Chương 1 đó mang l i một cỏi nhỡn tổng quan về kỹạ thu t nộn nh s . ậ ả ố
Nhiều thuật toỏn nộn ảnh đó đượ đề xuất. Trong đú, những thuật toỏn trờn cơ c sở biến đổi wavelet như EZW, SPIHT, WDR, ASWDR… thể hiện tớnh ưu
việt khụng chỉ v t lề ỷ ệ nộn cao mà cũn phự h p v i truy n d n l y ti n và kh ợ ớ ề ẫ ũ ế ả
năng chống sai lỗi đường truyền. Luận văn sẽ tập trung vào phõn tớch m t s ộ ố
thuật toỏn nộn ảnh wavelet tiờu biểu. Từ đ đ ú ỏnh giỏ ưu nhược đ ểi m cũng như
ứng d ng c a chỳng trong th c t . ụ ủ ự ế
Ngoài ra, chương 1 cũng đưa ra một số thụng số giỳp đỏnh giỏ chất
lượng ảnh giải nộn. Đú là sai số bỡnh phương trung bỡnh MSE và tỉ số tớn hiệu trờn nhiễu đỉnh PSNR. õy là cơ sởĐ để so sỏnh hi u n ng gi a cỏc s đồ nộn ệ ă ữ ơ
CHƯƠNG 2: CƠ Ở S BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC 2.1.Phộp biến đổi wavelet
Wavelet là cỏc hàm được tạo ra từ một hàm c sở ọơ g i là prototype ho c ặ
mother wavelet bằng cỏch co gión (scaling) và dịch (shift) trong mi n th i ề ờ
gian (tần số). Nếu ký hiệu hàm wavelet mẹ là ψ(t), cỏc hàm wavelet khỏc cú thể biểu diễn như sau:
Với a và b là hai s th c b t k , th hi n s co dón (dilation) và d ch ố ự ấ ỳ ể ệ ự ị
(translation) tương ứng trong miền thời gian. Từ biểu thức trờn, cú thể thấy rằng hàm wavelet mẹ được biểu diễn bởi biểu thức :
Với cỏc giỏ tr b t k a 1 và b 0, ta cú : ị ấ ỳ ≠ ≠
Như chỉ ra trong biểu thức trờn, ψa,0 chớnh là một phiờn bản của hàm wavelet mẹ ψ(t) b co dón theo trục thời gian t bởi hệ ốị s a, co gión biờn độ v i ớ
hệ số a . Tham số a gõy ra sự co hàm ψ(t) theo trục thời gian khi a<1 và trải rộng ψ(t) khi a>1. Đú là lý do tại sao a được gọi là tham số co dón.
Về mặt toỏn h c, hàm ọ ψa,b chớnh là kết quả dịch hàm ψa,0 về bờn phải một lượng b khi b>0 và dịch về bờn trỏi một lượng b khi b<0. Đú là lý do b
Hỡnh 2.1 minh họa hàm wavelet mẹ và sự co dón của nú trong mi n ề
thời gian với tham số co dón là a=α. Hàm wavelet mẹ được minh h a trờn ọ
hỡnh 2.1.a, co tớn hiệu trờn trục thời gian khi α<1 được thể hiện ở hỡnh 2.1.b,
trải rộng tớn hiệu trờn trục thời gian khi α>1 đ ợu c minh họa ở hỡnh 2.1.c.
Hỡnh 2.1 :Hàm wavelet và sự co dón trong miền thời gian
Căn c vào ứ định ngh a wavelet này, bi n ĩ ế đổi wavelet WT (wavelet
transform) của một hàm tớn hiệu f(t) được biểu diễn bởi biểu thức toỏn học:
với :
trong đ ψ ωú ( ) là bi n đổi Fourier củế a hàm wavelet m . ẹ
Nếu a và b là nh ng bi n liờn tụữ ế c (khụng r i r c) và f(t) là hàm liờn t c, ờ ạ ụ
W(a,b) được gọi là bi n ế đổi wavelet liờn tục CWT (Continuous Wavelet Transform). Như vậy, CWT ỏnh x hàm m t chi u ạ ộ ề f(t) thành hàm hai chiều W(a,b) với hai biến thực liờn tục a và b.
2.1.1.Biến đổi wavelet rờ ại r c
Do tớn hiệu đầu vào (c thụ ể là ảnh số) được xử lý bở ệ ống tớnh toỏn i h th số, vỡ vậy cần phải định nghĩa một phiờn bản rời rạc của biến đổi wavelet.
