Tần số dao động cơ bản

3.3 .Các hệ thức, phương trình cơ bản

3.3.4. Hệ phương trình chuyển động

3.5.2. Tần số dao động cơ bản

Bảng 3.2 khảo sát tần số dao động cơ bản của bốn mơ hình chỏm cầu thoải sandwich FGM khi tỷ phần thể tích thay đổi. Có thể thấy, với bộ số liệu này, một xu thế tương tự xảy ra như trường hợp vỏ thoải hai độ cong sandwich FGM. Đó là chỏm cầu thoải sandwich FGM với mơ hình 1B có tần số dao động cơ bản lớn nhất trong khi giá trị này nhỏ nhất tương ứng với mơ hình 1A. Ngồi ra, chỉ số tỷ phần thể tích k thay đổi sẽ ảnh hưởng tới tần số dao động cơ bản của cả bốn mơ hình. Trong đó, tần số này đồng biến với kt trong trường hợp mơ hình 1A và 2A còn nghịch biến với k trong trường hợp mơ hình 1B và 2B.

Bảng 3.2. So sánh tần số dao động cơ bản của 4 mơ hình chỏm cầu thoải sandwich FGM (×103 rad/s) (a1m, R3m, h0 05. m, h ht / 0 1. ,  T 0K).

 t

k k Mơ hình 1A Mơ hình 1B Mơ hình 2A Mơ hình 2B

0.2 2.7368 5.8926 3.1161 4.7059

1 2.8610 5.4192 3.7549 3.7530

5 2.9916 5.0263 4.7039 3.1165

10 3.0222 4.9460 4.9997 2.9964

Vai trò của nhiệt độ và độ cong của chỏm cầu thoải sandwich FGM (mơ hình 1A) đối với tần số dao động cơ bản được mô tả trong bảng 3.3. Từ bảng này có thể thấy, sự có mặt của nhiệt độ làm giảm tần số dao động cơ bản của vỏ. Trong khi ảnh hưởng của độ cong lên tần số này cũng rất rõ nét. Cụ thể, khi tỷ số a R/ giảm tức là vỏ càng thoải thì tần số dao động cơ bản cũng giảm đi.

Bảng 3.4 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ số h ht / và nền đàn hồi lên tần số dao động cơ bản của chỏm cầu thoải (mơ hình 1A). Kết quả nhận được cho thấy khi tỷ số

/

t

h h tăng hay nói cách khác là bề dày lớp FGM tăng thì tần số dao động cơ bản của vỏ tăng với cả hai trường hợp có và khơng xét đến ảnh hưởng của nhiệt độ. Tần số này lớn nhất khi h ht / 0 5. , tương ứng với trường hợp mơ hình sigmoid đối xứng, vỏ chỉ gồm hai lớp FGM đối xứng nhau. Nguyên nhân là do khi chiều dày lớp FGM tăng lên tức là chiều dày lõi kim loại giảm, kết cấu trở nên cứng hơn, dẫn đến tần số dao động cơ bản tăng lên.

Bảng 3.3. Ảnh hưởng của nhiệt độ đến tần số dao động cơ bản của chỏm cầu thoải sandwich FGM (×103 rad/s) (a1m, h0 05. m, h ht / 0 1. ,kt 1). / a R  T 0K  T 100K  T 200K  T 300K  T 400K 0.5 4.1681 4.0529 3.9059 3.7274 3.5180 0.4 3.3793 3.2502 3.0898 2.8984 2.6764 0.3 2.6055 2.4504 2.2599 2.0320 1.7630 0.2 1.8658 1.6575 1.3912 1.0380 0.4603

Các kết quả từ bảng 3.4 còn cho thấy khi chỏm cầu được đặt trên nền đàn hồi sẽ có tần số dao động cơ bản lớn hơn khi không đặt trên nền đàn hồi. Tuy nhiên sự chênh lệch giữa tần số dao động cơ bản của vỏ trên nền đàn hồi Pasternak và nền Winkler trong trường hợp này tương đối nhỏ.

Bảng 3.4. Ảnh hưởng của bề dày lớp FGM lên tần số dao động cơ bản của chỏm cầu thoải sandwich FGM (×103 rad/s) (a1m, R3m, h0 05. m, kt 1).

