Năm 1969, nhà Thiên văn học người Đức Johannes Kepler (1571- 1630) đã đưa ra hai định luật đầu tiên mô tả chuyển động của các hành tinh. Hai định luật này được ơng tìm ra trong khi phân tích dữ liệu cịn bỏ dở của Tycho Brade.[24]
Kepler ban đầu điều tra quỹ đạo của Sao Hỏa vì đó là nhiệm vụ được giao bởi Tycho Brahe (1546-1601). Khi Kepler tham gia cùng anh ta ở khoảng năm 1600. Khi Brahe qua đời vào năm 1601 Kepler tiếp tục kế vị của Tycho. Kepler đã thử các thuyết Ptolemy, Copernicus đều không phù hợp. (Thuyết địa tâm của Ptolemy: Trái đất là trung tâm vũ trụ. Thuyết nhật tâm của Copernicus: Mặt trời là trung tâm vũ trụ hay các
hành tinh chuyển động quay quanh mặt trời). Đường cong mà ơng tính tốn khơng phù hợp với vị trí của Sao Hỏa mà Tycho đã từng quan sát. Vậy Kepler buộc phải tìm ra hướng đi mới táo bạo, về một số mặt bước đó cịn táo bạo hơn cả bước tiến của Copernicus. Ơng từ bỏ đường trịn (bản thân Tycho cũng thực sự ngạc nhiên vì sao chổi do ơng này quan sát lại chuyển động theo một quỹ đạo khơng phải là trịn). Kepler bắt đầu tìm kiếm một đường cong nào đó, khác đường trịn, giải thích các chuyển động của hành tinh một cách tốt hơn, ông thử dùng quỹ đạo hình trứng nhưng thấy khơng thích hợp. Tiếp theo ơng thử dùng Ellipse và thấy rằng Ellipse khít với mọi quỹ đạo. Mặt trời khơng nằm chính xác ở trung tâm quỹ đạo mà nằm nghiêng sang một bên, tại một trong hai điểm được gọi là tiêu điểm. Việc các hành tinh di chuyển trên các đường Ellipse được gọi là định luật đầu tiên của Kepler. Khi ông hiểu rằng các hành tinh di chuyển theo hình Ellipse, ơng xác định rằng một đường vơ hình nối giữa Mặt trời với một hành tinh có diện tích bằng nhau trong cùng một khoảng thời gian, đấy chính là định luật thứ hai. Định luật thứ ba của ông công nhận mối quan hệ giữa thời kỳ của hai hành tinh:
• Thời gian chúng quay quanh mặt trời
• Có liên quan đến khoảng cách của chúng với mặt trời. Cụ thể bình phương tỷ lệ thời gian của hai hành tinh bằng hình khối của của tỉ số bán kính của chúng.
Khoảng tám thập kỉ sau, Issac Newton đã tìm ra định luật vạn hấp dẫn. Định luật này là đầu tiên và cũng là một trong những khám phá khoa học quan trọng nhất trong toàn bộ lịch sử khoa học. Một sự hiểu biết sâu sắc về cách nó phát sinh tự nhiên từ phân tích tốn học cũng như tổng hợp các định luật thực nghiệm của Kepler và Galileo. Hai định luật đầu tiên của Kepler chính là hệ quả của định luật vạn vật hấp dẫn.
Một khái quát quan trọng của các phần hình nón được phát triển vào đầu thế kỉ XVII bởi Girard Desargurs và Blaise Pascal. Vì tất cả
các hình nón có nguồn gốc từ một hình nón trịn xuất hiện hình trịn khi nhìn từ đỉnh, họ đã quan niệm việc xử lý các phần hình nón như hình chiếu của một hình trịn. Từ quan niệm này, tất cả tính chất của hình nón có thể được suy ra Desargues có một tuyên bố đặc biệt để nổi tiếng dựa trên định lí tuyệt đẹp của ơng về sự xâm nhập của một hình tứ giác được miêu tả trong một hình nón, từ định lí này Pascal được cho là đã suy ra hơn 400 hệ quả, bao gồm hầu hết các hệ quả thu được từ các phép đo trước đó. Chủ đề này được thảo luận về mặt toán học trong bài viết Hình học Xạ ảnh. Trong khi Desargues và Pascal đang sáng lập hình học tổng hợp hiện đại, Renne Descartes đang phát triển đại số đại diện cho các mối quan hệ hình học. Chủ đề của hình học giải tích mà ơng ấy tạo ra cho phép ơng ta xem các hình nón là phương trình đại số bậc hai, hình dạng của hình phụ thuộc vào các hệ số. Các vấn đề được nghiên cứu bằng các phương tiện đại số thuần túy và các khái quát được phát hiện giúp nâng cao phương pháp lên vị trí quan trọng nhất.[23]