Trước khi định nghĩa biến đổi wavelet rời rạc, cần phải xỏc định cỏc tham số co dón và dịch rời rạc (a và b) thay thế cho cỏc giỏ tr liờn tị ục tương ứng. Cú
nhiều cỏch để rờ ại r c giỏ tr a, b và bi u di n wavelet tương ng. Hướng ti p ị ể ễ ứ ế
cận thụng thường nhất là rời rạc húa a và b theo biểu thức :
Khi đú, cỏc hàm wavelet r i r c bi u di n nh sau : ờ ạ ể ễ ư
Người ta thường lựa chọn: a0 = 2 và b0 = 1. Do đú a = 2m và b = n2m. Phương phỏp lấy mẫu này gọi là lấy mẫu nhị tố (dyadic sampling) và quỏ trỡnh phõn tớch tương ứng của tớn hiệu gọi là phõn tớch nhị tố (dyadic
decomposition). Sử dụng nh ng giỏ tr này, ta cú thể biểu diễn wavelet rời rạc ữ ị
cấu thành một họ cỏc hàm cơ sở trực chuẩn như sau:
Cỏc hệ ố s cho hàm f(t) được tớnh theo cụng thức :
Với phõn tớch nh t , cỏc h s wavelet thu được nh sau : ị ố ệ ố ư
f(t) được khụi phục từ cỏc hệ số wavelet rời rạc theo cụng thức :
Với bi n đổi trờn, hàm f(t) đầu vào v n liờn t c trong khi cỏc h s bi n ế ẫ ụ ệ ố ế đổi là rờ ạ Đi r c. õy là bi n ế đổi wavelet thời gian rời rạc DTWT (Discrete Time
Wavelet Transform).
Cỏc ứng dụng xử lý ảnh số thực thi bởi mỏy tớnh số. Tớn hiệu f(t) cần
được rờ ại r c húa b i vỡ cỏc m u c a d li u g c ở ẫ ủ ữ ệ ố được biểu di n b i m t s ễ ở ộ ố
lượng bit hữu hạn. Khi hàm đầu vào f(t) và tham số a, b được bi u di n dưới ể ễ
dạng rời rạc, biến đổi được gọi là biến đổi wavelet r i r cờ ạ DWT (Discrete Wavelet Transform) của tớn hiệu f(t).
Biến đổi wavelet r i rạc trởờ thành cụng cụ xử lý hi u qu sau khi ệ ả
Mallat đưa ra lý thuyết biểu diễn đa phõn giải của tớn hiệu. Phương phỏp đa
phõn giải biểu di n mễ ột hàm (tớn hiệu) với tập cỏc hệ số, m i h sốỗ ệ cung c p ấ
i
Ưu đ ểm của DWT so với biến đổi Fourier là phõn tớch đa phõn giải được xỏc định cả trong mi n th i gian và t n sốề ờ ầ . K t qu là DWT phõn ró tớn ế ả
hiệu số vào cỏc băng con khỏc nhau sao cho cỏc băng tần số thấp cú độ phõn giải tần số tố ơt h n (độ phõn gi i th i gian kộm h n) so v i cỏc b ng con t n ả ờ ơ ớ ă ầ
số cao.
DWT ngày càng được sử dụng r ng rói cho k thu t nộn nh nh ộ ỹ ậ ả ờ
nh ng u ữ ư đ ểi m như truyền dẫn ảnh lũy tiến, dễ dàng tạo ra cỏc vựng nộn đặc biệt… Do những đặc đ ểi m này, DWT là cơ sở của tiờu chuẩn nộn JPEG2000.
2.1.2.Khỏi niệm phõn tớch đa phõn giải
Nhiều hàm cơ sở wavelet tr c chu n ự ẩ được tỡm ra trong nh ng n m ữ ă
1980 cú dạng như sau :
Lý thuyết phõn tớch đa phõn gi i đưa ra m t hướng ti p c n cú phương ả ộ ế ậ
phỏp để tạo ra cỏc hàm wavelet. í tưởng c a phõn tớch a phõn gi i là x p x ủ đ ả ấ ỉ
hàm f(t) ở cỏc mức phõn giải khỏc nhau.
