Tiêu chuẩn Kelly

I. Quản lý danhmục đầu t

1- Tiêu chuẩn Kelly

Giả sử ta tham gia một trò đánh bạc với số tiền có trong tay là 1000$. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ lợi suất của một khoản tiền đặt cợc, X có trung bình  và phơng sai 2.

Tỷ lệ (của 1000$) tiền đặt cợc trong lần chơi thứ nhất là f thì:

Sau lần thứ nhất khoản tiền là biến ngẫu nhiên: V1 =1000(1+fX1)

Tiếp tục lần hai với V1 và tỷ lệ f, kết quả là: V2 =1000(1 + fX1)(1+fX2)

tơng tự nh vậy sau M lần ta có: VM = . Chắc chắn là chúng ta muốn tối đa hố VM.

Ta có: lnVM =ln1000 + . Bỏ qua hằng số trong

biểu thức này ta tìm max . Vì Xi ngẫu nhiên chúng ta chỉ có thể tối đa hố trung bình lợi suất của M lần chơi. Tức là tối đa hoá =E[ln(1+fX)].

Khai triển Taylor hàm ln(1+fX) theo f tại 0 ta có: ln(1+fX) = 0 + Xf - f2X2/2 + ....

Với  đủ nhỏ và 2 lại khơng nhỏ (lãi trung bình thì nhỏ mà rủi ro lại lớn) ta có thể nhận đợc:

E[ln(1+fX)] f - f22/2.

đại là:

2/2- 2/22 = 2/22

Nếu  > 0 thì f > 0 ta kỳ vọng một khoản lời tối đa d- ơng, ngợc lại nếu  < 0 thì tốt nhất hãy tránh xa sòng bạc này nếu chúng ta khơng đủ cơ hội làm chủ chính nó vì khoản lời kỳ vọng tối đa vẫn âm đối với ngời chơi.

Việc tối đa hoá tăng trởng dài hạn và lựa chọn đầu t tối u nh vậy đợc gọi là tiêu chuẩn KELLY. Thí dụ trên đợc THORP đa ra năm 1962.

ý nghĩa của mơ hình dẫn đến tiêu chuẩn Kelly

Một trò cá cợc liên quan gì đến đầu t trên thị trờng chứng khoán?. Chúng ta thấy rằng nếu với 1000$ ban đầu và cả với các khoản Vi thì phần tỷ lệ (1-f) có thể đợc đảm bảo bằng cách nào?. Rõ ràng là phần thứ hai này ln có một địa chỉ đầu t đảm bảo lợi suất (dù thấp) đó là trái phiếu. Nếu lãi suất trái phiếu là RF cho một kỳ có thời gian nh một lần đặt cợc (hoặc M lần đặt cợc) thì chắc chắn là chúng ta phải so sánh phần này với khoản lời nhận đợc từ sòng bạc. Giả thiết phân phối chuẩn của X có thể quá chặt chẽ khi ta chỉ xét một cách đầu t (đánh bạc) nhng sẽ là cần thiết khi có cả một danh mục đầu t với nhiều tài phẩm khác nhau.