2. Định giá hợp đồng quyền chọn
10.3.đây giá cổ phiếu bắt đầu ở mức giá 20$ và cứ mỗi b−ớc trong hai b−ớc
có thể tăng 10% hoặc giảm 10%.
Hình 10.3 Giá cổ phiếu trong cây hai b−ớc
24,222 22 19,8 20 18
Hình 10.4 Giá cổ phiếu và giá quyền chọn trong mơ hình cây hai b−ớc. Số trên
tại mỗi nút là giá cổ phiếu, còn số d−ới là giá quyền chọn
D 0,0 0,0 a 1,2823 20 F 22 19,8 2,0257 18 E C B 3,2 0,0 24,2
Chúng ta giả định rằng mỗi b−ớc là khoảng thời gian 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12 % năm. Nh− ví dụ tr−ớc, chúng ta xem xét một quyền chọn với mức giá thực hiện là 21$.
16,2
Mục đích của việc phân tích này là nhằm tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên của cây định giá. Ta có thể thực hiện bằng cách lặp đi lặp lại các nguyên tắc tính ở phần tr−ớc. Hình 10.4 cho thấy cũng cây định giá nh− Hình 10.3
nh−ng tại mỗi nút thể hiện cả giá cổ phiếu và giá quyền chọn. (Giá cổ phiếu là số trên và giá quyền chọn là số d−ới). Ta có thể tính đ−ợc dễ dàng giá quyền chọn tại những nút cuối cùng của cây định giá. Các mức giá này chính là các khoản payoffs từ quyền chọn đó. Tại nút D giá cổ phiếu là 24,2 và giá quyền chọn là 24,2 - 21 = 3,2; tại các nút E và F quyền chọn có giá thấp hơn giá thực hiện và giá trị của nó bằng 0.
Tại nút C giá quyền chọn bằng 0 vì nút C dẫn tới cả hai nút E và F và tại cả hai nút này giá quyền chọn đều bằng 0. Chúng ta tính giá quyền chọn tại nút B bằng cách tập trung chú ý vào phần cây định giá nh− trong Hình 10.5.
D 22 22 E 2,0257 24,2 3,2
Hình 10.5 Đánh giá quyền chọn tại nút B
Xét ví dụ ở phần đầu (u = 1, d = 0,9, r = 0,12 và T = 0,25 vì vậy p = 0,6523) và Ph−ơng trình 10.2 cho ta giá trị quyền chọn tại nút B là
e -0,12x0,25[0,6523 x 3,2 + 0,3477 x 0] = 2,0257
Chúng ta vẫn cịn phải tính giá quyền chọn tại nút đầu tiên A bằng cách tậ trung vào b−ớc đầu tiên của cây định giá. Ta biết rằng giá trị của quyền chọn tại nút B là 2,0257 và tại nút C là 0. Do đó ph−ơng trình 10.2 cho ta giá trị tại nút A là
e -0,12x0,25[0,6523 x 2,0257 + 0,3477 x 0] = 1,2823 Giá trị của quyền chọn là 1,2823$
L−u ý rằng ví dụ này đ−ợc xây dựng sao cho u và d (mức tăng giảm) bằng nhau tại mỗi nút của cây định giá và thời gian giữa mỗi nút là bằng nhau. Kết quả là ta tính đ−ợc p, xác xuất trong tr−ờng hợp khơng có rủi ro nh− tính tại ph−ơng trình 10.3 ở mỗi nút là nh− nhau.
Khái qt hố
Chúng ta có thể khái qt hố tr−ờng hợp hai b−ớc theo thời gian bằng cách xem xét tình huống tại Hình 10.6. Giá cổ phiếu ban đầu là S. Trong mỗi b−ớc thời gian, giá có thể tăng u lần mức giá ban đầu hoặc giảm d lần mức giá ban đầu. Ký hiệu giá trị quyềna chọn đ−ợc thể hiện trên cây định giá. (Ví dụ, sau hai biến động tăng thì giá trị của quyền chọn là fuu.) Chúng ta giả định rằng lãi suất phi rủi ro là r và độ dài của mỗi b−ớc thời gian là ∆T năm.
