Đối với bài tốn phân tích ổn định tĩnh chỏm cầu thoải FGM, nhóm tác giả
Shahsial và các cộng sự [82] đã có những nghiên cứu rất chi tiết dựa trên lý thuyết Donnell – Mushtari – Vlasov và phương pháp biến phân. Các công thức giải tích của tải nhiệt tới hạn đã nhận được cho ba trường hợp vỏ chịu tác dụng của tải nhiệt tăng đều, tải nhiệt biến đổi tuyến tính và tải nhiệt biến đổi phi tuyến. Boroujerdy và Eslami [35] đã dựa trên CST và các phương trình động học phi tuyến của Sanders để khảo sát ứng xử hóp (snap- through) đối xứng trục của chỏm cầu thoải FGM tựa bản lề có hai lớp áp điện ở mặt trên và mặt dưới chịu tác dụng của tải cơ – nhiệt – điện. Trong đó, nhiệt độ được xem xét với hai trường hợp là nhiệt độ tăng đều và nhiệt độ biến đổi phi tuyến dọc theo chiều dày vỏ. Gần đây, các nhóm tác giả Việt Nam cũng có một số nghiên cứu về vấn đề này. Cụ thể, tác giả Vũ Thị Thùy Anh [1], các tác giả Đào Huy Bích và Hồng Văn Tùng [22], Hoàng Văn Tùng [104, 106] và Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [43] đã giới thiệu cách tiếp cận giải tích để phân tích ổn định tĩnh của chỏm cầu thoải biến dạng đối xứng trục chịu tác dụng của áp lực ngoài và nhiệt độ. Trong các nghiên cứu này, hệ phương trình chủ đạo được thiết lập dựa trên CST hoặc FSDT trong đó có xét đến tính phi tuyến hình học và độ khơng hồn hảo ban đầu. Biểu thức hiển của tải tới hạn và mối quan hệ tải trọng – độ võng đã nhận được bằng cách áp dụng phương pháp Galerkin dựa trên tiếp cận theo phương pháp hàm ứng suất hoặc phương pháp chuyển vị. Đặc biệt, trong các nghiên cứu [1, 43, 104, 106] đã xét đến ảnh hưởng của nền đàn hồi và sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu của vỏ; cơng trình [1, 43] đã xét đến trường hợp chỏm cầu thoải chịu tác dụng của nhiệt độ biến thiên phi tuyến dọc theo chiều dày vỏ.
Đối với bài tốn phân tích động lực phi tuyến chỏm cầu thoải FGM,
Ganapathi [56] đã nghiên cứu ổn định động lực của chỏm cầu cơ tính biến thiên điều kiện biên ngàm dưới tác dụng của áp lực ngồi. Các tính chất hiệu dụng của vật liệu được xác định bằng phương pháp đồng nhất hóa. Các hệ thức cơ bản được
thiết lập dựa trên lý thuyết biến dạng trượt và tính phi tuyến hình học của von Kármán. Hệ phương trình chủ đạo được giải bằng phương pháp tích phân số Newmark kết hợp với thuật toán lặp Newton- Raphson. Fu và các cộng sự [55] đã khảo sát ứng suất và độ võng của chỏm cầu thoải chịu tải cơ nhiệt phụ thuộc thời gian dựa trên giả thuyết Timoshenko – Mindlin và tính phi tuyến von Kármán. Hệ phương trình chuyển động của chỏm cầu có xét đến biến dạng trượt ngang và các thành phần quán tính được thiết lập trên cơ sở nguyên lý Hamilton. Các phương trình này và phương trình truyền nhiệt được giải bằng cách áp dụng phương pháp CP (the collocation point method) và sơ đồ Newmark beta kết hợp với phương pháp sai phân hữu hạn. Nhóm nghiên cứu do tác giả Đào Huy Bích đứng đầu cũng có một số nghiên cứu về ổn định động và dao động phi tuyến của loại vỏ này. Cụ thể, các tác giả Đào Huy Bích và Lê Khả Hịa [20] đã phân tích dao động của chỏm cầu thoải FGM chịu tác dụng của tải cơ. Đào Huy Bích và các cộng sự [23] khảo sát tải tới hạn động và tĩnh của chỏm cầu thoải FGM dưới tác dụng của tải cơ nhiệt kết hợp. Năm 2013, tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự [26] tiếp tục nghiên cứu ổn định động và dao động của chỏm cầu thoải FGM biến dạng đối xứng trục dưới tác dụng của áp lực ngoài và nhiệt độ được đặt trên nền đàn hồi. Điểm chung trong các nghiên cứu này là các phương trình cơ bản được thiết lập dựa trên CST có tính đến tính phi tuyến hình học von Kármán và độ khơng hồn hảo ban đầu của vỏ. Đặt bài toán theo ứng suất và áp dụng phương pháp Galerkin để tìm hệ phương trình chủ đạo của chỏm cầu thoải. Các phương trình này được giải bằng cách áp dụng phương pháp Runge – Kutta để nhận được đáp ứng động lực phi tuyến của vỏ, tải tới hạn động được xác định bằng cách áp dụng tiêu chuẩn Budiansky – Roth.
Cũng với phương pháp hoàn tồn tương tự như trên, bài tốn ổn định động và dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM đã được giới thiệu bởi các tác giả Đào Huy Bích và các cộng sự [27] và Nguyễn Đình Đức và các cộng sự [50]. Trong đó, ở cơng trình [27], các tác giả đã xem xét đến kết cấu chỏm cầu thoải với lớp phủ FGM cịn trong cơng trình [50], vỏ được xét có hai lớp FGM đối xứng (quy luật sigmoid).