Mơ hình nền một hệ số nền

a - cấu tạo kết cấu với nền; b - trước khi có tải trọng tác dụng; c - thay thế bằng liên kết lị xo

Theo mơ hình này, chỉ phần đất ngay dưới kết cấu bị lún, cịn vùng đất phía ngồi thì khơng (Hình 1.5), nên khơng sát với thực tế là khi bị nén không chỉ phần đất bên dưới kết cấu bị lún mà cả phần đất ngay sát xung quanh kết cấu cũng bị lún theo, tuy độ lún khơng nhiều và tắt nhanh. Do đó mơ hình này thường dùng với các trường hợp biến dạng của nền không lớn hoặc kết cấu có độ cứng lớn, do đó mơ hình này tương đối thích hợp và sát thực tế đối với nền đất ẩm hoặc bão hịa nước và khơng dính, đặc biệt đối với mơi trường chất lỏng thì mơi trường này là chính xác.

1.3.1.2. Nền hai hệ số

Filonenko-Borodich (1940), Pasternak (1954), Ker (1964) đã phát triển mơ hình nền một hệ số và kể đến tính liên tục của nền bằng cách đưa vào hệ số xét đến tương tác cơ học giữa các phần tử lò xo độc lập của mơ hình Winkle [52,78]. Filonenko-Borodich (1940) thêm vào bề mặt mơ hình Winkle

một màng đàn hồi căng đều ra mọi phía bởi một lực khơng đổi k, phản lực nền được xác định theo công thức [98]:

  0 2 2 2 2 w w , .w ( , ) o o r x y C x y k x y             (1.2)

trong đó: C là hệ số đàn hồi của nền, k là lực căng màng

Dưới tác dụng của tải trọng, nền khơng chỉ biến dạng tại vị trí đặt tải mà cịn biến dạng cả ngoài phạm vi đặt tải.

Pasternak (1954) cải tiến mơ hình Winkler bằng cách liên kết đầu của các lị xo với một tấm hoặc lớp cắt, đặc tính của lớp này là khơng bị nén theo phương dọc, chỉ có biến dạng do lực cắt với môđun trượt G. Phản lực nền [98]:   0 2 2 2 2 w w , .w ( , ) o o r x y C x y G x y             (1.3)

Năm 1987, Nogami và Lam đã đưa ra mơ hình nền hai hệ số cho dầm trên nền biến dạng trong trường hợp biến dạng phẳng [76]. Hệ số nền thứ nhất C1 liên hệ biến dạng của nền với cường độ áp lực lên mặt nền theo phương đứng, hệ số nền thứ hai C2 (hệ số trượt) cho phép xác định cường độ lực trượt theo phương đứng trên mặt bên của phân tố đất. Phản lực nền được tính:

  1 0 2 2 2 2 2 w w , .w ( , ) o o r x y C x y C x y             (1.4) trong đó:    0 0  0   1 2 2 0 0 0 0 1 ; 1 2 H z E E G C C f z dz dz H H H                (1.5) 0, 0, 0

E G  lần lượt là môđun đàn hồi, môđun trượt và hệ số poisson của nền;

H là chiều sâu tác dụng của tải trọng.

nền đường dưới mặt đường bê tơng xi măng, tính được hàm giảm chuyển vị theo chiều sâu f(z) theo công thức như sau:

0 2 2,5 ( ) Wz 1 arctan Ztd f z W D     (1.6)

với Ztđ - là chiều sâu tương đương tính từ lớp mặt đường xuống tới điểm tính tốn; theo Ivanov, có thể lấy:

1 2,5 d . t E Z h E  (1.7)

trong đó: h là chiều dày tấm bê tơng; E1 và E lần lượt là môđun đàn hồi của tấm bê tông và nền; D là đường kính vệt bánh xe quy đổi; Wz và W0 tương

ứng là độ võng của nền tại độ sâu z và mặt nền.

Do kể đến ảnh hưởng của ứng suất trượt theo phương đứng của cột đất, mơ hình hai hệ số nền cho phép tính được biến dạng của mặt nền bên ngoài phạm vi kết cấu. So với mơ hình nền Winkle, mơ hình nền Pasternark có thể xét đến ảnh hưởng của tải trọng bên đặt ngồi móng đến móng, bởi hệ số nền thứ 2 do việc kể đến ứng suất tiếp theo phương đứng trong nền (lực trượt dọc giữa các cột đất) và gây ra biến dạng của mặt nền ngoài phạm vi của kết cấu. Tính chất này cịn gọi là tính chất phân phối ngang của nền. Mơ hình nền hai hệ số phù hợp với đất nhão, bùn.

