Đường thẳng BS có phương trình
(1 +y0)x−x0y −x0 = 0.
Tọa độ giao điểm P của JA và BS thỏa mãn hệ phương trình
(
(1−y0)x−x0y +x0 = 0,
(1 +y0)x−x0y −x0 = 0. (1.18) Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta có
x = x0
y0, (1.19)
thay vào vào phương trình đầu của hệ trên ta được (1−y0) x0 y0 −x0y+ x0 = 0 ⇔ x0 y0 −x0 −x0y +x0 = 0 ⇔y = 1 y0. (1.20) Vì S nằm trên (C) nên x20 +y02 = 1, (1.21) chia cả hai vế cho y02 ta được
x02
y02 + 1 = 1
Thay (1.19), (1.20) vào (1.22) ta được x2 + 1 = y2 ⇔ x 2 1 − y 2 1 = 1.
Vậy tập hợp điểm H là hyperbol (H) có phương trình x2 1 − y
2
1 = 1. Bài tập 1.7.8. (Đề xuất Olympic 30/4 năm 2010) Cho hyperbol (H) : x2
a2− y
2
3a2 = 1. Một đường trịn thay đổi ln đi qua tiêu điểmF1(−c,0)và đỉnhA2(a,0)cắt (H) tại ba điểm phân biệtM;N;P (khác A2). Gọi Glà trọng tâm của tam giácM N P. Chứng minh rằng N P.−−→
GM+M P.−−→
GN+ M N.−→
GP = −→
0.
Lời giải. Dễ dàng tính được F1(−2a; 0). Gọi I là trung điểm của đoạn
thẳng F1A2, ta có I
−a
2,0
. Suy ra đường thẳng trung trực của đoạn thẳng F1A2 có phương trình là x + a
2 = 0. Gọi tâm của đường tròn đi qua F1 vàA2 là K−a
2, m
thì bán kính của đường trịn là R thỏa mãn: R2 = KF12 = m2 + 9a
2
4 , nên đường trịn C có phương trình là (C) x+ a 2 2 + (y −m)2 = m2 + 9a 2 4 ⇔ x2 +y2 +ax−2my−2a2 = 0. Tọa độ giao điểm của (H) và (C) thỏa mãn hệ
x2 a2 − y 2 3a2 = 1 x2 +y2 +ax−2my −2a2 = 0. (1.23) Từ hệ trên ta có 2my = 4x2 +ax−5a2. (1.24) Khử y giữa hai phương trình của hệ trên ta được
x = a,
Ta cóx = alà hoành độ của điểmA, gọiM (xM;yM) ; N (xN;yN) ; P (xP;yP) với xM;xN;xP là ba nghiệm của (1.25). Theo định lý Viet ta có
xM +xN +xP = −3a
2 ; xMxN + xNxP +xPxM = −15a
2 + 12m2
16 .
Gọi G là trọng tâm tam giác M N P thì xG = xM +xN +xP
3 = −a
2 = xK.
Mặt khác, do (1.24) ta có 2myM = 4xM2 +axM −5a2; tương tự với các giao điểm N và P, nên
2m(yM +yN +yP) (1.26)
= 4h(xM +xN +xP)2 −2 (xMxN + xMxP +xNxP)i (1.27) +a(xM + xN +xP)−15a2
⇒ 2m(yM +yN +yP) = 6m2. (1.28) + Nếu m = 0 thì phương trình (1.25) trở thành (x−a)(4x+ 5a)2 = 0, do đó một trong ba điểm M, N, P trùng với A2, không thỏa mãn đề bài. + Nếu m 6= 0 thì từ (1.28) ta có yG = yM +yN +yP
3 = m = yK. Suy ra tọa độ điểm G−a
2, m
, trùng với điểm K, hay tam giác M N P đều. Vậy N P.−−→ GN +M P.−−→ GN + M N.−→ GP = N P −−→ GN + −−→ GN +−→ GP = −→ 0,
bài toán được chứng minh.
Tóm lại, chương này đã trình bày các định nghĩa và các khái niệm cơ bản về đường cong hyperbol, cách vẽ một hyperbol, thiết lập phương trình dạng chuẩn của hyperbol, đường tiệm cận của hyperbol, cách vẽ đồ thị của phương trình hyperbol, quan hệ hyperbol với các đường cơnic khác và tính chất phản xạ của hyperbol. Cuối chương, nêu một số bài tập áp dụng với lời giải cho sẵn về đường cong hyperbol.
Chương 2
ÁP DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HYPERBOL
Chương này trình bày áp dụng các tính chất hình học và vật lý của đường hyperbol trong hàng hải, trong kiến trúc, xây dựng, trong vật lý thiên văn và trong đời sống. Cuối chương nêu một số bài tập vận dụng đơn giản, giúp hiểu thêm các tính chất của đường hyperbol và khả năng ứng dụng của nó trong thực tiễn. Nội dung của chương lấy từ [4, 5] và các bài viết trên mạng internet giới thiệu về hyperbol.
2.1 Giới thiệu khái quát
Đường cong hyperbol xuất hiện trong nghiên cứu thiên văn: một số sao chổi ngồi vũ trụ đơi khi đi vào trường hấp dẫn của mặt trời theo một quỹ đạo hình hyperbol quanh mặt trời (với mặt trời như một tiêu điểm) và sau đó rời đi, khơng bao giờ nhìn thấy nữa (xem Hình 2.1). Đường nét hyperbol thường gặp trong kiến trúc, xây dựng các lâu đài, nhà thờ, cung điện, như: tòa nhà TWA ở sân bay Kennedy là một parabol trịn xoay hình hyperbol (hyperbolic paraboloid), cung thiên văn St. Louis Science Center Planetarium có dạng một hyperbol trịn xoay (hyperboloid), tháp làm mát ở các nhà máy điện hạt nhân, ... Với những cấu trúc này, lớp vỏ ngồi vật chất mỏng có thể trải rộng một khơng gian rộng lớn (xem Hình 2.2). Hyperbol cịn gặp trong kỹ thuật (bánh răng hình hyperbol, vơ
tuyến, quang học: kính viễn vọng, thấu kính, gương hyperbol) và trong xác định vị trí tàu thuyền trên biển, trên khơng, xác định nơi xẩy ra tiếng nổ. Hệ thống Loran (Long Range Navigation) quản lý hoạt động của tàu, thuyền, máy bay, . . .