Định lý 2.2.4 (Định lí Thalès trong hình học khơng gian) [7]
Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
2.2.3. Hàng điểm điều hòa, chùm điều hòa
Định nghĩa 2.2.5 Các điểm nằm trên một đường thẳng được gọi là một hàng điểm. [3]
Định nghĩa 2.2.6 Cho hàng điểm A, B, I, J. Khi đó giá trị biểu thức
IA IB :
J A
J B được gọi là tỉ số kép của 4 điểm đó (theo thứ tự) và được kí
hiệu là (ABIJ).
Định nghĩa 2.2.7 Hàng điểm A, B, I, J được gọi là hàng điểm điều hòa nếu (ABIJ) =−1.
Định nghĩa 2.2.8 Các đường thẳng cùng đi qua một điểm S được gọi là chùm đường thẳng. Khi đó S là tâm của chùm.
Định nghĩa 2.2.9 Chùm đường thẳng S(a, b, c, d) là chùm điều hịa khi có các tính chất sau:
• Đường thẳng bất kì cắt a, b, c, d theo một hàng điểm điều hịa
• Đường thẳng bất kì song song với một trong bốn đường a, b, c, d bị ba đường còn lại chắn thành hai đoạn bằng nhau.
2.3. Từ tri thức khoa học tới Tri thức chương trìnhTri thức chương trình được lấy trong SGK Tốn 8 tập 2 [2]. Tri thức chương trình được lấy trong SGK Tốn 8 tập 2 [2]. 2.3.1. Định lí Thalès trong tam giác
a. Định lí Thalès trong tam giác
Định nghĩa 2.3.1 Tỉ số của hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của chúng theo cùng một đơn vị.
Tỉ số của hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào cách chọn đơn vị đo.
Định nghĩa 2.3.2 Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A0B0 và C0D0 nếu có tỉ lệ thức: AB CD = A0B0 C0D0 hay AB A0B0 = CD C0D0
Định lý 2.3.3 (Định lí Thalès trong tam giác) (thừa nhận, không chứng minh)
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
b. Định lí đảo và hệ quả của định lí Thalès
Ta thừa nhận khơng chứng minh định lý đảo sau đây:
Định lý 2.3.4 (Định lí Thalès đảo) (thừa nhận, không chứng minh) Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với những cạnh cịn lại của tam giác.
Hệ quả (Hệ quả của định lí Thalès) Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.
Chú ý Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng a song song với một cảnh của tam giác và cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại:
AB0 AB = AC0 AC = B0C0 BC
Nhận xét: Định lí Thalès trong tam giác ở lớp 8 chính là trường hợp được sử dụng phổ biến của định lý Thalès. Ở lớp 8 định lí dựa trên một tam giác và một đường thẳng song song với đáy. Định lí Thalès ở lớp trên khơng cần quan tâm thứ tự. Định lí Thalès trong tam giác ở lớp 8 bị tách ra, vì nó là một trường hợp của định lý Thalès, để phù hợp với kiến thức nền và trình độ tư duy của học sinh.
2.3.2. Tính chất đường phân giác của tam giác
Định lý 2.3.5 Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.
Chú ý Định lí vẫn đúng đối với tia phân giác góc ngồi của tam giác. Trong hình ta có:
D0B D0C =
AB
AC,(AB 6= AC)
Nhận xét: Hệ quả của chùm điều hòa: Hai đường phân giác của hai góc kề bù chia điều hồ hai cạnh của góc đó. Chùm đường thẳng gồm hai cạnh của một góc và hai đường phân giác của góc đó được gọi là chùm phân giác.
Ở lớp 6 người ta giới thiệu cho học sinh định nghĩa tia phân giác của một góc, lớp 7 là tính chất đồng quy của 3 đường phân giác trong tam
giác nhưng đến lớp 8 mới nói đến tính chất đường phân giác của tam giác vì lớp 8 học sinh mới học tỉ số 2 đoạn thẳng, cụ thể là đoạn thẳng tỉ lệ, sự sắp xếp như vậy đảm bảo kiến thức hình thành theo đường xốy trơn ốc.
2.3.3. Khái niệm tam giác đồng dạng
Định nghĩa 2.3.6 Tam giác A0B0C0 gọi là đồng dạng với tam giácABC
nếu: ˆ A= ˆA0,Bˆ = ˆB0,Cˆ = ˆC0 A0B0 AB = B0C0 BC = C0A0 CA
Tam giác A0B0C0 đồng dạng với tam giácABC được kí hiệu là4A0B0C0 ∼ 4ABC. Tỉ số các cạnh tương ứng :A 0B0 AB = B0C0 BC = C0A0 CA = k được gọi là tỉ số đồng dạng. Tính chất
1. Mỗi tam giác đồng dạng với chính nó
2. Nếu 4A0B0C0 ∼ 4ABC thì 4ABC ∼ 4A0B0C0.
3. Nếu4A0B0C0 ∼ 4A00B00C00 và 4A00B00C00 ∼ 4ABC thì 4A0B0C0 ∼ 4ABC. Do tính chất b (tính chất 2) ta nói hai tam giác A0B0C0
và ABC đồng dạng (với nhau).
Định lý 2.3.7 Nếu 1 đường thẳng cắt hai cạnh của 1 tam giác và song song với cạnh cịn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.
Chú ý Định lý cũng đúng cho trường hợp đường thẳng a cắt phần kéo dài hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại.
Nhận xét: Định nghĩa cao cấp: Hai tam giác đồng dạng nếu tam giác này là ảnh của tam giác kia qua phép đồng dạng.
Nhưng ở lớp 8 người ta không nhắc đến phép đồng dạng mà đưa luôn định nghĩa: Hai tam giác đồng dạng khi có 3 góc bằng nhau và 3 cặp cạnh tỉ lệ.
Một cách chặt chẽ hai tam giác giác đồng dạng, theo phép đồng dạng cái nọ là ảnh của cái kia.
Bảo tồn góc và bảo tồn tỉ lệ chính là tính chất của phép đồng dạng. ⇒ Đây chính là sự chuyển hóa sư phạm, theo kiến thức phép đồng dạng của lớp 11 khi đưa về lớp 8 người ta đã bỏ phép đồng dạng mà dùng tính chất của nó để định nghĩa tam giác đồng dạng.
Định nghĩa tam giác đồng dạng đã được chuyển hóa để dễ dùng với học sinh.
Mỗi một tri thức nào đó đều là hệ quả, đều được xây dựng trên tri thức khác.
Mỗi một kiến thức ở phổ thơng nhìn dưới góc độ tri thức khoa học đều nằm trong một cây kiến thức chằng chịt (hình 2.3).
Trong lưới ban đầu người ta đã bỏ qua phép biến hình, phép đồng dạng thay vì chứng minh chặt chẽ mà thừa nhận ở lớp dưới bởi thời gian, nhận thức và sự chuẩn bị của học sinh sao cho phù hợp, nên không mang tất cả dạy cho học sinh.
Tri thức khoa học là một cây kiến thức đầy đủ , khi đưa về phổ thơng qua q trình chuyển hóa sư phạm các nhà giáo dục đã cắt bớt để phù hợp với nội dung, kiến thức nền của học sinh, tuy nhiên giáo viên nên biết cả cây mặc dù không dạy hết cho học sinh.
2.3.4. Các trường hợp đồng dạng của tam giác
a. Trường hợp đồng dạng thứ nhất của tam giác
Định lý 2.3.8 Nếu ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó đồng dạng.
b. Trường hợp đồng dạng thứ hai
Định lý 2.3.9 Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đồng dạng.