Viết thêm dx ở cuối tích phân để nói tích phân được lấy theo x chạy từ a đến b. Chữ d đặt trước x để chỉ "đi theo x"
- Tích phân là tổng
Làm sao để tính tích phân hình ?
Một cách tính là chia hình thành các hình con rất hẹp bằng cách chia đoạn thẳng [a, b] của biến x trên trục hồnh thành nhiều đoạn thẳng nhỏ. Mỗi hình hẹp như vậy sẽ có diện tích xấp xỉ bằng diện tích của một hình chữ nhật cùng đáy và chiều cao bằng chiều cao của một trong các điểm phía trên của hình hẹp này. Nếu chia thật nhỏ thì sai số sẽ rất nhỏ đến mức có thể bỏ qua được và ta có thể coi diện tích hình xấp xỉ bằng tổng diện tích các hình chữ nhật như vậy.
Phương pháp chia nhỏ để tính trên cho ta thấy có thể coi một tích phân như một tổng của rất nhiều số nhỏ cộng lại với nhau.
Một tích phân có thể coi là một tổng của các số hạng được chia nhỏ ra nên kí hiệu của tích phân do nhà tốn học Leibniz nghĩ ra, nó là chữ S kéo dài ra để chỉ 1 tổng. Mirella thực hành là ví dụ Z 1 0 x2dx - Tích phân là thể tích
Ngun tắc chung là cái gì có thể chia nhỏ thành nhiều phần cộng vào với nhau được thì có thể viết được như là một tích phân. Vì thể tích của một hình có thể chia nhỏ thành tổng thể tích của các hình con hợp lại nên thể tích cũng viết được dưới dạng tích phân.
Ví dụ áp dụng: Tính thể tích hình cầu với bán kính R nào đó. (Chứng minh V(R) = 4
3πR
3 )
Ví dụ 1.5 Cuộc đối thoại của Galileo nói về chuyển động nhanh dần đều với phu nhân Niccolini.
Ơng mời phu nhân quan sát quả bóng rơi từ cửa sổ xuống đất. Phu nhân nhận thấy nó rơi càng ngày càng nhanh. Ơng chỉ ra cho phu nhân nhận thấy sự thay đổi của tốc độ quả bóng: "Nếu phu nhân nhận xét đoạn đường quả bóng đi được trong những khoảng thời gian bằng nhau, thì sẽ thấy rằng tỷ số giữa chúng là một số lẻ: trong giây thứ hai quả bóng đi được một đoạn gấp 3 lần đoạn đi được trong giây thứ nhất, trong giây thứ 3 thì lại gấp 5 lần đoạn đi được trong giây thứ 2, trong giây thứ 4 gấp 7 lần đoạn đi được trong giây thứ 3,.. Nói nột cách khác, tốc độ rơi của vật tăng một cách đều đặn. Đó chính là chuyển động nhanh dần đều." [16]
b. Phạm vi
Bên cạnh tốn học, nghiên cứu quy trình chuyển đổi sư phạm được thực hiện ở nhiều lĩnh vực giáo dục khác nhau, như khoa học tự nhiên, triết học, âm nhạc, ngoại ngữ, công nghệ và giáo dục thể chất. Những cuộc điều tra lan rộng nhanh hơn bằng tiếng Pháp và cộng đồng tiếng Tây Ban Nha hơn là những người nói tiếng Anh, mặc dù một số nhân vật nổi bật sớm cống hiến để phát triển sự phân tích chuyển đổi lần đầu tiên. Khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm là tổng quát hóa để chuyển đổi thể chế khi tri thức được chuyển đổi từ một tổ chức xã hội sang dạng khác. Bởi vì nhu cầu của xã hội, tri thức cơ bản được hình thành và phát triển trong các lĩnh vực khác hoặc tổ chức của xã hội cần để sống trong các tổ chức khác nơi mà họ được chuyển đổi. Chúng được biến đổi, phá hủy, và xây dựng lại để thích nghi với những quy định của thể chế mới. Ví dụ, mơn tốn được sử dụng bởi nhà kinh tế, nhà địa lí, hoặc nhạc sĩ cần được tích hợp trong các hoạt động khác thường bị bỏ qua bởi các nhà toán học người tạo ra chúng. Rõ ràng từ lịch sử khoa học rằng sự
chuyển đổi thể chế. Một số công việc chuyển đổi cải thiện tổ chức của tri thức và làm cho nó dễ hiểu hơn, có cấu trúc và chính xác đến mức tri thức khoa học được tự chuyển đổi tốt hơn. Việc tổ chức thông tin trong các lĩnh vực và mơn học như nó tồn tại hơm nay là thành quả của các quá trình tương tác lịch sử phức tạp và thay đổi thể chế và sự chuyển đổi sư phạm chưa được biết đến.