1.3.2. Mơ hình nền đàn nhớt

Đất nền đường được xem là vật liệu nhiều pha (pha rắn, pha lỏng, pha khí). Dưới tác dụng của tải trọng ngắn hạn (tải trọng động), trong đất xuất hiện lực giảm chấn. Tính chất này làm tiêu tán năng lượng dao động trong đất. Lực giảm chấn chỉ xuất hiện khi đất bị biến dạng, độ lớn của nó phụ thuộc hệ số nhớt của từng loại đất.

Như vậy, tính giảm chấn và mơđun đàn hồi là hai tham số mô tả ứng xử của nền đàn nhớt dưới tác dụng của tải trọng động. Do nền đất là vật liệu đàn nhớt, nên sử dụng mơ hình nền đàn nhớt khi tính tốn tấm đặt trên nền chịu tác

dụng của tải trọng động sẽ phản ánh sát hơn điều kiện làm việc thực của kết cấu. Các mơ hình cơ học vật liệu đàn nhớt thường được sử dụng trong tính tốn nền đường là mơ hình Maxwel, mơ hình Kelvin-Voigt, ... được lựa chọn tùy thuộc đặc trưng của từng loại đất.

1.3.2.1. Mơ hình đàn nhớt Maxwel

Mơ hình đàn nhớt Maxwel gồm một lị xo và một píttơng đặt nối tiếp với nhau như Hình 1.6. Dưới tác dụng của ứng suất không đổi, biến dạng tổng cộng của hệ bằng tổng biến dạng của lị xo và píttơng, ta có: E0 P P C0 Hình 1.6. Mơ hình đàn nhớt Maxwel 0 0 0 0 . 1 t t E E T                (1.8) Hay 0 0 0 1 E T D T D     (1.9)

trong đó: T0 0 /E0 là thời gian chùng ứng suất; σ là ứng suất pháp; D là toán tử vi phân; η0 và E0 lần lượt là hệ số nhớt và môđun đàn hồi của vật liệu. Nếu một ứng suất tức thời σ0 đặt vào mơ hình này, lị xo sẽ chịu một biến dạng tức thời σ0/E0. Nếu biến dạng này được giữ khơng đổi thì ứng suất sẽ bị chùng dần và sau một khoảng thời gian dài sẽ trở về 0.

Thật vậy, theo phương trình vi phân :

0 0 1 t E t c          (1.10)

Số hạng thứ nhất bên vế phải của phương trình (1.10) là tốc độ biến dạng trong lò xo, còn số hạng thứ hai là tốc độ biến dạng trong píttơng. Nếu biến dạng được giữ không đổi tức là 0

t

  



ta được: 0 0 exp t T          (1.11)

Từ công thức (1.11) ta thấy: khi t = 0 thì σ = σ0; khi t = ∞ thì σ = 0 và khi t = T0 thì σ = 0,368.σ0. Do đó thời gian chùng ứng suất T0 chính là thời gian cần thiết để ứng suất giảm 36,8% so với giá trị ban đầu, [111]. Do đó, về mặt vật lý, mơ hình Maxwell thích hợp để chỉ rõ thời gian chùng ứng suất hơn là tính đàn nhớt của nền, phù hợp với nền đất cát, nền đất cứng có cường độ cao chịu tải trọng động.

1.3.2.2. Mơ hình đàn nhớt Kelvin-Voigt

Mơ hình đàn nhớt Kelvin - Voigt là tổ hợp của một lị xo và một píttơng đặt song song với nhau như Hình 1.7. Nếu một ứng suất khơng đổi tác dụng lên mơ hình này thì cả lị xo và pít tơng đều biến dạng bằng nhau nhưng ứng

P P

E1 T1

Hình 1.7. Mơ hình đàn nhớt Kelvin - Voigt

suất tổng cộng lại bằng tổng của hai ứng suất. Ở đây chỉ số dưới “1” dùng để chỉ mơ hình Kelvin, ta có: 1 1 E c t        (1.12)

Mơ hình nền đàn nhớt được áp dụng khi tính tốn mặt đường chịu tác dụng của tải trọng động. Do đặc tính đàn nhớt của vật liệu, khi chịu tác dụng của tải trọng động, phản lực nền ngoài thành phần là lực đàn hồi tỷ lệ thuận với độ cứng của nền, còn xuất hiện thành phần lực cản trong (lực cản nhớt của vật liệu nền) có giá trị tỷ lệ thuận với vận tốc chuyển vị và hệ số nhớt của nền. Khi đánh giá cường độ của nền thông qua độ võng mặt nền (mô đun đàn hồi), nền đàn nhớt có tác dụng làm giảm độ võng mặt nền so với nền biến dạng. Theo kết quả nghiên cứu thực nghiệm của Gluscov [109], độ võng động có

thể giảm từ 10%-30% so với độ võng tĩnh.