áp dụng lại Ph−ơng trình 10.2 ta có
fu = e -r∆T[p fuu + (1 - p) fud]
Hình 10.6 Giá cổ phiếu và giá quyền chọn trong mơ hình cây định giá hai b−ớc
khái quát Su2 fud fu Su Sd S f Sud fud 89 fu Sd2
fd = e -r∆T
[p fud + (1 - p) fdd] (10.6)
f = e -r∆T
[p fu + (1 - p) fd] (10.7)
Thay từ Ph−ơng trình 10.5 và 10.6 vào 10.7 chúng ta có
f = e -2r∆T
[p2 fuu + 2p(1 - p) fud + (1 - p)2 fdd] (10.8) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết quả này nhất quán với nguyên tắc định giá phi rủi ro đ−ợc đề cập ở phần tr−ớc. Các biến p2 , 2p(1 - p)2 là xác suất đạt đ−ợc các nút trên, giữa, d−ới cuối cùng. Giá quyền chọn bằng với payoff kỳ vọng của nó trong tr−ờng hợp phi rủi ro chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro.
Nếu chúng ta khái quát việc sử dụng các cây nhị thức bằng cách bổ sung thêm các b−ớc thì chúng ta thấy rằng nguyên tắc định giá phi rủi ro vẫn cịn tiếp tục đúng. Giá quyền chọn ln bằng với payoff kỳ vọng trong tr−ờng hợp phi rủi ro, chiết khấu theo lãi suất phi rủi ro.
Trên đây mới chỉ là ví dụ đơn giản nhất khi giả định thời hạn của quyền chọn bao gồm một hoặc hai b−ớc nhị thức. Tuy nhiên trên thực tế, thời hạn của quyền chọn th−ờng đ−ợc chia thành 30 thậm chí nhiều b−ớc hơn. Nếu có điều kiện chúng tơi xin quay trở lại bàn thêm về mơ hình này.
Mơ hình định giá Black-Scholes
Vào đầu thập niên 70 Fisher Black, Myron Scholes, và Robert Merton đã tạo ra một b−ớc đột phá quan trọng trong việc định giá quyền chọn cổ phiếu. Nghiên của họ đã có ảnh h−ởng to lớn tới ph−ơng pháp định giá và phòng ngừa rủi ro quyền chọn trên thị tr−ờng chứng khoán. Trong phần này chúng ta xem xét kết quả nghiên cứu của Black-Scholes và những giả định của nghiên cứu đó.
Một số giả định làm cơ sở cho mơ hình định giá Black-Scholes
Các giả định do Black and Scholes đ−a ra khi họ xây dựng công thức định giá quyền chọn nh− sau:
1. Hành vi giá cổ phiếu phù hợp với mơ hình lognormal đ−ợc trình bày ở phần đầu với à và σ khơng đổi.
2. Khơng có thuế cũng nh− là các chi phí giao dịch. Tất cả các loại chứng khốn hồn tồn có thể chia đ−ợc
3. Trong thời hạn của quyền chọn, cổ phiếu không đ−ợc h−ởng cổ tức 4. Khơng có cơ hội giao dịch chênh lệch giá phi rủi ro
5. Giao dịch chứng khoán liên tục
6. Các nhà đầu t− có thể vay hoặc cho vay tại cùng một mức lãi suất phi rủi ro
7. Lãi suất phi rủi ro ngắn hạn, r, giữ nguyên.
Một số giả định đã đ−ợc các nhà nghiên cứu sử dụng linh hoạt. Ví dụ, biến thể của cơng thức Black-Scholes có thể đ−ợc sử dụng khi r và σ là các hàm thời gian, và nh− chúng ta sẽ ở phần sau, cơng thức này có thể đ−ợc điều chỉnh để tính đến các khoản cổ tức.