b. Tri thức khoa học
Trong hệ tọa độ Descartes, tất cả các đường Conic đều được biểu diễn dưới dạng phương trình bậc hai hai ẩn: [12]
Ax2 + Bxy +Cy2 +Dx+ Ey +F = 0, với các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0
Ta được:
• Elip nếu B2 − 4AC < 0 (trừ phi đường cơ-nic bị suy biến,ví dụ như x2 +y2 + 10 = 0);
Hình trịn nếu đồng thời A = C và B = 0; • Parabol nếu B2 −4AC = 0;
• Hyperbol nếu B2 −4AC > 0; Hình hyperbol vng nếu đồng thời A+C = 0,
Qua hệ trục tọa độ, các phương trình có thể viết dưới dạng đơn giản:
• Elip: x 2 a2 + y 2 b2 = 1;x 2 b2 + y 2 a2 = 1; • Parabol y2 = 4ax;x2 = 4ay • Hyperbol: x 2 a2 − y 2 b2 = 1;x 2 b2 − y 2 a2 = 1 • Hyperbol vng: xy = c2
Dạng đơn giản của các đường Conic được viết dưới dạng tham số:
• Đường trịn: (acosθ, asinθ) • Elip: (acosθ, bsinθ)
• Parabol: (at2,2at)
• Hyperbol: (asecθ, btanθ) hoặc ±acoshu, bsinhu) • Hyperbol vng: (ct,c
t)
c. Tri thức chương trình
Tri thức chương trình được lấy trong SGK hình học 10 và SGK hình học 10 (nâng cao) [6] [9]. • Elip – Phương trình chính tắc (E): x2 a2 + y 2 b2 = 1, (a > b); c2 = a2 −b2 – Tiêu điểm: F1(−c; 0), F2(c; 0) – Đỉnh trục lớn: A1(−a; 0), A2(a; 0) – Đỉnh trục bé: B1(0;−b), B2(0;b); Tâm sai: e = c a – Phương trình đường chuẩn: x = ±a
e
– Phương trình tiếp tuyến của Elip tại M(x0;y0) ∈ (E): x0x
a2 + y0y b2 = 1
– Điều kiện tiếp xúc của (E) và (δ):Ax+By+C = 0 là: A2a2+ B2b2 = C2 • Hyperbol – Phương trình chính tắc Hyperbol (H): x2 a2 − y 2 b2 = 1; c2 = a2 +b2 – Tiêu điểm: F1(−c; 0);F2(c; 0)
– Đỉnh: A1(−a; 0), A2(a; 0); Tâm sai: e = c a – Phương trình đường chuẩn: x = ±a
e – Phương trình đường tiệm cận: y = ±b
ax • Parabol
– Phương trình chính tắc của Parabol (P): y2 = 2px – Tiêu điểm: F(p
2; 0)
– Phương trình đường chuẩn: x = −p 2 – Phương trình tiếp tuyến với (P) tại
M(x0;y0) ∈ (P): y0y = p(x0 +x)
– Điều kiện tiếp xúc của (P) và (δ): Ax + By + C = 0 là 2AC = B2p
Nhận xét: Tri thức về ba đường conic đưa xuống chương trình phổ thơng được đơn giản hóa và chi tiết hóa để phù hợp với kiến thức, tư duy của học sinh.
d. Tri thức dạy học
Bài: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG ELIP
( Chương III. Bài 3 SGK hình học 10)
GV đặt cốc nước trên bàn và hỏi HS đường giao giữa mặt nước và thành cốc là hình gì?
Sau khi HS nhận ra đó là đường trịn, GV cầm nghiêng cốc nước và hỏi bây giờ có cịn là đường trịn hay khơng? nếu khơng thì là hình gì? HS nhận ra hình Elip.
GV: Hình elip do ai tìm ra? (bài tập đã giao về nhà từ tiết trước) GV yêu cầu HS tìm thêm những ví dụ khác cũng là hình Elip ngoài thực tế cuộc sống? ( bài tập đã giao về nhà từ tiết trước)
⇒ CHSP: GV giao nhiệm vụ giao về nhà có liên quan đến bài học sau nhằm u cầu HS tìm hiểu trước bài mới và có hứng thú với bài học mới hơn.
GV giới thiệu qua về nguồn gốc lịch sử của hình Elip: Hình Elip là một trong 3 đường Conic do ơng Apollonius tìm thấy từ mặt cắt hình nón (hình 1.7), sau đó được Kepler tìm ra Elip chính là quỹ đạo các hành tinh và đến thế kỉ XVII mới được phát triển đưa về phương trình đại số.
Hình 1.7. Elip là 1 mặt cắt của hình nón
⇒ CHSP: lấy hình ảnh thực tế dẫn dắt vào bài, vừa gây hứng thú, vừa cho HS thấy toán học gần gũi với thực tiễn.
GV giới thiệu thêm quỹ đạo các hành tinh quay quanh Mặt trời cũng là hình Elip, mà Mặt trời là một tiêu điểm, quỹ đạo này do ơng Kepler tìm ra.
⇒ CHSP: GV giới thiệu về quỹ đạo các hành tinh là kiến thức ngoài mơn tốn, giới thiệu lịch sử người tìm ra.