/ t h h 0 T K    T 300K Không nền Nền Winkler Nền Pasternak Không nền Nền Winkler Nền Pasternak 0.1 2.8374 2.8605 2.8610 2.2984 2.3269 2.3275 0.2 3.0336 3.0570 3.0575 2.4956 2.5240 2.5246 0.3 3.2466 3.2704 3.2710 2.7059 2.7345 2.7351 0.4 3.4820 3.5064 3.5070 2.9349 2.9639 2.9646 0.5 3.7472 3.7724 3.7730 3.1898 3.2194 3.2201 3.5.3. Đường cong đáp ứng động lực

Trong phần này, luận án khảo sát đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM (mơ hình 1A) với các thơng số đầu vào như sau :

1



a m, R3m, h0 05. m, kt 1, h ht/ 0 1. ,  0 01. , q105sin100t(N/m2), 300

T K

  ,  3(các trường hợp thay đổi sẽ được chú thích cụ thể dưới hình vẽ).

3.5.3.1. Dao động tự do phi tuyến

Các hình 3.2 và 3.3 khảo sát đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM trong trường hợp dao động tự do phi tuyến và tuyến tính khơng cản khi vỏ được đặt trước biên độ. Có thể thấy, dao động tự do tuyến tính có biên độ độ võng lớn hơn so với dao động tự do phi tuyến, điều này đặc biệt rõ nét trong miền âm của biên độ độ võng. Ngồi ra, từ hai hình này cho thấy chênh lệch giữa dao động phi tuyến và tuyến tính đồng biến với giá trị biên độ độ võng đặt trước.

Hình 3.2. Đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao động tự do ( 0,  T 0K,

 0 0 1.

W m).

Hình 3.3. Đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao động tự do ( 0,  T 0K,

 0 0 05.

W m).

Hình 3.4 và 3.5 mơ tả đường cong pha thể hiện quan hệ giữa biên độ - tốc độ dao động của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao động tự do khơng cản và có cản. Từ hình 3.4 có thể thấy, trong trường hợp dao động tự do không cản, đường cong pha của vỏ là đường cong khép kín. Do đó dao động tự do không cản của chỏm cầu sandwich FGM là dao động điều hịa. Ngược lại, trên hình 3.5, khi vỏ chịu tác dụng của cản nhớt, các đường cong này khơng cịn khép kín nữa, tức là dao động khơng cịn điều hịa và ta có thể quan sát trên mặt phẳng pha một dao động tắt dần.

Hình 3.4. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM dao động

tự do không cản (W 0 0 1. m,

 T K  

Hình 3.5. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

dao động tự do phi tuyến có cản (W 0 0 1. m,  T 0K,  10).

Các nhận xét trên cũng phù hợp với các nhận xét được đưa ra bởi tác giả Nguyễn Văn Khang [5] về dao động điều hịa và khơng điều hòa trong dao động kỹ thuật nói chung.

3.5.3.2. Dao động cưỡng bức phi tuyến

Khác với dao động tự do phi tuyến, đường cong độ võng – thời gian của dao động cưỡng bức phi tuyến của chỏm cầu sandwich FGM là những đường cong nhấp nhơ khơng trơn (hình 3.6). Tương tự trường hợp dao động tự do đã khảo sát ở mục trên, với số liệu khảo sát trong hình 3.7, biên độ độ võng của dao động cưỡng bức phi tuyến cũng lớn hơn của dao động cưỡng bức tuyến tính. Hình 3.7 cịn cho thấy hiện tượng tương tự như hiện tượng phách điều hòa xuất hiện khi tần số lực cưỡng bức gần với tần số dao động cơ bản (bảng 3.2). Ngồi ra, có thể thấy rõ ràng chiều dài phách của dao động cưỡng bức tuyến tính dài hơn so với chiều dài phách của dao động cưỡng bức phi tuyến.

Hình 3.6. So sánh đường cong độ võng - thời gian của dao động cưỡng bức và tự

do phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM (  10, T 0, 7 10 1000  sin q t(N/m2)). Hình 3.7. So sánh đường cong độ võng - thời gian của dao động cưỡng bức phi tuyến và tuyến tính của chỏm cầu thoải

sandwich FGM ( 0,  T 0,

5

10 3000

 sin

q t(N/m2)).

Hình 3.8 cho thấy ảnh hưởng tương đối rõ nét của nhiệt độ lên đường cong độ

võng – thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM. Cụ thể, nhiệt độ làm tăng biên độ độ võng của đường cong độ võng – thời gian. Tương tự như với vỏ thoải, khi chỏm cầu thoải chịu tác dụng của nhiệt độ, biên độ độ võng cũng chỉ xuất hiện ở miền âm.

