất. Nếu tập mới khơng có mâu thuẫn thì khơng thể rút ra được ¬B từ {A1, A2, … , An}. Phương pháp hợp giải áp dụng quy tắc hợp giải để xác định xem tập cơng thức có mâu thuẫn hay không.
Để xác định xem tập công thức cho trước {A1, A2, … , An, ¬B} có mâu thuẫn khơng, ta áp dụng quy tắc hợp giải cho các cặp công thức của tập này. Các resolvent nhận được sẽ được thêm vào tập công thức, nếu chúng chưa có trong tập cơng thức đó. Q trình này được tiếp tục cho đến khi xảy ra một trong các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Trong tập công thức xuất hiện resolvent rỗng . Kết luận: Tập cơng thức đã
xét có mâu thuẫn. Nghĩa là có thể rút ra B từ tập cơng thức {A1, A2, … , An}.
Trường hợp 2: Không thể áp dụng quy tắc hợp giải cho bất kỳ cặp công thức nào nữa. Kết luận: Tập công thức đã xét khơng có mâu thuẫn. Nghĩa là khơng thể rút ra B từ tập công thức {A1, A2, … , An}.
Trường hợp 3: Việc áp dụng quy tắc hợp giải không làm thay đổi tập công thức nữa. Kết luận:
Tập cơng thức đã xét khơng có mâu thuẫn. Nghĩa là không thể rút ra B từ tập cơng thức {A1, A2, … , An}.
Ví dụ 1. Xét xem từ tập tiền đề {p ∨ q, ¬p ∨ r, s, ¬ q v r} có thể rút ra kết luận r không? Giải: Thêm ¬ r vào tập tiền đề. Sau đó áp dụng quy tắc hợp giải, ta được:
Đến đây ta thấy có thể áp dụng tiếp các quy tắc hợp giải cho một số cặp công thức, tuy nhiên các resolvent nhận được khơng mới, đã có sẵn trong tập công thức trên đây. Như vậy, tập công thức này khơng có mâu thuẫn, nghĩa là khơng thể rút ra r từ tập tiền đề {¬p ∨ r ∨ s, ¬ q ∨ r, p}.
Ví dụ 3. Xét xem từ tập tiền đề {¬ p ∨ ¬ s, ¬ q ∨ r} có thể rút ra kết luận s khơng?
Giải: Thêm ¬ s vào tập tiền đề đã cho, ta được tập {¬ p ∨ ¬ s, ¬ q ∨ r, ¬ s}. Khơng thể áp
dụng các quy tắc hợp giải vào các cặp công thức trong tập này. Vậy tập công thức này không mâu thuẫn, không thể rút ra s từ tập {¬p ∨ ¬ s, ¬ q ∨ r, }.