⇒ b2 = 120 2602 1402 −1202 = 129600 13 .
Ta giới hạn hyperbol ở nhánh phải hay x ≥ 120. Vậy hyperbol cho ở Hình 2.15 được mơ tả bởi phương trình
x2
12400 − 13y
2
129600 = 1 với x ≥120.
2.5.3 Mơ hình hóa bằng hyperbol
Ví dụ 2.5.3. Biểu đồ ở Hình 2.16 mơ tả một thiết diện hyperbol của bức tượng đặt trước Phịng thí nghiệm Gia tốc Quốc gia Fermi ở Batavia, Illinois.
a) Viết phương trình mơ tả hai đường cong biên của bức tượng. b) Ở độ cao 16 feet (đơn vị đo chiều dài của Anh bằng 0,3048 m) thì chiều rộng của bức tượng bằng bao nhiêu? (Mỗi đơn vị trong mặt phẳng tọa độ tương ứng với 2 feet).
a = 1. Do đó phương trình hyperbol có dạng: x2
12 − y
2 b2 = 1.
Vì hyperbol đi qua điểm (2, 13) nên thayx = 2, y = 13 vào phương trình và giải ra theo b ta được
22
12 − 13
2
b2 = 1 ⇒ b ≈7,5. Vậy phương trình của hyperbol là
x2
12 − y
2
(7,5)2 = 1.
b) Ở độ cao 16 feet kể từ mặt đất tương ứng với điểm có tung độ y = 8 trên mặt phẳng tọa độ. Để tìm chiều rộng của bức tượng, ta thay thế giá trị này vào phương trình và giải tìm x, ta nhận được x ≈ 1,46.
Vậy ở độ cao 16 feet chiều rộng của bức tượng xấp xỉ bằng 5,84 feet.
2.5.4 Nghệ thuật nhiếp ảnh
Ví dụ 2.5.4. Một gương hyperbol được dùng để chụp ảnh tồn cảnh. Máy ảnh hướng về phía đỉnh của gương và được đặt ở vị trí sao cho ống kính trùng với một tiêu điểm của gương. Phương trình của thiết diện gương là
y2 16 − x
2 9 = 1,
trong đó, x và y được đo theo inch (đơn vị đo chiều dài của Anh: 1 inch
≈ 2,52 cm). Khoảng cách từ ống kính tới gương bằng bao nhiêu inch?
Lời giải. Từ phương trình của thiết diện gương ta thấy a2 = 16, b2 = 9.
Từ đó a = 4, b = 3. Ta tìm c theo cơng thức c2 = a2+b2 = 16 + 9 = 25, do đó c = 5. Do a = 4, c = 5 nên các đỉnh của gương là (0, −4) và (0,
4), và các tiêu điểm là (0, −5) và (0, 5). Máy ảnh ở dưới gương, vì thế
ống kính ở tại điểm (0, −5), đỉnh của gương ở tại điểm (0, 4) và khoảng
cách giữa hai điểm này bằng4−(−5) = 9. Kết quả là ống kính máy ảnh
2.6 Một số bài tập áp dụng
Trong mục này chúng tôi nêu thêm một số bài tập áp dụng của Hy- perbol để thấy rõ hơn những ứng dụng của nó trong khá nhiều các lĩnh vực quan trọng của đời sống thực tế.
Bài tập 2.6.1. Xác định khoảng cách từ một tàu biển tới hai trạm truyền tin: Một con tàu đang trên hành trình đi song song với một bờ biển thẳng và cách bờ 60 km. Hai trạm truyền tin, S1 và S2, nằm trên bờ biển, cách xa nhau 200 km (như ở Hình 2.3). Bằng cách tính giờ các tín hiệu vơ tuyến từ hai trạm, hoa tiêu của tàu xác định rằng con tàu đang ở giữa hai trạm và ở gần S2 hơn S1 là 80 km. Tìm khoảng cách từ con tàu tới mỗi trạm. Đáp số làm tròn đến ba chữ số thập phân.
Lời giải. (Tương tự Ví dụ 2.2.1) Nếu d1 và d2 lần lượt là khoảng cách
từ con tàu tới S1 và S2 thì hiệu d1 −d2 = 80 và con tàu phải nằm trên hyperbol với tiêu điểm tại S1 và S2, đồng thời hiệu hai khoảng cách cố định bằng 80, như vẽ minh họa ở Hình 2.4. Để đưa ra phương trình của hyperbol, ta biểu diễn hiệu cố định này bằng 2a. Như vậy, với hyperbol trong Hình 2.4 ta có
c = 100, a = 80
2 = 40, b
2 = 1002 −402 = 8400. Phương trình của hyperbol này là
x2
1600 − y
2
8400 = 1.
Thay y = 60 vào phương trình và giải theo x (Hình 2.4), ta được x2 = 2285,714. Do đó x = 47,809 (Nghiệm âm bị loại, vì con tàu ở gần S2 hơn S1). Ta dễ dàng tính được:
Khoảng cách từ con tàu tới S1 : d1 ≈159,523 km.
Bài tập 2.6.2. Khi một máy bay bay nhanh hơn tốc độ âm thanh thì các sóng âm tạo ra một hình nón âm thanh phía sau máy bay. Nếu máy bay bay song song với mặt đất thì nón âm thanh cắt mặt đất theo một hình hyperbol với máy bay ở ngay trên tâm của nó (Hình 2.17). Tiếng ầm vang nghe thấy dọc theo hyperbol. Nếu ta nghe thấy tiếng ầm vang thì có nghĩa là ta đang ở trong vùng hyperbol có phương trình:
x2 100 − y
2 4 = 1,
trong đó x và y đo theo dặm Anh. Khoảng cách theo chiều ngang ngắn nhất từ máy bay tới nơi nghe thấy tiếng máy bay bằng bao nhiêu?