Trong lý thuyế đt a phõn giải, c n xem xột hai hàm: hàm wavelet mẹ ầ
ψ(t) và hàm tỉ lệ Φ(t) (scaling function). Cỏc phiờn b n t lệả ỉ và d ch c a hàm ị ủ
tỷ lệ là:
Với m c ố định, t p cỏc hàm ậ Φm,n(t) là trực chu n. K t h p tuy n tớnh ẩ ế ợ ế
Tập cỏc hàm nh vậư y t o thành b i s kế ợạ ở ự t h p tuy n tớnh cỏc ph n t ế ầ ử
trong tập hợp {Φm,n(t)}. Cỏc tập này g i là vựng ọ span {Φm,n(t)}. Xem Vm là khụng gian vectơ tương ứng v i vựng {Φm,n(t)}. Giả sửớ độ phõn gi i t ng khi ả ă
giảm m, từ đ ú thu được những khụng gian vectơ xấp x kế ếỉ ti p nhau (m i ỗ
khụng gian Vj+1 nằm trong khụng gian phõn giải kế tiếp Vj):
Tập cỏc khụng gian con tho món nh ng tớnh ch t sau õy : ả ữ ấ đ
1.Mỗi khụng gian con nằm trong khụng gian con của độ phõn giải kế tiếp. Ngh a là với mọi m ta cú : ĩ
2.Hợp của cỏc khụng gian con tạo ra khụng gian hàm khả tớch bỡnh phương (square integrable function) L2(R), với R là tập số thực:
3.Giao của tất cả cỏc khụng gian con t o thành tạ ập rỗng:
4.Phộp biến đổi t lệ mộỷ t hàm t khụng gian phõn gi i V0 bở ệừ ả i h số 2m
sẽ dẫn đến khụng gian cú độ phõn giải thấp hơn là Vm.
5.Dịch một hàm trong khụng gian phõn giải khụng làm thay đổi độ
phõn giải khụng gian.
6.Luụn tồn tại m t tộ ập {Φ(t-n) thuộc V0 với n nguyờn} t o thành m t c ạ ộ ơ
Nguyờn lý cơ bản c a phõn tớch a phõn gi iủ đ ả là: bất c khi nào cỏc ứ
thuộc tớnh trờn được thỏa món, luụn luụn tồn tại một cơ sở wavelet trực chuẩn
ψm,n(t) sao cho:
Trong đú:
Pj là hỡnh chiếu trực giao c a ψủ lờn khụng gian Vj. Ứng với mỗi giỏ trị m, cú thể coi hàm wavelet ψm,n(t) tạo ra khụng gian vectơ Wm. Từ biểu thức trờn cú thể thấy wavelet tạo ra khụng gian Wm và hàm tỷ lệ tạo ra khụng gian Vm là khụng độc lập nhau. Wm là phần bự trực giao của Vm trong khụng gian Vm-1. Do đú bất kỳ hàm nào trong khụng gian Vm-1 cú thể được biểu diễn là
tổng của một hàm trong khụng gian Vm và một hàm trong khụng gian Wm. Tổng quỏt húa, ta cú:
Do m bất kỳ nờn:
Vỡ vậy:
Tiếp tục phõn tỏch theo phương phỏp này, ta thu được:
vớ ấ ỳ ≥i b t k k m.
Như vậy, n u cú m t hàm thu c khụng gian Vế ộ ộ m-1 (nghĩa là hàm này cú thể được biểu diễn bởi hàm tỷ lệ ở lượt phõn giải m-1), ta cú th phõn ró nú ể
thành tổng cỏc hàm bắt đầu b ng hàm xấp xỉ độ phõn giải thấp hơn và tiế đằ p ú là chuỗi cỏc hàm tạo bởi việc co gión wavelet thể hiện phần thụng tin chi tiết
bị thiếu.
Xem xột quỏ trỡnh biểu di n mễ ộ ảt nh v i s lượng pixel ngày càng ớt ở ớ ố
cấp xấp xỉ kế ế ti p nhau, cỏc h sốệ wavelet cú th ể được xem nh ph n thụng ư ầ
tin chi tiết bổ xung cần thiết để chuyển từ quỏ trỡnh xấp x thụ tỉ ới trạng thỏi
mịn hơn. Do vậy, ở mỗi cấp độ phõn ró, tớn hiệu được phõn ró thành hai phần: một là phần xấp xỉ thụ của tớn hiệu ở độ phõn giải thấp và phần cũn lại là phần
thụng tin chi tiết bị mất do quỏ trỡnh x p x ú. Nh vậấ ỉ đ ư y cỏc h sốệ wavelet
cm,n(f) mụ tả ph n thụng tin chi ti t b thi u h t khi i t quỏ trỡnh x p x tớn ầ ế ị ế ụ đ ừ ấ ỉ
hi u ệ ở lượt phõn giải 2m-1 tới quỏ trỡnh xấp xỉ thụ hơn ở lượt phõn giải 2m.