1.3.3. Các mơ hình tính tấm trên nền biến dạng

Để tính bài tốn tấm tiếp xúc với nền, có các mơ hình:

- Tấm và nền được tách ra tính độc lập: Tấm (thường là trực tiếp chịu tải trọng) được coi là đặt trên các liên kết cứng và tiến hành tính tốn các trường chuyển vị, ứng suất – biến dạng của tấm và phản lực của các liên kết. Sau đó đặt các phản lực của liên kết lên nền (coi như tải trọng ngoài) và tiến hành tính tốn đối với nền. Cách tính này đã khơng kể đến ảnh hưởng qua lại về trạng thái cơ học của hai thành phần trong hệ tấm – nền. Mơ hình này chỉ phù hợp với tính tốn tấm trên nền chịu tác dụng của tải trọng tĩnh.

- Trạng thái chịu lực của các thành phần trong hệ tấm – nền phụ thuộc lẫn nhau. Đối với cách tính này có hai nhóm mơ hình tính cơ bản:

Nhóm thứ 1: Mơ hình tương tác khơng đầy đủ.

Thay nền bằng các liên kết biến dạng đặt trên biên tiếp xúc kết cấu – nền và có các đặc trưng cơ học được xác định theo một quy luật nào đó tùy thuộc vào ứng xử của nền là tuyến tính hay phi tuyến, loại tải trọng (tĩnh hay động) và mơ hình thay thế. Mơ hình này làm cho việc tính tốn được đơn giản nhưng chưa phản ánh đầy đủ sự tương tác thực tế của kết cấu và môi trường do chưa xét đến sự thay đổi phản lực tương tác, ứng suất, biến dạng của hệ gây ra bởi chuyển vị tương đối (tách và trượt) của tấm so với nền.

Nhóm thứ 2: Coi hệ tấm – nền làm việc đồng thời (mơ hình nền tương tác đầy đủ).

Theo mơ hình này khi tính tốn ta sẽ tách cả kết cấu cùng một phần của nền bao quanh kết cấu ra khỏi bán không gian của môi trường để khảo sát (là miền nghiên cứu), trên biên của miền này ta đưa vào các điều kiện mô tả một cách phù hợp về độ cứng của phần nền cịn lại và điều kiện khơng phản xạ sóng ở biên. Các điều kiện liên kết trên bề mặt tiếp xúc kết cấu – nền cũng được xét đồng thời trong q trình tính. Mơ hình tính có thể là hai chiều (2D) hoặc ba chiều (3D). Ưu điểm của mơ hình này là có thể xét được tính đa dạng

và phức tạp của bài tốn, nhược điểm là việc tính tốn phức tạp nên thường được thực hiện bằng các phương pháp số. Ngày nay với sự phát triển mạnh của máy tính điện tử và các phương pháp tính, mơ hình tương tác đầy đủ ngày càng được ứng dụng nhiều trong tính tốn bởi những ưu điểm nổi bật của nó.

Trong luận án, để đơn giản trong tính tốn tác giả sử dụng mơ hình tương tác khơng đầy đủ để tính tốn.

1.4. Tổng quan về dao động của tấm composite và tính tốn kết cấu chịu tải trọng di động tải trọng di động

1.4.1. Phân tích dao động của tấm composite

Do ưu điểm nhẹ, độ bền cao, cơ động nên tấm composite chịu tải trọng di động thường được dùng trong các bản phủ mặt cầu, tấm mặt cầu phao đặt trên mặt nước, tấm chống lầy trong quân sự cho các xe vượt qua vùng lầy, tấm chịu vật thể bay trong hàng không vũ trụ... Vật liệu FRP (composite nền polymer gia cường bằng các loại sợi thủy tinh, sợi carbon, sợi aramit...) được dùng ở các dạng như tấm lớn, thanh tròn, vải cuộn hoặc thanh dải băng,... được dùng trong quá trình sửa chữa gia cố cơng trình.

