II. Diễn giải (Interpretation) Mơ hình (Model)
2. Giá trị chân lý của công thức trong diễn giả
Trên cơ sở diễn giải I = < D, Π, Φ, Ψ, ν> có thể xác định một hàm I đặt tương ứng cho mỗi công thức A một giá trị chân lý I(A) và đặt tương ứng với mỗi hạn từ t một phần tử I(t) của miền D như sau.
• Nếu x là biến thì I(x) = ν(x).
• Nếu a là một hằng đối tượng thì I(a) = Φ(a).
• Nếu f là ký tự hàm đối tượng k ngôi, t1, t2, …, tk là các hạn từ thì • I(f(t1, t2, …, tk) i2Ψ (f)(I(t1), I(t2), …, I(tk)).
• Nếu P là ký tự vị từ n ngơi, t1, t2, …, tn là các hạn từ thì I(P(t1, t2, …, tn)) đúng (ký hiệu I(P(t1, t2, …, tn)) = T) khi và chỉ khi bộ <I(t1), I(t2), …, I(tn)> là một phần tử của tập hợp Π(P); và I(P(t1, t2, …, tn)) sai khi và chỉ khi bộ <I(t1), I(t2), …, I(tn)> không phải là một phần tử của tập hợp Π(P).
• Nếu A và B là các cơng thức thì : ắ I(ơA) ỳng khi v ch khi I(A) sai.
¾ I(A&B) đúng khi và chỉ khi I(A) và I(B) cùng đúng.
¾ I(A∨B) đúng khi và chỉ khi I(A) đúng hay I(B) đúng.
¾ I(A⊃B) đúng khi và chỉ khi I(A) sai hay I(B) đúng.
¾ I(A≡B) đúng khi và chỉ khi cả I(A) và I(B) cùng đúng hoặc cả I(A) và I(B) cùng
sai.
Các lượng từ ∀ và ∃ được diễn giải như cách hiểu thơng thường. Điều đó được biểu
đạt chặt chẽ như sau. Để xác định I cho các công thức chứa lượng từ chúng ta sử dụng
thêm một khái niệm mới. Nếu I là một diễn giải, I = < DI, ΠI, ΦI, ΨI, νI> , d là một phần tử của DI, còn x là một biến đối tượng, khi đó Ix/d là ký hiệu cho diễn giải mới J, trong đó x đã dược gán giá trị mới là d, còn các biến đối tượng khác vẫn được gán giá trị như trước. Cụ thể là J = < DJ, ΠJ, ΦJ, Ψj, νJ>, trong đó DJ = DI, ΠJ = ΠI, ΦJ = ΦI, Ψj = ΨI, νJ (x) = d, νJ (y) =νJ (y) vơi mọi biến tự do y khác x. Như vậy J là một diễn giải giống như I ở mọi điểm, ngoại trừ (có thể) cách gán giá trị cho biến x : J gán cho