Lời giải. Theo công thức (1.7), với hyperbol nằm ngang thì phương
trình của hai đường tiệm cận là y = ±b
ax, theo đề bài, ở đây phương trình đường tiệm cận là y = x 2 nên ta có b a = 1 2, từ đó b = a 2. Từ hình vẽ cho thấy a = 3. Suy ra b = 1,5 và phương trình đường đi của hạt là
x2
9 − y
2
2,25 = 1, x ≥ 3.
Bài tập 2.6.6. Hai micro cách nhau 1 dặm Anh ghi lại một vụ nổ (Hình 2.20). Micro A nhận được âm thanh 2 giây trước micro B. Vậy vụ nổ đã xảy ra ở đâu? (Giả sử âm thanh lan truyền với tốc độ 1100 feet/giây).
Lời giải. Theo đề bài, hai micro cách nhau 1 dặm (= 5280 feet). Ta
đặt micro A trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280
2 = 2640 (feet) về bên phải và đặt micro B trên trục hoành cách gốc tọa độ 2640 (feet) về bên trái. Hình 2.20 minh họa hai micro cách nhau 1 dặm.
Ta biết rằng micro B nhận được âm thanh sau 2 giây so với micro A. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ nơi xảy ra vụ nổ tới B và tới A là 2×1100 = 2200 feet, nghĩa là 2a = 2200. Từ đó a = 1100 (feet). Tập tất cả các điểm xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện trên là một hyperbol, với hai micro A và B là các tiêu điểm. Như trên đã thấy c = 2640 (feet).
Theo hệ thức trong hyperbol: b2 = c2 −a2 = 5759600. Ta kết luận rằng vụ nổ xảy ra trên nhánh phải của hyperbol
x2
1210000 − y
2
5759600 = 1, x ≥ 1100.
Bài tập 2.6.7. Một kiến trúc sư thiết kế hai tịa nhà có hình dạng và vị trí giống một phần của hai nhánh hyperbol có phương trình y2
400− x
2 625 = 250000, trong đó x và y đo theo đơn vị mét. Hỏi ở điểm gần nhất, hai tòa nhà cách nhau bao xa?
Hình 2.21: Hai tịa nhà hình hyperbol.
Lời giải. Từ phương trình chuẩn của hyperbol cho thấy a2 = 400, do
đó a = 20. Khoảng cách gần nhất giữa hai tòa nhà bằng khoảng cách giữa hai đỉnh của hyperbol và bằng 2a = 40m. Tóm lại, chương này đã trình bày một số ứng dụng thường gặp của đường cong hyperbol trong kỹ thuật (bánh răng hình hyperbol, sóng vơ tuyến, thấu kính, gương, kính thiên văn), trong kiến trúc xây dựng cơng
trình (lâu đài, nhà thờ, cung điện, tháp cao làm mát ở nhà máy điện hạt nhân), quĩ đạo hyperbol (vệ tinh, sao chổi) trong các ngành thiên văn, địa lý, xác định vị trí tàu thuyền (trên biển, trên không), xác định nơi xẩy ra tiếng nổ. Cuối chương nêu một bài tập áp dụng với lời giải cho sẵn.
Kết luận
Luận văn tìm hiểu và giới thiệu có chọn lọc các tính chất hữu ích của đường cong hyperbol và một số ứng dụng thường gặp của nó trong thực tế. Đây là chủ đề khơng mới nhưng đáng được quan tâm tìm hiểu, học tập và nghiên cứu.
Luận văn đã trình bày các nội dung chính sau
1. Các định nghĩa, các khái niệm và các tính chất cơ bản của hyperbol, đặc biệt là tính chất phản xạ, cách vẽ một hyperbol, phương trình chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol, cách vẽ đồ thị của phương trình hyperbol và mối quan hệ giữa đường hyperbol với các đường cônic khác (elip, parabol).
2. Các ứng dụng của hyperbol trong hàng hải, trong kiến trúc xây dựng, trong vật lý thiên văn và trong đời sống, đặc biệt là xác định vị trí tàu thuyền trên biển, vật bay trên không, xác định nơi xảy ra tiếng nổ.
3. Một số bài tập áp dụng đơn giản với lời giải cho sẵn, giúp hiểu thêm các tính chất của đường cong hyperbol và khả năng ứng dụng của nó trong thực tiễn.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Bộ Giáo dục và Đào tạo (1996), Đề thi tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng và trung học chun nghiệp- mơn Tốn, NXB Giáo
dục.
[2] Phan Huy Khải (2008), Hình học giải tích, NXB Giáo dục.
[3] Nguyễn Văn Lộc (2010), Các đường cônic, tuyển chọn các bài thi vơ địch tốn ở các địa phương, quốc gia, quốc tế, NXB Đại học quốc gia Hà Nội.
[4] Trần Phương (1995), Phương pháp mới giải đề thi tuyển sinh mơn tốn, NXB Đà nẵng.
Tiếng Anh
[5] Mathematics III - Frameworks Student Edition, Unit 5: Conic Sec- tions, 2nd Edition - June, (2010), Georgia Department of Education.