c. Một công cụ giải phóng
Trong một lĩnh vực nghiên cứu, khái niệm mới khơng những được giới thiệu để mơ tả thực tế mà cịn cung cấp những cách đặt câu hỏi mới và khả năng mới để sửa đổi nó. Khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm được hình thành trước hết như là một công cụ để tránh sự tự đánh giá cao hiện tượng giáo dục, và nhiều hơn thế nữa, bản chất của tri thức phức tạp, đó là, để giải phóng nghiên cứu từ quan điểm của người học và cơ sở giảng dạy về kiến thức khó hiểu trong quy trình giáo dục. Bất kì lĩnh vực giảng dạy hay mơn học nào đều là sản phẩm của một quá trình phức tạp, sự đặc biệt trong đó khơng bao giờ bị đánh giá thấp. Xem xét tri thức khoa học như là một phần của đối tượng nghiên cứu chuyển hóa sư phạm là một phần của phong trào giải phóng. Mặc dù giảng dạy ở trường phải được hợp pháp hóa bởi các thực thể bên ngoài đảm bảo sự liên tục điều này đảm bảo sự nhận thức của tri thức được giảng dạy, các nhà nghiên cứu không phải xem xét những quan điểm thể chế như quan điểm đúng hay quan điểm sai; chúng cần được biết đến và tích hợp trong phân tích hiện tượng giáo dục.
d. Mở rộng đối tượng nghiên cứu
Kết quả nghiên cứu lần thứ hai của sự tách rời quá trình giới thiệu bằng khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm là sự tiến triển của đối tượng nghiên cứu sư phạm cũng như nghiên cứu môn học. Bên cạnh việc nghiên cứu quá trình học tập của học sinh và cách để cải thiện chúng thông qua chiến lược dạy học mới, khái niệm của sự chuyển đổi sư phạm tại đối tượng của việc dạy và tự học, chủ đề, cũng như những cách sống khác nhau – sự đa dạng sinh thái học của nó – trong các tổ chức liên quan của q trình chuyển đổi.
Chúng ta hãy lấy ví dụ về các số âm. Lưu ý quá trình chuyển đổi, vấn đề đầu tiên để xem xét những kiến thức được dạy là gì (hoạt động cụ thể nào được đề xuất tới sinh viên, tổ chức của họ, lĩnh vực hay khối nội dung thuộc về họ, v.v. . . ) và cách hướng dẫn chính thức và các bài thuyết trình về hiện tại và chứng minh những lựa chọn đó (kiến thức để dạy). Ngày nay, hầu hết các trường học, số âm chính thức liên quan đến số lượng của đo lường với hướng ngược lại và được giới thiệu trong bối cảnh tình huống thực tế. Tổ chức trường học này đến từ đâu? Kết quả của nó từ các học giả khác nhau (tốn học mới) hay sức ép xã hội (trở lại căn bản), được đào tạo bởi noophere, điều này khơng được trình bày ở đây nhưng điều đó phân loại thực hành tốn học học sinh của chúng ta học (hay không học) về kiến thưc cơ bản này. Nếu chúng ta nhìn vào tri thức khoa học, môi trường sẽ khác: số âm được định nghĩa như phần mở rộng của bộ số tự nhiên N và tạo thành vịng trịn số ngun Z, mà khơng có bất kì cuộc thảo luận cụ thể nào (http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Integer). Điều này khơng phải lúc nào cũng như vậy: nó được biết đến rất nhiều cho đến giữa thế kỉ 19, khả năng có con số nhỏ hơn 0 vẫn bị bác bỏ bởi các học giả. Chấp nhận cuối cùng của họ chặt chẽ và liên quan đến nhu cầu của bài toán đại số, điều đó giải thích tại sao, trong một thời gian dài số nguyên được gọi là “số đại số”. Nó cũng giải thích tại sao việc giới thiệu số âm được coi là số khác biệt chính giữa số học và đại số. Mối quan hệ này với bài toán đại số sơ cấp hiện nay hoàn toàn biến mất từ các học giả và quan niệm của nhà trường về số âm, mặc dù thực tế 1 số thực hành tính tốn – ví dụ, bao gồm những kết quả của số nguyên có được ý nghĩa đầy đủ khi được giải thích trong ngữ cảnh này. Nhiều sự phân tích khác đã mang lại kết quả tương tự liên quan đến quá trình chuyển đổi như thế nào có ảnh hưởng đến nội dung tốn học khác (trường đại số, đại số tuyến tính, giới hạn của hàm số, tỉ lệ, hình học, số vơ tỉ, hàm số, số học, thống kê, chứng mình, mơ hình hóa, v.v. . . ): nói một cách đơn giản hơn, khơng có gì là vĩnh hằng, bối cảnh khái niệm tự do của kĩ thuật, vấn đề được dạy ln được định hình bởi lực lượng thể chế cái
mà có thể thay đổi tùy theo địa điểm và thời gian. Những cuộc điều tra này nhấn mạnh tính tương đối về thể chế của kiến thức và chương trình những gì mở rộng hầu hết các hiện tượng có liên quan đến việc dạy và học mơn tốn là ảnh hưởng nghiêm trọng bởi những khó khăn sắp tới, từ các bước khác của quá trình sự chuyển đổi sư phạm. Do đó, theo kinh nghiệm đơn vị phân tích nghiên cứu sư phạm trở nên rõ ràng, vượt xa những mối quan hệ giữa giáo viên và học sinh và các đặc điểm cá nhân của họ.