Ảnh hưởng của độ khơng hồn hảo lên đường cong độ võng - thời gian được thể hiện trên hình 3.9. Có thể thấy, với miền độ võng dương, chỏm cầu thoải khơng hồn hảo có biên độ độ võng nhỏ hơn so với chỏm cầu thoải hoàn hảo. Tuy nhiên, một xu thế ngược lại xảy ra trong miền âm của độ võng.

Hình 3.8. Ảnh hưởng của nhiệt độ lên đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM (  3).

Hình 3.9. Ảnh hưởng của độ khơng hồn hảo lên đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich

FGM ( 0 03. , T 0K).

Hình 3.10 và 3.11 so sánh đường cong độ võng - thời gian của các mơ hình chỏm cầu thoải sandwich FGM. Từ kết quả khảo sát có thể thấy với bộ số liệu xem xét, chỏm cầu với mơ hình 1A có biên độ độ võng lớn hơn mơ hình 2A trong khi vỏ với mơ hình 2B có biên độ độ võng lớn hơn mơ hình 1B. Điều này là phù hợp với bảng 3.2, đó là vỏ có tần số dao động cơ bản lớn hơn tức là vỏ cứng hơn thì biên độ độ võng của đường cong độ võng – thời gian sẽ nhỏ hơn.

Ảnh hưởng của tỷ số h ht / và chỉ số tỷ phần thể tích kt lên đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM lần lượt được chỉ ra trong hình 3.12 và 3.13. Rõ ràng, khi tỷ số h ht/ giảm tức là chiều dày lớp FGM giảm hoặc

khi chỉ số kt của mơ hình 1A giảm tức là tỷ phần thể tích của kim loại tăng lên làm

cho độ cứng của kết cấu giảm. Kết quả là biên độ của đường cong độ võng - thời gian của vỏ tăng lên.

Hình 3.10. So sánh đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải sandwich FGM với

hai mơ hình 1A và 2A.

Hình 3.11. So sánh đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải sandwich FGM với

hai mơ hình 1B và 2B.

Hình 3.12. Ảnh hưởng của bề dày lớp FGM lên đường cong độ võng - thời

gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM ( T 200K).

Hình 3.13. Ảnh hưởng của tỷ phần thể tích lên đường cong độ võng - thời gian

của chỏm cầu thoải sandwich FGM (kt k).

Từ hình 3.14 cho thấy độ cong của chỏm cầu thoải sandwich FGM có ảnh hưởng tương đối lớn đến đường cong độ võng - thời gian của vỏ. Khi tỷ số a R/

giảm, tức là độ thoải của vỏ tăng làm cho đường cong độ võng - thời gian của vỏ có biên độ tăng rất mạnh. Trong khi đó, hình 3.15 chỉ ra rằng, đối với chỏm cầu thoải sandwich FGM biến dạng đối xứng trục, ảnh hưởng của cản nhớt lên đường cong độ võng - thời gian là rất mờ nhạt.

Hình 3.14. Ảnh hưởng của tỷ số a R/

lên đường cong độ võng - thời gian của chỏm cầu thoải sandwich FGM

( T 0K).

Hình 3.15. Ảnh hưởng của cản nhớt lên đường cong độ võng - thời gian của

chỏm cầu thoải sandwich FGM ( T 0K).

Khi tần số lực cưỡng bức gần bằng tần số dao động cơ bản như trong bảng 3.4, ta có thể quan sát thấy hiện tượng tương tự hiện tượng phách điều hòa của dao động tuyến tính xảy ra như trên các hình 3.16 và 3.17. Ngồi ra từ hình 3.16 có thể thấy, khi tần số lực cưỡng bức càng tiến gần tới giá trị của tần số dao động cơ bản biên độ phách và chiều dài phách đều tăng lên. Mặt khác, khi biên độ lực cưỡng bức tăng thì biên độ phách tăng như có thể quan sát trên hình 3.17.

Hình 3.16. Ảnh hưởng của tần số lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa của chỏm cầu thoải sandwich FGM ( 0,  T 0K, Q105N/m2).

Hình 3.17. Ảnh hưởng của biên độ lực cưỡng bức tới hiện tượng phách điều hòa của chỏm cầu thoải sandwich FGM

( 0,  T 0K,  2500rad/s).

Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM trong một chiều dài phách khi tần số lực cưỡng bức gần với tần số dao động cơ bản trong hai trường

hợp dao động khơng cản và có cản được khảo sát trên hình 3.18 và 3.19. Có thể thấy, trong khi dao động tự do không cản của chỏm cầu sandwich FGM là dao động điều hịa sau một chu kì thì dao động cưỡng bức phi tuyến khơng cản là dao động điều hòa sau một phách. Tương tự như với dao động tự do, mặt phẳng pha của dao động cưỡng bức có cản cũng thể hiện một dao động tắt dần.