2.1.3.Sử dụng bộ ọc và thuật toỏn hỡnh chúp l
Ta thấy rằng phõn tớch đa phõn giải phõn ró tớn hiệu thành hai phần:
một là phần xấp xỉ tớn hiệu gốc từ độ phõn giải mịn thành thụ hơn, hai là phần
thụng tin chi tiết bị mất do quỏ trỡnh x p x ú. i u này ấ ỉ đ Đ ề được mụ hỡnh húa
theo cụng thức toỏn học sau:
Với fm(t) là giỏ trị hàm đầu vào f(t) tại lượt phõn gi i 2ả m, cm+1,n là thụng tin chi tiết, am+1,n là phần x p xấ ỉ thụ của tớn hiệ ại lu t ượt phõn giải 2m+1. Hàm
Φm+1,n và ψm+1,n là cỏc hàm tỷ ệ l và hàm cơ ở s wavelet trực chuẩn.
Năm 1989, Mallat đưa ra phương phỏp đa phõn gi i cho quỏ trỡnh phõn ả
ró wavelet của tớn hiệu sử dụng c u trỳc l c hỡnh chúp c a b ng l c QMF ấ ọ ủ ă ọ
(Quadrature Mirror Filter). Wavelet được phỏt triển bởi Daubechies v i cỏc ớ
băng lọc khụi phục hoàn hảo rời rạc miền thời gian, tương ứng với cỏc bộ lọc FIR. Trong lý thuyế đt a phõn giải, cú thể chứng minh rằng sự phõn ró tớn hiệu
sử dụng bi n đổi wavelet r i r c cú th ế ờ ạ ể được bi u di n b ng b lọể ễ ằ ộ c FIR. M i ọ
phõn tớch đa phõn giải đều quy về thuật toỏn tớnh toỏn hệ số wavelet cho tớn hi u ệ f(t) như sau [7]:
Với g và h là b l c thụng th p và thụng cao th a món: ộ ọ ấ ỏ
Thực tế, am,n(f) là hệ số mụ t hỡnh chi u c a f(t) trờn khụng gian chi u ả ế ủ ế
Vm (nghĩa là quỏ trỡnh xấp xỉ của hàm f(t) ở lượt phõn giải 2m). Trong khi đú,
cm,n(f) thuộc khụng gian Wm là hệ số wavelet (thụng tin chi ti t) lượt phõn ế ở
giải 2m. Nếu tớn hiệu đầu vào f(t) cú d ng m u rạ ẫ ời rạc thỡ cú thể xem cỏc mẫu
này là cỏc hệ ố s xấp x phõn gi i m c cao nh t aỉ ả ứ ấ 0,n(f) thuộc khụng gian V0, do vậy biểu thức toỏn học trờn mụ tả thuật toỏn phõn tớch băng con đa phõn giải
để xõy dựng am,n(f) và cm,n(f) mức m v i b lọớ ộ c thụng th p h và b lọc thụng ấ ộ
cao g từ cm-1,n(f) tạo thành ở mức m-1. Cỏc bộ ọc này gọi là bộ ọc phõn tớch. l l Thuật toỏn đệ quy dựng để tớnh toỏn DWT với cỏc mức khỏc nhau thường được gọi là thuật toỏn hỡnh chúp (Pyramid Algorithm) của Mallet. Do cỏc băng lọc tổng hợp h và g được lấy cỏc hàm cơ sở ự tr c chu n và nờn ẩ ψ Φ
cỏc bộ ọ l c này mang lại sự khụi phục tớn hiệu chớnh xỏc.
Cỏc bộ ọ l c h, g lý tưởng là những bộ ọ l c mà đỏp ng xung cú độ dài vụ ứ
dài nhỏ. Để s dụử ng nh ng b l c nh vậữ ộ ọ ư y, yờu c u tr c chu n được thay th ầ ự ẩ ế
bằng yờu cầu sử dụng những hàm cơ sở song trực giao.
