Ví dụ sau minh họa việc sử dụng hyperbol trong ngành hàng hải.
Ví dụ 2.2.1. (Xác định vị trí tàu thuyền) Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 60 km. Hai trạm truyền tin S1 và S2 nằm trên bờ biển, cách xa nhau 200 km (xem Hình 2.3). Bằng cách tính giờ các tín hiệu vơ tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác định rằng con tàu đang ở giữa hai trạm và ở gầnS2 hơn S1 là 50 km. Tìm khoảng cách từ con tàu tới mỗi trạm. Đáp số làm tròn đến hai chữ số thập phân.
Lời giải. Nếu d1 và d2 là các khoảng cách tương ứng từ con tàu tới
S1 và S2, khi đó hiệu d1 − d2 = 50 và con thuyền phải nằm trên một hyperbol với tiêu điểm là S1 và S2, hiệu hai khoảng cách cố định bằng 50, như minh họa trong Hình 2.4. Để đưa ra phương trình của hyperbol, ta biểu diễn hiệu cố định này bằng2a. Như vậy, với hyperbol trong Hình 2.4 ta có c = 100, a = 1 250 = 25, b = p 1002 −252 = √ 9375.
Hình 2.3: Xác định vị trí con tàu. Hình 2.4: Hyperbol với d1−d2 = 50.
Phương trình của hyperbol này có dạng là x2
625 − y
2
9375 = 1.
Thay y = 60 vào phương trình và giải theo x (xem Hình 2.4): x2 625 − y 2 9375 = 1 ⇒ x 2 625 − 60 2 9375 = 1 ⇒x2 = 865. Do đó, x = √
865 ≈ 29,41 (Nghiệm âm bị loại, vì con tàu ở gần S2 hơn S1). Khoảng cách từ con tàu đến S1 bằng
d1 =
q
(29,41 + 100)2 + 602 = p20346,9841 ≈142,6 (km). Khoảng cách từ con tàu đến S2 là
d2 =
q
(29,41−100)2 + 602 = p8582,9841 ≈ 92,6 (km).
Chú ý rằng, hiệu giữa hai khoảng cách d1 và d2 là 50, như đã cho. Ví dụ 2.2.1 minh họa một dạng đơn giản của hệ thống quản lý các phương tiện đi lại trên biển (tàu, thuyền) và trên khơng (máy bay các loại), có tên gọi Loran (LOng RAnge Navigation), giống như hệ thống kiểm soát khơng lưu. Trên thực tế, ba trạm phát sóng được dùng để gửi tín hiệu đồng thời (xem Hình 2.5), thay vì hai trạm như ở Ví dụ 2.2.1. Máy tính trên tàu sẽ ghi lại các tín hiệu này và sử dụng chúng để xác định chênh lệch khoảng cách từ tàu tới S1 và S2, tới S2 và S3.
Vẽ tất cả các điểm mà chênh lệch khoảng cách này không thay đổi, ta được hai nhánh p1 và p2 của hyperbol với tiêu điểm S1 và S2, và hai nhánh q1 và q2 của hyperbol với tiêu điểm S2 và S3. Dễ dàng chỉ ra được con tàu đang ở những nhánh nào, bằng cách so sánh tín hiệu từ mỗi trạm. Giao điểm của một nhánh từ mỗi hyperbol là vị trí của con tàu và máy tính biểu thị vị trí đó qua kinh độ và vĩ độ. Sau đây là một ví dụ
Hình 2.5: Xác định vị trí con tàu nhờ ba trạm phát tín hiệu.
tương tự, nhưng để xác định vị trí xảy ra một vụ nổ.
Ví dụ 2.2.2. (Xác định vị trí xảy ra vụ nổ) Một vụ nổ được hai micro M1 và M2 cách nhau 2 dặm ghi lại. Micro M1 nhận được âm thanh trước 4 giây so với microM2. Giả sử âm thanh di chuyển với tốc độ 1100 feet/giây, hãy xác định những vị trí có thể của vụ nổ, so với vị trí của các micro?
Lời giải. Ta bắt đầu bằng cách đặt micro trong một hệ tọa độ vng
góc. Bởi vì 1 dặm bằng 5280 feet nên ta đặt M1 trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên phải và đặt M2 trên trục hoành cách gốc tọa độ 5280 feet về bên trái. Hình 2.6 minh họa hai micro cách nhau 2 dặm. Ta biết rằng M2 nhận được âm thanh sau 4 giây so với M1. Vì âm thanh di chuyển với tốc độ 1100 feet/giây nên hiệu số khoảng cách từ P
Hình 2.6: Xác định vị trí của vụ nổ trên một nhánh hyperbol.
(nơi xảy ra vụ nổ) tới M2 và từ P tới M1 là 4400 feet. Tập tất cả các điểm P xảy ra vụ nổ thỏa mãn các điều kiện này là một hyperbol, với hai micro M1 và M2 là các tiêu điểm.
Như vậy, vị trí xảy ra vụ nổ nằm trên hyperbol có phương trình chuẩn là x2 a2 − y 2 b2 = 1. Ta cần xác định các hệ số a và b?
Hiệu số khoảng cách giữa hai micro là 4400 feet và được đặt bằng 2a, tức là 2a = 4400 và a = 2200. Ta có x2 22002 − y 2 b2 = 1 hay x2 4840000 − y 2 b2 = 1.
Ta tiếp tục tìm b2. Khoảng cách từ gốc (0, 0) tới tiêu điểm (−5280, 0) hoặc (5280, 0) bằng 5280. Do đó c = 5280. Sử dụng hệ thức c2 = a2+b2, ta có
b2 = c2 −a2 = 52802 −22002 = 23038400. Phương trình của hyperbol với micro tại mỗi tiêu điểm là
x2
4840000 − y
2
23038400 = 1.
Ta có thể kết luận rằng vụ nổ xảy ra ở đâu đó trên nhánh phải (gần M1 hơn) của hyperbol có phương trình như trên.
Để xác định được chính xác vị trí xảy ra vụ nổ, ta cần dùng ba micro đặt ở ba địa điểm khác nhau và làm như nhận xét ở sau Ví dụ 2.2.1 (xem Hình 2.5).