2.4.1 Khoa học không gian
Để theo dõi các con tàu thám hiểm khơng gian quan sát các hành tinh ngồi hệ mặt trời, cơ quan nghiên cứu vũ trụ NASA sử dụng các gương phản xạ parabol lớn với đường kính bằng hai phần ba chiều dài của một
sân bóng đá. Khơng cần phải nói, ta cũng biết rằng nhiều bài tốn thiết kế được đặt ra do sức nặng của các gương phản xạ này. Một bài toán về trọng lượng gương đã được giải quyết bằng cách sử dụng một gương phản xạ hyperbol có cùng tiêu điểm với gương parabol để phản xạ các sóng điện từ tới tiêu điểm cịn lại của hyperbol mà tại đó có lắp đặt thiết bị thu tín hiệu (xem Hình 2.11 - 2.12).
Hình 2.11: Gương khơng gian. Hình 2.12: Sơ đồ gương.
Ví dụ 2.4.1. Với ăng-ten thu tín hiệu trong hình vẽ, tiêu điểm chung F được đặt ở vị trí cao 120 m bên trên đỉnh của parabol và tiêu điểm F0 của hyperbol cao 20 m phía trên đỉnh này. Đỉnh của hyperbol phản xạ cao 110 m phía trên đỉnh của parabol. Đưa vào hệ trục tọa độ bằng cách dùng trục của parabol làm trục Oy (chiều dương phía trên) và kẻ trục Ox đi qua tâm của hyperbol (chiều dương bên phải). Tìm phương trình của gương hyperbol phản xạ? Viết y theo x.
Lời giải. Khoảng cách giữa hai tiêu điểm F và F0 của hyperbol là
2c = 120 − 20 = 100 m. Do đó c = 50 và tâm của hyperbol ở độ cao 20 + 50 = 70 m phía trên đỉnh của parabol. Do đỉnh của hyperbol phản xạ cao 110 m phía trên đỉnh của parabol, nên đỉnh cách tâm là a = 110−70 = 40 (m).
Từ hệ thức c2 = a2 +b2 suy ra b2 = 502 −402 = 2500 −1600 = 900 và b = 30(m).
Trục thực của gương hyperbol là trục Oy, nên phương trình của gương là
y2
1600 − x
2
900 = 1. Giải y theo x ta nhận được y2 = 1600(x
2 + 900) 900 = 16(x2 + 900) 9 và y = ± s 16(x2 + 900) 9 = ±4 3 √ x2 + 900.
Do gương hyperbol nằm trên gốc tọa độ nên y = 4
√
x2 + 900
3 .
2.4.2 Hyperbol với hệ mặt trời
Một ứng dụng thú vị của các đường cônic liên quan đến quỹ đạo của các sao chổi trong hệ mặt trời của chúng ta. Trong số 610 sao chổi được biết trước năm 1970, 245 có quỹ đạo elip, 295 có quỹ đạo parabol và 70 có quỹ đạo hyperbol. Tâm của mặt trời là tiêu điểm của mỗi quỹ đạo và mỗi quỹ đạo có đỉnh là điểm mà ở đó sao chổi gần mặt trời nhất., như vẽ ở Hình 2.13. Chắc chắn là đã có nhiều sao chổi có quỹ đạo parabol hay hyperbol đã khơng được biết tới. Chúng ta chỉ có thể nhìn thấy các sao chổi như thế có một lần. Những sao chổi có quỹ đạo elip, chẳng hạn sao chổi Halley, là những ngơi sao duy nhất cịn tồn tại trong hệ mặt trời của chúng ta.
Nếu p là khoảng cách giữa đỉnh và tiêu điểm (đơn vị mét) và v là vận tốc của sao chổi ở đỉnh (đơn vị m/giây) thì các loại quỹ đạo được xác định như sau: 1. Elip: v < r 2GM p , 2. Parabol: v = r 2GM p ,
3. Hyperbol: v >
r
2GM p .
Trong mối hệ thức này, M = 1,9891030 kg (khối lượng của mặt trời) và G≈ 6,67 10 11 m3/(kg s)2 (hằng số hấp dẫn vũ trụ).
Hình 2.13: Quỹ đạo của sao chổi . Hình 2.14: Gương hyperbol.