2.3.1 Kiến trúc
Ví dụ 2.3.1. Một kiến trúc sư quan tâm dến việc thiết kế một mái vịm mỏng có hình dạng của một hình hyperbolic paraboloid, như vẽ ở Hình 2.7. Tìm phương trình của hyperbol trong hệ trục tọa độ vẽ ở Hình 2.8 và thỏa mãn các điều kiện đã chỉ ra. Hỏi điểm thuộc hyperbol nằm cao hơn đỉnh 6 feet về bên phải cách đỉnh bao xa? Kết quả tính tốn được làm trịn tới hai chữ số thập phân.
Hình 2.7: Hyperbolic paraboloid. Hình 2.8: Phần hyperbol của vịm.
Lời giải. Từ hình vẽ cho thấy hyperbol có trục thực nằm dọc và a = 4
(feet). Phương trình chuẩn của hyperbol có dạng y2
a2 − x
2 b2 = 1.
4, x = 8 và y = 12 vào phương trình và nhận được 122 42 − 8 2 b2 = 1 ⇔ 144 16 − 64 b2 = 1 ⇒ 64 b2 = 9−1 = 8 ⇒ b2 = 64 8 = 8. Vậy phương trình của hyperbol là
y2 16 − x
2 8 = 1.
Điểm thuộc hyperbol cao hơn đỉnh 6 feet có tung độ y = 4 + 6 = 10 (feet) và hoành độ ±x. Thay vào phương trình hyperbol ta được
102 16 −x 2 8 = 1 ⇔ x 2 8 = 100 16 −1 = 5,25 ⇒x2 = 5,25.8 = 42 ⇒x ≈ 6,48. Điểm thuộc hyperbol ở bên phải của đỉnh có tọa độ (6,48, 10). Khoảng cách từ điểm này tới đỉnh (0, 4) bằng
q
(6,48)2 + (10−4)2 = √
42 + 36 = √
78 ≈ 8,83.
2.3.2 Năng lượng hạt nhân
Ví dụ 2.3.2. Một tháp cao làm mát ở nhà máy hạt nhân dạng hyperbol tròn xoay, tức là một hyperbol xoay trịn quanh trục áo của nó, như vẽ ở Hình 2.9. Phương trình hyperbol ở Hình 2.10 được dùng để tạo ra hyperboloid là
x2
1002 − y
2
1502 = 1.
Nếu tháp có chiều cao 500 m, đỉnh tháp cao 150 m tính từ tâm của hyperbol và đáy tháp cao 350 m dưới tâm của hyperbol thì bán kính của đỉnh tháp và đáy tháp bằng bao nhiêu? Bán kính của mặt cắt ngang hình trịn nhỏ nhất trong tháp là bao nhiêu? Kết quả tính tốn được làm trịn tới ba chữ số thập phân.
Hình 2.9: Tháp làm mát hạt nhân . Hình 2.10: Phần hyperbol của vỏ tháp.
Lời giải.
• Điểm thuộc hyperbol (vỏ tháp) ở trên đỉnh tháp có tọa độ (x, 150). Thay y = 150 vào phương trình của vỏ tháp, ta nhận được
x2 1002−150 2 1502 = 1 ⇒ x 2 10000 = 2 ⇒x2 = 20000 ⇒ x = 100√ 2≈ 141,421. Vậy bán kính của đỉnh tháp bằng 141,421(m).
• Điểm thuộc hyperbol (vỏ tháp) ở dưới đáy tháp có tọa độ (x,−350).
Thay y = −350 vào phương trình của vỏ tháp, ta nhận được x2 1002−350 2 1502 = 1 ⇒ x 2 10000 = 6,444 ⇒x2 = 64444,444⇒ x ≈ 253,859(m). Vậy bán kính của đáy tháp bằng 253,859 (m).
• Bán kính nhỏ nhất của tháp bằng a = 100(m).