nghĩa trên có thể thấy:
• Elip là đường cơnic tâm sai e < 1 (Hình 1.20a).
• Parabol là đường cơnic tâm sai e = 1 (Hình 1.20b).
• Hyperbol là đường cơnic tâm sai e > 1 (Hình 1.20c).
Đối với elip và hyperbol, có hai cặp "tiêu điểm - đường chuẩn". Các cặp này tạo nên một elip hoặc hyperbol hoàn chỉnh, đồng thời chúng tạo ra tâm đối xứng (trung điểm của đoạn thẳng nối hai tiêu điểm). Theo đó, elip và hyperbol cịn có thể định nghĩa theo một cách khác mà parabol khơng thể định nghĩa theo cách đó được. Đó là
• Elip là tập hợp các điểm P sao cho P F1 + P F2 = 2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm.
• Hyperbol là tập hợp các điểm P sao cho |P F1 −P F2| = 2a (hằng số), trong đó F1 và F2 là hai tiêu điểm.
Với định nghĩa này, parabol có thể xem như dạng suy biến của elip khi tiêu điểm thứ hai bị đẩy ra xa vơ tận. Cũng vậy, đường trịn xem như dạng suy biến của elip khi hai tiêu điểm gộp lại thành một.
Nhận xét 1.5.3. Theo định nghĩa hình học, có một số dạng suy biến khác nhau của đường cơnic, trong đó có trường hợp mặt phẳng đi qua đỉnh của nón. Giao tuyến trong trường hợp này có thể là một đường thẳng; một điểm hoặc một cặp đường thẳng cắt nhau .
Định nghĩa 1.5.4 (Định nghĩa đại số). Các đường cơnic cịn có thể xem như tập nghiệm của một phương trình bậc hai
ax2 + 2bxy +cy2 + 2dx+ 2ey+f = 0. Ký hiệu ∆ = a b d b c e d e f , δ = a b b c = ac−b2, S = a+e.
Các đại lượng này không thay đổi khi tịnh tiến gốc tọa độ và quay hệ trục tọa độ, nghĩa là sau khi biến đổi tọa độ phương trình đường cong có dạng
a0x2 + 2b0xy +c0y2 + 2d0x+ 2e0y +f0 = 0
thì các giá trị ∆, δ và S, tính theo các hệ số mới, giữ nguyên các giá trị ban đầu.
Dạng của đường cong biểu diễn bởi phương trình bậc hai được xác định như sau (xem Bảng 1.1).
1.6 Tính chất phản xạ của hyperbol
Trong mục này, chúng tơi trình bày một tính chất quan trọng và hữu ích của đường cong hyperbol. Đó là tính chất phản xạ (ánh sáng) của gương hyperbol, được ứng dụng nhiều trong thực tiễn.
Bảng 1.1: Các đường cong bậc hai (thiết diện cônic). ∆ δ S Dạng đường cônic 6= 0 < 0 hyperbol 6= 0 = 0 parabol 6= 0 > 0 ∆.S <0 elip thực 6= 0 > 0 ∆.S >0 elip ảo
= 0 < 0 Hai đường thẳng cắt nhau
= 0 > 0 điểm
= 0 = 0 d2−af <0 Hai đường thẳng song song ảo
= 0 = 0 d2−af = 0 Hai đường thẳng nhau
= 0 = 0 d2−af >0 Hai đường thẳng song song tách biệt