Cỏc bộ lọc wavelet trực giao (orthogonal) khi (h’,g’)=(h,g). Nếu khụng thỡ được gọi là song trực giao (biorthogonal). Khi đú, cỏc bộ lọ ổc t ng h p (h’ ợ
và g’) dựng cho mụ đc ớch tỏi tạo lại tớn hi u cú thệ ể khỏc với cỏc bộ lọc phõn tớch dựng để phõn gi i tớn hiả ệu. Để khụi phục chớnh xỏc, cỏc bộ lọc phõn tớch
và tổng h p phợ ải thoả món yờu cầu sau:
Bộ lọc wavelet (9,7) s dụử ng trong tiờu chu n JPEG2000 là m t vớ d ẩ ộ ụ
tiờu biểu cho bộ lọc song tr c giao. Tớn hi u được khụi ph c s d ng b ng l c ự ệ ụ ử ụ ă ọ
tổng hợp h’ và g’ theo cụng thức sau:
Hỡnh 2.2 minh họa quỏ trỡnh tớnh toỏn DWT sử dụng b lọộ c s ố đơn
giản. Cho tớn hiệ đầu vào rời rạc x(n) (ký hiệu là a(0,n) trong hỡnh 2.2, được u lọc song song bởi bộ lọc thụng thấp h và bộ lọc thụng cao g tại từng mức bi n ế đổi. Hai luồng u ra được giảm mẫuđầ (subsample) bằng cỏch lo i b cỏc m u ạ ỏ ẫ
xen kẽ của t ng lu ng ừ ồ để tạo ra b ng l c thụng th p yă ọ ấ L (trong hỡnh 2.2 là a(1,n)) và băng lọc thụng cao yH (trong hỡnh 2.2 là c(1,n)). Những tớnh toỏn số học trờn cú thể được biểu diễn như sau:
Vớ τi L và τH tương ứng là độ dài c a b lọủ ộ c thụng th p và thụng cao. ấ
Do bộ lọc thụng th p, a(1,n) là x p x tớn hi u đầu vào, ta cú th ỏp d ng tớnh ấ ấ ỉ ệ ể ụ
toỏn tương t nhự ư trờn cho a(1,n) để tạo ra b ng con a(2,n) và ă
c(2,n)…Phương phỏp phõn ró đa phõn giải như hỡnh 2.2 minh họa ở trờn là phõn ró 3 mức.
Với quỏ trỡnh biến đổi ngược để tỏi tạo tớn hiệu, cả a(3,n) và c(3,n) trước hế được bổ sung mẫu bằng cỏch chốn thờm cỏc mẫu khụng vào giữa hai t mẫu, sau đú qua cỏc bộ lọc thụng th p (h’) và thụng cao (g’) tương ng. Cỏc ấ ứ
luồng đầu ra bộ lọc được c ng v i nhau ộ ớ để tỏi t o a(2,n) nh trờn hỡnh minh ạ ư
họa. Quỏ trỡnh tương tự được thực hiện cho đến khi khụi phục được tớn hiệu
gốc a(0,n).
2.2.Biến đổi wavelet hai chiều
2.2.1.Nguyờn tắc bi n đổi ế
Việc mở rộng bi n đổi DWT hai chi u là r t c n thiết cho biến đổi cỏc ế ề ấ ầ
tớn hiệu hai chiều. Một tớn hiệu số hai chiều cú thể được biểu diễn bằng một mảng hai chiều X[M,N] với M hàng và N cột, M và N nguyờn dương.
Phương phỏp đơn giản nhất là thực hiện biến đổi DWT một chiều theo hàng để thu được kết quả trung gian, sau đú thực hiện biến đổi DWT một
chiều theo cột để thu được kết quả cuối cựng. Quỏ trỡnh này được minh họa
trờn hỡnh 2.3.a. Đ ềi u này là khả thi vỡ hàm tỷ lệ hai chi u cú th phõn tớch ề ể
thành tớch của hai hàm tỷ lệ một chi u t n t i tỏch bi t nhau: ề ồ ạ ệ Φ2(x,y) =
Φ1(x).Φ1(y), ỏp dụng t ng tươ ự đối với hàm wavelet ψ(x,y).
Áp dụng biến đổi wavelet cho t ng hàng sẽ ạừ t o ra hai băng con cho mỗi hàng. Khi cỏc băng con tần số thấp của tất cả cỏc hàng (L) được đặt cạnh
nhau, nú giống như một phiờn b n m ng c a tớn hi u ả ỏ ủ ệ đầu vào (kớch thước