Phân tích Black-Scholes/Merton
Phân tích Black-Scholes/Merton cũng giống nh− phân tích với điều kiện khơng có chênh lệch giá sử dụng trong phần tr−ớc để định giá quyền chọn khi những thay đổi giá cổ phiếu d−ới dạng nhị thức. Danh mục đầu t− phi rủi ro bao gồm một vị thế quyền chọn và một vị thế cổ phiếu cơ sở đ−ợc thiết lập. Trong tr−ờng hợp khơng có cơ hội chênh lệch giá, thu nhập từ danh mục này phải bằng với lãi suất phi rủi ro, r.
Lý do có thể thiết lập đ−ợc một danh mục đầu t− là ở chỗ giá cổ phiếu và gái quyền chọn đều chịu ảnh h−ởng bởi cùng một yếu tố không ổn định: biến động giá cổ phiếu.Trong bất kỳ khoảng thời gian ngắn nào, giá quyền chọn mua hoàn toàn tỷ lệ thuận với giá cổ phiếu cơ sở; giá của quyền chọn bán thì hồn tồn tỷ lệ nghịch với giá cổ phiếu cơ sở. Trong cả hai tr−ờng hợp, khi một danh mục đầu t− cổ phiếu và quyền chọn phù hợp đ−ợc thiết lập, các khoản lãi lỗ từ vị thế giao dịch cổ phiếu luôn bù trừ cho các khoản t−ơng ứng từ vị thế quyền chọn sao cho tổng giá trị của danh mục tại cuối kỳ luôn đ−ợc cố định.
Giả sử rằng tại một thời điểm cụ thể mối quan hệ giữa một thay đổi giá cổ phiếu nhỏ ∆S dẫn tới thay đổi nhỏ về giá của một quyền chọn mua kiểu Châu Âu. ∆c nh− sau : ∆c = 0,4 ∆S
Có nghĩa là độ dốc của đ−ờng thẳng biểu thị mối quan hệ giữa c và S là 0,4 nh− Hình 11.3. Danh mục đầu t− phi rủi ro bao gồm
- Vị thế mua 0,4 cổ phiếu
- Vị thế bán 1 quyền chọn mua
Có một sự khác biệt quan trọng giữa phân tích Black-Scholes/Merton và phân tích sử dụng mơ hình nhị thức. Trong mơ hình Black-Scholes/Merton vị thế đ−ợc thiết lập chỉ khơng có rủi ro trong một khoảng thời gian rất ngắn.
Để đảm bảo tiếp tục khơng cịn rủi ro phải th−ờng xuyên điều chỉnh hoặc tái cân đối danh mục. Ví dụ, mối quan hệ giữa ∆c và ∆S có thể thay đổi từ ∆c = 0,4 ∆S vào ngày hôm nay thành ∆c = 0,5 ∆S sau hai tuần. Nếu nh− vậy thì phải sở hữu 0,5 cổ phiếu chứ không phải là 0,4 cổ phiếu nữa cho mỗi quyền chọn mua đ−ợc bán ra. Tuy nhiên sự thực là thu nhập từ danh mục đầu t− phi rủi ro trong bất kỳ khoảng thời gian ngắn nào phải bằng với mức lãi suất phi rủi ro. Đây là yếu tố chủ đạo trong các lập luận Black-Scholes/Merton và dẫn tới các công thức định giá của họ.
Các công thức định giá
Các công thức định giá Black-Scholes áp dụng cho quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu các cổ phiếu không trả cổ tức là
c = SN (d1) - Xe-rT N(d2) (11.5) p = Xe-rT N(-d2) - SN (-d1) (11.6) trong đó T T r X S σ ) 2 / σ ( ) / ln( + + 2 = 1 d T T r X S σ ) 2 / σ ( ) / ln( + − 2 = 2 d
Hàm N(x) là hàm xác suất tích luỹ đối với một biến th−ờng đ−ợc chuẩn hố. Nói cách khác đây là xác suất một biến có phân bố th−ờng chuẩn, φ(0,1) sẽ thấp hơn x. Xác suất này đ−ợc minh hoạ tại Hình 11.4. Các biến
c và p là các mức giá quyền chọn mua và quyền chọn bán kiểu Châu Âu, S là giá cổ phiếu, X là giá thực hiện, r là lãi suất phi rủi ro, T là thời gian
còn lại tới khi đáo hạn, và σ là biến động giá cổ phiếu. Bởi vì giá quyền chọn mua kiểu Mỹ, C, bằng với giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu, c, đối với loại cổ phiếu không trả cổ tức, Ph−ơng trình 11.5 cũng giúp ta tính đ−ợc giá của một quyền chọn mua kiểu Mỹ. Tuy nhiên ch−a có cơng thức tính chính xác giá trị quyền chọn bán kiểu Mỹ đối với cổ phiếu không trả cổ tức.