Hiện tại đã có nhiều bài tốn dao động của tấm composite lớp đã được nhiều nhà khoa học quan tâm giải quyết. Trong cơng trình [101], các tác giả Wu và Winson đã nghiên cứu dao động tự do của kết cấu làm bằng vật liệu composite khi xét đến biến dạng trượt ngang. Putcha N.S, Reddy J.N [84], đã xét dao động của tấm composite không gân bằng phương pháp phần tử hữu hạn có tính đến yếu tố phi tuyến hình học đã đánh giá ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến đến phản ứng động của kết cấu.

Trường hợp xét đến biến dạng trượt ngang, trong [31] tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự đã đề cập đến việc xây dựng các hệ thức xác định các đặc trưng cơ học của vật liệu, thiết lập các phương trình cơ sở dựa trên nguyên lý Hamilton và ngun lý Lagrange để tính tốn tĩnh và động tấm composite lớp khi biến dạng lớn có tính đến biến dạng trượt ngang.

giải quyết và công bố các kết quả quan trọng. Các tác giả Kolli, Chandrashekhara [68] đã khảo sát dao động tự do của tấm composite có gân gia cường bằng phương pháp phần tử hữu hạn và đã đánh giá ảnh hưởng của gân gia cường đến tần số dao động riêng của tấm. Nghiên cứu dao động của tấm và mảnh vỏ trụ có gân gia cường các tác giả Trần Ích Thịnh, Trần Hữu Quốc [19] đã tiến hành giải bài toán dao động riêng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, xác định được các tần số riêng và dạng dao động riêng. Trong [20], các tác giả Trần Ích Thịnh, Nguyễn Đình Ngọc đã phân tích dao động tấm composite lượn sóng bằng phương pháp giải tích và áp dụng phương pháp Bubnov-Galerkin để xây dựng được các phương trình xác định tần số riêng của tấm composite lượn sóng hình sin.

Đối với bài tốn phi tuyến hình học, bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Wu và các cộng sự [102] đã xét dao động của tấm composite có tính đến yếu tố phi tuyến hình học, qua đó đã đánh giá được ảnh hưởng của yếu tố phi tuyến đến phản ứng động của tấm. Trong cơng trình [47], Gu và Reddy đã nghiên cứu, phân tích phi tuyến tấm composite lớp khi chịu lực trong mặt phẳng trung bình của tấm và xác định được sự phân bố ứng suất trong tấm. Nghiên cứu bài toán phi tuyến của tấm và vỏ composite nhiều lớp, tác giả Vũ Đỗ Long đã đưa ra thuật tốn phần tử hữu hạn tính chuyển vị và ứng suất của tấm chữ nhật chịu uốn. Bằng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn, tác giả Lê Văn Dân [6] đã nghiên cứu giải bài toán dao động của tấm composite lớp gia cường, trong đó đã xây dựng thuật tốn và lập chương trình giải bài tốn tuyến tính và phi tuyến hình học cho tấm composite lớp có gân và tấm composite lượn sóng, xác định được tần số riêng và phản ứng động của tấm.

Đối với loại tấm dày làm bằng vật liệu composite lớp, việc tính tốn trạng thái ứng suất, biến dạng trong tấm chịu uốn với mơ hình biến dạng bậc cao đã được một số tác giả nghiên cứu và đạt được một số kết quả nhất định. Trong [18] tác giả Trần Ích Thịnh, Ngơ Như Khoa đã dựa trên cách tiếp cận của Mindlin, sử dụng thuật toán phần tử hữu hạn giải bài toán dao động của

tấm chữ nhật làm bằng vật liệu composite lớp. Phát triển các kết quả nghiên cứu này, Trần Ích Thịnh, Ngơ Như Khoa [17] đã áp dụng tính tốn dao động của tấm và vỏ composite lớp có xét đến biến dạng do nhiệt độ và độ ẩm bằng phương pháp giải tích và phương pháp phần tử hữu hạn. Qua đó đã nghiên cứu ảnh hưởng của nhiệt độ và độ ẩm đến trạng thái ứng suất - biến dạng và phản ứng động của tấm và vỏ composite lớp với các điều kiện biên khác nhau. Phát triển ý tưởng của Seydel đối với tấm đàn hồi thuần nhất đẳng hướng lượn sóng, một số cơng trình đã trình bày cách thiết lập các hệ thức cơ bản, phân tích động lực của tấm composite lớp lượn sóng. Khảo sát bài tốn dao động tự do và dao động cưỡng bức của tấm với những điều kiện biên