TT XMin XMax X(Giữa tổ) fi f(Tích lũy) fi*X(Giữa tổ) XBq
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 1 300 500 400 10 10 4.000 970 2 500 700 600 25 35 15.000 3 700 900 800 30 65 24.000 4 900 1.100 1.000 50 115 50.000 5 1.100 1.300 1.200 25 140 30.000 6 1.300 1.500 1.400 15 155 21.000 7 1.500 1.700 1.600 10 165 16.000 Tổng số 165 160.000 970 165 160.000 1 1 n i i n i i i f f x x (triệu đồng)
Trung bình là một đặc trƣng thống kê của chuỗi số liệu. Giá trị trung bình chỉ là đại diện tốt cho chuỗi số liệu có phân bố chuẩn. Trong kinh tế và kinh doanh, trung bình nhân đƣợc áp dụng để xác định tốc độ phát triển trung bình trong thời kỳ
45
nào đó. Bảng 3.4 là doanh thu và tốc độ phát triển liên hoàn của các cửa hàng từ năm 2004 - 2009.
Bảng 3.4. Doanh thu và tốc độ phát triển liên hoàn của các cửa hàng trong 6 năm từ
năm 2004 – 2009. ĐVT: Tỷ đồng/năm.
Năm 2004 2005 2006 2007 2008 2009
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
Doanh thu (Tỷ đồng) 200 210 215 222 230 244
Tốc độ phát triển (ti lần) - 1,05 1,02 1,03 1,04 1,06
(b) Trung vị mẫu. Trung vị mẫu (Kí hiệu = Me = Sample Median) là số đứng ở vị trí trung tâm của chuỗi số liệu theo thứ tự tăng dần. Nếu số lƣợng của chuỗi số liệu là số lẻ, thì Me là số nằm ở trung tâm của chuỗi số liệu. Nếu số lƣợng của chuỗi số liệu là số chẵn, thì Me là số trung bình của cặp số nằm chính giữa của chuỗi số liệu đƣợc sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.
Khi chuỗi số liệu bao gồm n phần tử và không đƣợc phân chia thành các tổ. Nếu n là số lẻ, thì Me đƣợc xác định theo cơng thức (3.7). Nếu n là số chẵn, thì Me đƣợc xác định theo công thức (3.8)
Me = X(n+1)/2 (3.7)
Me = [ (X(n/2) + X 2 (n/2)+1) ] (3.8)
Ví dụ: Xác định Me của chuỗi tiền lƣơng tháng của nhóm cơng nhân ở một tổ sản
xuất theo chuỗi số liệu sau đây (ĐVT: 1.000 đồng/ngƣời):
(+) Dãy số lẻ (n = 7): 1.500; 1.600; 1.750; 1.900; 2.150; 2.300; 2.500 ngàn đồng/ngƣời. Từ đó Me = X(7+1)/2 = X4 = 1.900 ngàn đồng/ngƣời.
(+) Dãy số chẵn (n = 8): 1.500; 1.600; 1.750; 1.900; 2.150; 2.300; 2.500; 2.800 ngàn đồng/ngƣời. Từ đó Me = [X(8/2) + X(8/2)+1]/2 = (X4 + X5)/2 = (1.900 + 2.150)/2 = 2.025 ngàn đồng/ngƣời.
46
Khi chuỗi số liệu bao gồm n phần tử và chúng đƣợc phân chia thành các tổ với cự ly tổ là K. Trong trƣờng hợp này, Me là giá trị thuộc tổ có tần số tích lũy lớn nhất. Gọi fM là tần số của tổ M; FM là tần số tích lũy từ tổ đầu tiên đến tổ M. Để xác định Me, trƣớc hết xác định tổ có tần số lớn nhất (fMax). Kế đến xác định tần số tích lũy từ tổ đầu tiên đến tổ có tần số lớn nhất (FM) và tổ M - 1 (FM-1). Sau đó xác định Me theo cơng thức (3.9); trong đó XM là giới hạn dƣới của tổ thứ M có tần số lớn nhất (fMax); K là khoảng cách của mỗi tổ; X(n/2) là giá trị ở vị trí n/2; FM là tần số tích lũy ở tổ có tần số lớn nhất, F(M-1) là tần số tích lũy ở tổ M - 1.
Me = XM + K*[(n/2 - F(M-1))
fM ] (3.9)
Ví dụ: Xác định trung vị của chuỗi doanh thu của các cửa hàng theo số liệu ở Bảng
3.5. Từ số liệu ở Bảng 3.5 cho thấy, K = 200, fMax = 50 và xuất hiện ở tổ 4. Nhƣ vậy, giá trị Me nằm ở tổ 4 (900 – 1.100). Tần số tích lũy từ tổ 1 đến tổ 4 là 115 và từ tổ 1 đến tổ 3 là 65. Giá trị n/2 = 165/2 = 82,5. Thay các số liệu này vào công thức (3.9), chúng ta nhận đƣợc Me = 930 triệu đồng/tháng.
Bảng 3.5. Chuỗi doanh thu của các cửa hàng trong một tháng. ĐVT: Triệu đồng.
TT XMin XMax X(Giữa tổ) fi f(Tích lũy) Me (1) (2) (3) (4) (5) (6) (8) 1 300 500 400 10 10 930 2 500 700 600 25 35 3 700 900 800 30 65 4 900 1.100 1.000 50 115 5 1.100 1.300 1.200 25 140 6 1.300 1.500 1.400 15 155 7 1.500 1.700 1.600 10 165 Tổng số 165
47 Me = 900 + 200*[(82,5 - 65)
115 ] = 930 triệu đồng/tháng.
Trong phần giải thích kết quả phân tích thống kê, từ giá trị Me cho thấy 50% số cửa hàng có doanh thu lớn hơn 930 triệu đồng/tháng và 50% số cửa hàng có doanh thu nhỏ hơn 930 triệu đồng/tháng.
Trung vị là một đặc trƣng thống kê của chuỗi số liệu. Ƣu điểm của Me là nó khơng phụ thuộc vào kiểu phân bố của chuỗi số liệu. Khi chuỗi số liệu có phân bố lệch chuẩn, thì trung vị là đại diện tốt hơn so với giá trị trung bình.
(c) Giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong một chuỗi số liệu, những số xuất hiện nhiều nhất đƣợc gọi là Mốt (Kí hiệu = Mo = Mode). Nói cách khác, Mo là số có tần số cao nhất trong bảng số liệu đã đƣợc ghép thành tổ hay nhóm. Tùy theo cách thức tập hợp số liệu, giá trị Mo đƣợc xác định khác nhau.
(+) Đối với chuỗi số liệu đƣợc phân tổ nhƣng khơng có khoảng cách tổ. Trong trƣờng hợp này, M0 là giá trị tƣơng ứng với tần số xuất hiện nhiều nhất. Ví dụ: Xác định điểm số xuất hiện nhiều nhất (Mo) theo chuỗi số liệu ở Bảng 3.6. Quan sát số liệu ở Bảng 3.6 cho thấy điểm 7 xuất hiện nhiều nhất (52/124 = 49%). Vì thế, theo định nghĩa, Mo = 7.