Td1−σ d1−σ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Về mặt lý thuyết, công thức Black-Scholes đúng chỉ khi lãi suất ngắn hạn, r, giữ nguyên (không đổi). Trên thực tế, công thức này th−ờng đ−ợc dùng với lãi suất r, đ−ợc xác định bằng với lãi suất phi rủi ro trên một khoản đầu t− kéo dài một khoảng thời gian T.
Đặc tính của các cơng thức Black-Scholes
Trong phạm vi đề tài này chúng tôi không đề cập chi tiết tỉ mỉ các công thức Black-Scholes mà chỉ muốn đ−a ra một số đặc tính chung bằng cách xem xét điều gì sẽ xảy ra khi một số thơng số có giá trị đặc biệt.
Khi giá cổ phiếu, S, tăng tới mức rất lớn, quyền chọn mua hầu nh− chắc chắn đ−ợc thực hiện. Lúc này nó trở nên rất giống với hợp đồng kỳ hạn với mức giá kỳ hạn là X. Từ Ph−ơng trình 3.9 chúng ta rút ra giá quyền mua là S - Xe -rT
Trên thực tế giá quyền mua đ−ợc tính bằng Ph−ơng trình 11.5 bởi vì khi S tăng tới giá trị cực lớn thì cả d1 và d2 cũng rất lớn, và N(d1) và N (d2) đều gần bằng 1.
Khi giá cổ phiếu rất lớn nh− vậy, giá quyền chọn bán kiểu Châu âu p, tiến dần tới 0. Kết quả này thống nhất với Ph−ơng trình 11.6 vì N(-d1) và N(-d2) đều xấp xỉ 0.
Khi giá cổ phiếu giảm xuống giá trị rất nhỏ, cả d1 và d2 trở nên rất lớn và có giá trị âm. N(d1) và N(d2) lúc này đều gần bằng 0 và Ph−ơng trình 11.5 cho ta một mức giá gần bằng 0 đối với quyền chọn mua này. Kết quả đúng nh− mong đợi. Cũng nh− vậy, N(-d1) và N(-d2) tiến gần tới 1 cho nên giá của quyền chọn bán tính bằng Ph−ơng trình 11.6 tiến tới giá trị Xe -rT - S. Kết quả này cũng
nh− mong đợi.
Hàm phân bổ th−ờng tích lũy
Vấn đề duy nhất gặp phải khi áp dụng các Ph−ơng trình 11.5 và 11.6 là việc tính tốn hàm phân bố th−ờng tích luỹ, N. (Xem phụ lục ở cuối đề tài). Hàm này cũng đ−ợc tính sử dụng phép xấp xỉ đa thức. Ta có thể dễ dàng tính đ−ợc kết quả bằng máy tính cầm tay thơng qua các ph−ơng trình
N(x) = 1 - (a1k + a2k2 + a3k3)N’ (x) khi x≥ 0 N(x) = 1 - N(-x) khi x< 0 trong đó k = 1/1 + αx α = 0,33267 a1 = 0,4361836 a2 = -0,1201676
a3 = 0,9372980 và
Giá trị N(x) ln chính xác tới 0,0002
Ví dụ giá cổ phiếu 6 tháng kể từ khi quyền chọn đáo hạn là 42$, giá thực
hiện của quyền chọn là 40$, lãi suất phi rủi ro là 10% năm, và mức biến động 20% năm. Có nghĩa là S = 42, X = 40, r = 0,1, σ = 0,2, T = 0,5
và Xe - rT = 40e -0,1 x 0,5 = 38,049
Vì vậy, nếu quyền chọn là quyền chọn mua kiểu Châu Âu thì giá trị của nó,
c = 42N(0,7693) - 38,049N(0,6278)
Nếu quyền chọn là quyền chọn bán kiểu Châu Âu thì giá trị của nó
p = 38,049N(-0,6278) - 42N(-0,7693)
Sử dụng phép xấp xỉ đa thức nằm trong phụ lục của đề tài ta có
N(0,76930 = 0,7791, N(-0,7693) = 0,2209 N(0,6278) N(-0,6278) = 0,2651
suy ra c = 4,76 p = 0,81
Giá cổ phiếu phải tăng thêm 2,76$ để ng−ời mua quyền chọn mua đạt đ−ợc điểm hoà vốn. T−ơng tự, giá cổ phiếu phải giảm 2,81 để ng−ời mua quyền chọn bán đạt đ−ợc điểm hoà vốn.