Hình 1.5. Sự chuyển đổi sư phạm trong giáo dục Tốn học. Vị trí bên ngồi của các nhà nghiên cứu
e. Sự cần thiết cho các mơ hình nhận thức luận riêng của nhà nghiên cứu
Tham gia vào sự xem xét hiện tượng chuyển đổi có nghĩa cách di chuyển từ lớp học và được cung cấp với các khái niệm và yếu tố để mô tả kiến thức căn bản và hành động liên quan đến các tổ chức khác nhau tại những thời điểm khác nhau. Để làm như vậy, sự giải phóng nhận thức luận của người học và tổ chức trường học yêu cầu nhà nghiên cứu tạo ra những quan điểm của chính họ về những loại kiến thức khác nhau can thiệp trong quá trình chuyển đổi sư phạm, bao gồm cả những cách thức
của họ mô tả kiến thức và nhận thức thực hành, nhận thức luận của họ. Trong một nghĩa nào đó, khơng có hệ thống tham chiếu đặc quyền nào để từ đó để quan sát các hiện tượng xảy ra trong các thể chế khác nhau liên quan đến quá trình dạy học: người học, the noosphere, trường, và lớp. Nhà nghiên cứu nên xây dựng mơ hình nhận thức luận tham khảo của họ liên quan đến tri thức căn bản, liên quan đến thực tế họ muốn tiếp cận (xem hình 1.5). Thuật ngữ: “mơ hình” được sử dụng để nhấn mạnh thực tế rằng bấy kì quan điểm được cung cấp bởi nhà nghiên cứu (tốn học là gì, đại số là gì, đo lường là gì, số âm là gì, v.v. . . ) ln ln cấu thành 1 hệ phương pháp đề xuất cho phân tích; như vậy, nó nên liên tục được hỏi và kiểm tra để đối chiếu kinh nghiệm.
f. Từ sự chuyển đổi sư phạm sang phương pháp tiếp cận nhân chủng học
Khi tri thức được coi là một sự thay đổi thực tế được thể hiện trong thực hành của con người đặt trong các thể chế xã hội, người ta không thể nghĩ về việc dạy và học trong điều kiện cá nhân. Sự phát triển của quan điểm nghiên cứu hướng tới một hệ thống phân tích nhận thức luận của tri thức hoạt động một cách rõ ràng xuất hiện trên nền tảng của học thuyết nhân chủng học của Didactic. Nó tiếp cận thông qua sự nghiên cứu các điều kiện cho phép và sự hạn chế cản trở sản xuất, phát triển, và lan tỏa tri thức và, nói chung, bất kì loại hoạt động nào của con người trong các tổ chức xã hội.
1.2.3. Một trường hợp điển hình: Ba đường conic
a. Nguồn gốc lịch sử
Các đường Conic là một chủ đề tốn học được nghiên cứu một cách có hệ thống và triệt để. Những đường Conic được phát hiện bởi Menaechmus (người Hy Lạp, 375-325 năm trước công nguyên), từng là giám hộ cho Alexander The Great, ông cho rằng các đường Conic được sinh ra từ các mặt nón khác nhau.
Tuy nhiên sau đó Apollonius (262-190 trước cơng nguyên) đã chứng minh rằng các đường Conic đều được sinh ra từ cùng một mặt nón. Ơng đã viết 8 cuốn sách "chuyên đề về các đường Conic" và đặt tên cho các đường là Elip, Parabol và HyPerbol. [14]
Đường Conic là quỹ tích của các điểm mà tỉ lệ khoảng cách từ nó tới điểm cố định F trên khoảng cách từ nó tới đường cố định L (đường chuẩn) thì bằng giá trị thực e (tâm sai).
• Elip là đường conic có 0< e < 1 (nằm trên mặt phẳng vng góc với L).
• Parabol là đường conic có e = 1 (nằm trên mặt phẳng chứa điểm F và đường L).
• Hyperbol là đường conic có e > 1.