Hình 3.18. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q106sin2500t (N/m2),  0, 0

 T K).

Hình 3.19. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q106sin2500t (N/m2),  30, 0

 T K).

Khi tần số lực cưỡng bức tiến ra xa so với tần số dao động riêng (hình 3.20 và 3.21) các đường cong pha trong một phách điều hòa trở nên phức tạp hơn, đặc biệt khi tần số này lớn hơn rất nhiều so với tần số dao động riêng, các đường cong pha rất khó có thể quan sát được (hình 3.21). Hình 3.22 và 3.23 khảo sát đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải khi biên độ lực cưỡng bức rất lớn. Lúc này, có thể quan sát thấy hiện tượng chaos, tức là các đường cong pha khơng cịn ổn định nữa mà dường như cắt nhau một cách hỗn loạn. Đây là hiện tượng thú vị khi nghiên cứu các hệ động lực phi tuyến. Điều này cho thấy rằng dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM là dao động không dự báo được dài hạn và rất nhạy cảm với điều kiện ban đầu (thường được nhắc đến như là hiệu ứng cánh bướm –butterfly effect). Đối với bộ số liệu khảo sát, hiện tượng này xảy ra khi biên độ lực cưỡng bức

rất lớn ( 2

10 8

 ^ ( / )

Hình 3.20. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q106sin1000t(N/m2),  0,

0

 T K).

Hình 3.21. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q105sin50000t(N/m2),  0,

0

 T K).

Hình 3.22. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q108sin2500t(N/m2),  0, 0

 T K).

Hình 3.23. Đường cong quỹ đạo pha của chỏm cầu thoải sandwich FGM

(q108sin1000t(N/m2),  0, 0

 T K).

3.6. Kết luận chương 3

Trong phạm vi chương này, luận án đã giải quyết một số vấn đề sau:

i) Đã thiết lập được các phương trình chủ đạo dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, có tính đến tính phi tuyến hình học von Kármán cho bài tốn phân tích dao động phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM biến dạng đối xứng trục chịu tác dụng của áp lực ngồi và nhiệt độ. Đặt bài tốn theo chuyển vị.

ii) Khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu, cản nhớt, biên độ và tần số lực cưỡng bức … lên tần số dao động cơ bản và đáp ứng động lực của chỏm cầu thoải.

Từ các kết quả nhận được có thể rút ra một số kết luận sau:

i) Sự có mặt của nhiệt độ làm giảm tần số dao động cơ bản và làm tăng biên độ độ võng của đường cong độ võng - thời gian phi tuyến của chỏm cầu thoải sandwich FGM biến dạng đối xứng trục.

ii) Với bộ số liệu khảo sát, chỏm cầu thoải sandwich FGM biến dạng đối xứng trục với mơ hình 1B có tần số dao động cơ bản lớn nhất cịn mơ hình 1A có tần số dao động cơ bản nhỏ nhất.

iii) Dao động tự do không cản của chỏm cầu thoải sandwich FGM là dao động điều hịa sau một chu kì, cịn dao động cưỡng bức khơng cản là dao động điều hịa sau một phách.

iv) Dao động phi tuyến cưỡng bức của chỏm cầu thoải, khi biên độ và tần số lực cưỡng bức đạt đến giá trị nhất định, sẽ xảy ra hiện tượng chaos, lúc này các đường cong pha trên mặt phẳng pha cắt nhau rất phức tạp không tuân theo một quy luật nào.

Các kết quả liên quan của chương này được trình bày trong các bài báo đã công bố [8, 9]*.

CHƯƠNG 4: PHÂN TÍCH PHI TUYẾN ỔN ĐỊNH TĨNH VÀ ĐỘNG CỦA VỎ TRỐNG, VỎ TRỤ TRÒN SANDWICH FGM GẤP NẾP VÀ LÕI GẤP

NẾP CÓ NỀN ĐÀN HỒI BAO QUANH 4.1. Giới thiệu

Nội dung chính của chương 4 là phân tích phi tuyến ổn định tĩnh và động của vỏ trống sandwich FGM gấp nếp hoặc có lõi gấp nếp chịu tác dụng của áp lực ngoài và lực nén dọc đường sinh của kết cấu. Điểm nổi bật của chương này là:

i) Thiết lập được các công thức cơ bản cho vỏ trống, vỏ trụ sandwich FGM gấp