Định giá quyền chọn chỉ số chứng khoán và quyền chọn tiền tệ
Trong phần này chúng ta xem xét một nguyên tắc đơn giản cho phép mơ hình dùng để định giá quyền chọn kiểu châu âu đối với cổ phiếu không đ−ợc h−ởng cổ tức có thể đ−ợc mở rộng để dùng cho quyền chọn kiểu châu âu đối với cổ phiếu trả cổ tức theo tỷ lệ nhất định.
Hãy xem xét sự khác nhau giữa cổ phiếu trả cổ tức liên tục theo tỷ lệ q hàng năm và một cổ phiếu t−ơng tự không trả cổ tức. Cổ tức làm cho giá cổ phiếu giảm đi một l−ợng đúng bằng mức cổ tức phải trả. Vì vậy lợi suất cổ tức liên tục theo tỷ lệ q làm cho mức tăng giá cổ phiếu thấp hơn một l−ợng là q. Nếu với mức lợi suất cổ tức liên tục là q thì giá cổ phiếu tăng từ S ngày hơm nay tới mức STeqT tại thời điểm T. Ngồi ra khi khơng có cổ tức giá cổ phiếu sẽ tăng
từ Se-qT ngày hôm nay tới ST tại thời điểm T.
Lập luận này cho thấy rằng chúng ta cùng phân bổ xác suất cho giá cổ phiếu tại thời điểm T trong mỗi tr−ờng hợp sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Cổ phiếu bắt đầu tại mức giá S và trả cổ tức theo tỷ lệ q.
- Cổ phiếu bắt đầu tại mức giá Se-qT và không trả cổ tức.
Điều này dẫn tới quy tắc giản đơn của chúng ta:
Khi định giá một quyền chọn kiểu châu âu có thời hạn T đối với một cổ phiếu trả mức cổ tức q, chúng ta giảm giá cổ phiếu hiện hành từ S xuống Se-qT rồi sau đó định giá quyền chọn nh− trong tr−ờng hợp cổ phiếu không trả cổ tức.
Các giới hạn d−ới đối với giá quyền chọn
áp dụng quy tắc này chúng ta hãy xem xét vấn đề xác định các giới hạn giá của quyền chọn châu Âu đối với cổ phiếu trả mức cổ tức q. Thay S bằng Se- qT vào Ph−ơng trình 8., chúng ta thấy rằng giới hạn d−ới đối với giá quyền chọn mua kiểu châu Âu, c, nh− sau : c > Se-qT - Xe-rT
Chúng ta cũng có thể chứng minh điều này trực tiếp khi xem xét hai danh mục đầu t−:
Danh mục đầu t− A: một quyền chọn mua châu âu cộng với một l−ợng tiền mặt bằng với Xe-rT
Danh mục đầu t− B: e-qT cổ phiếu với các khoản cổ tức đ−ợc tái đầu t− vào cổ phiếu mới
Trong danh mục A, tiền mặt nếu đ−ợc đầu t− tại mức lãi suất phi rủi ro, sẽ tăng tới X tại thời điểm T, Nếu ST > X, quyền chọn mua đ−ợc thực hiện tại thời điểm T và danh mục A có giá trị ST. Nếu ST < X, quyền chọn mua hết hạn