Nếu chúng ta xem xét các chất khuếch tán và phản ứng một cách đơn lẻ (ví dụ như tiền tố cặn có khối lượng phân tử cao được tạo ra bởi q trình oxi hóa từng phần của nhiên liệu chưa cháy) trong lớp lửa bị dập tắt gần với vách lạnh của động cơ nơi mà có thể xảy ra ngưng tụ và bay hơi, các q trình đó có thể được mơ tả gần đúng bằng phương trình (giả định sự đối lưu là khơng đáng kể)[14]:
𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑡 = 𝐷𝑖
𝜕2𝑃𝑖
𝜕𝑥2 − 𝑘𝑟,𝑖(𝑥, 𝑡)𝑃𝑖+ 𝑘𝑓,𝑖(𝑥, 𝑡) (2.27) Trong đó Pi là áp suất riêng phần của chất i, Di là hệ số khuếch tán của chất i vào trong hỗn hợp xung quanh (ở đây được giả định là độc lập với vị trí), kf, kr là các hằng số tỉ lệ để hình thành và loại bỏ một chất, chúng có thể phụ thuộc vào vị trí và thời gian và x là tọa độ khơng gian vng góc với bề mặt vách buồng cháy (hệ thống được giả định là 1 chiều như Hình 2.5). Các điều kiện biên phù hợp cho phương trình này là tất cả các gradient tiến về không ở khoảng cách lớn so với vách (nghĩa là các khí cháy ở trung tâm), cùng với điều kiện biên là dịng chất lỏng ngưng tụ hoặc hóa hơi tại vách buồng cháy, sử dụng mối quan hệ Clasius-Clapeyron đối với áp suất hóa hơi của chất tại nhiệt độ T: 𝐷𝑖𝜕𝑃𝑖 𝜕𝑥 = 𝑘𝑐(𝑃𝑣,𝑖(𝑇) − 𝑃𝑖) = 𝑘𝑐(𝑃𝑣,𝑖(𝑇)𝑒 −∆𝐻𝑣 𝑅 ( 1 𝑇− 1 𝑇0) − 𝑃𝑖) (2.28)
Trong đó kc là hằng số tỉ lệ của sự ngưng tụ hoặc hóa hơi, Pv,i(To) là áp suất hơi của chất i tại nhiệt độ To, ∆𝐻𝑣/𝑅 là nhiệt hóa hơi của chất theo nhiệt độ Kelvin (cũng
tại To) và T là nhiệt độ của vách. Các phương trình cần bổ sung các phản ứng trong lớp cặn và cơ chế loại bỏ cặn hơn là ngoại trừ sự hóa hơi.
Việc khơng thứ ngun hóa của các phương trình trên, sử dụng bề rộng của lớp ngọn lửa tắt như chiều dài đặc trưng và thời gian khuếch tán qua lớp lửa tắt, L2/Di, như là thời gian đặc trưng, dẫn tới phương trình dưới đây trong chiều dài không thứ nguyên 𝜁, thời gian 𝜏 và nồng độ của chất 𝜃:
𝜕𝜃 𝜕𝜏 = 𝜕2𝜃 𝜕𝜉2 − 𝐷𝑎𝑟𝜃 + 𝐷𝑎𝑓 (2.29) 𝜕𝜃 𝜕𝜉 = 𝐵𝑖 (𝑒 −∆𝐻𝑣 𝑅 ( 1 𝑇− 1 𝑇0) − 𝜃) (2.30)
Có hai loại khơng thứ ngun trong phương trình trên là số Damkohler, Dar = kr,iL2/Di và Daf = kf,iL2/Di là tỉ số của tốc độ phản ứng với tốc độ khuếch tán; số Biot, Bi = kcL/Di là tỉ số của khối lượng chuyển đổi bởi sự ngưng tụ và hóa hơi với khối lượng chuyển đổi bởi sự khuếch tán tại vách. Độ lớn của hai số này được sẽ xác định quy trình chiếm ưu thế trong sự hình thành cặn; ví dụ, nếu Daf, Dai và Bi rất lớn so với thành phần khác (như là sự khuếch tán chậm hơn phản ứng trong lớp ngọn lửa tắt và sự ngưng tụ hoặc hóa hơi nhanh hơn sự khuếch tán tại vách), tốc độ hình thành cặn sẽ được xác định bởi thời gian cần thiết để các chất khuếch tán vào vách, trong khi đó số Bi là nhỏ, sự hình thành cặn sẽ bị giới hạn bởi tốc độ ngưng tụ tại vách. Biết được một trong những số đặc trưng này là lớn hoặc nhỏ sẽ cho phép phân tích đơn giản sự hình thành cặn bằng cách chỉ ra một hoặc nhiều q trình liên quan có ảnh hưởng khơng đáng kể. Sử dụng các giá trị tiêu biểu cho nhiên liệu hydrocacbon trong lớp ngọn lửa tắt của động cơ L = 1mm, Di = 1 - 2 cm2 / s, và ki = 10-1000 s-1 (đại diện cho tỷ lệ oxy hố từng phần), chúng ta có thể xác định một phạm vi có thể cho số Damkohler là 0,05 <Da <10, điều đó cho thấy phản ứng và các quá trình khuếch tán được cân bằng chặt chẽ trong điều kiện động cơ.
2.1.4.2. Giả thuyết thứ hai a, Cơ chế tạo cặn lắng
Quá trình hình thành cặn lắng như thế nào và những thông số nào ảnh hưởng đến cơ chế hình thành cặn lắng trong buồng cháy là những vấn đề đặt ra đầu tiên khi nghiên cứu cơ chế hình thành cặn lắng. Hơn nữa, khi các cơ chế cơ bản của quá trình tạo cặn trong buồng cháy của động cơ được hiểu rõ sẽ giúp cải thiện độ bền của động cơ.
Lepperhoff và cộng sự [17] đã đề xuất các cơ chế tạo cặn lắng trong buồng cháy động cơ bao gồm các cơ chế hình thành và loại bỏ như được minh họa trong Hình 2.7 (A) và Hình 2.7 (B).
(A) Cơ chế hình thành cặn lắng
(B) Cơ chế loại bỏ cặn lắng