Căn c vào ứ định ngh a wavelet này, bi n ĩ ế đổi wavelet WT (wavelet
transform) của một hàm tớn hiệu f(t) được biểu diễn bởi biểu thức toỏn học:
với :
trong đ ψ ωú ( ) là bi n đổi Fourier củế a hàm wavelet m . ẹ
Nếu a và b là nh ng bi n liờn tụữ ế c (khụng r i r c) và f(t) là hàm liờn t c, ờ ạ ụ
W(a,b) được gọi là bi n ế đổi wavelet liờn tục CWT (Continuous Wavelet Transform). Như vậy, CWT ỏnh x hàm m t chi u ạ ộ ề f(t) thành hàm hai chiều W(a,b) với hai biến thực liờn tục a và b.
2.1.1.Biến đổi wavelet rờ ại r c
Do tớn hiệu đầu vào (c thụ ể là ảnh số) được xử lý bở ệ ống tớnh toỏn i h th số, vỡ vậy cần phải định nghĩa một phiờn bản rời rạc của biến đổi wavelet.
Trước khi định nghĩa biến đổi wavelet rời rạc, cần phải xỏc định cỏc tham số co dón và dịch rời rạc (a và b) thay thế cho cỏc giỏ tr liờn tị ục tương ứng. Cú
nhiều cỏch để rờ ại r c giỏ tr a, b và bi u di n wavelet tương ng. Hướng ti p ị ể ễ ứ ế
cận thụng thường nhất là rời rạc húa a và b theo biểu thức :
Khi đú, cỏc hàm wavelet r i r c bi u di n nh sau : ờ ạ ể ễ ư
Người ta thường lựa chọn: a0 = 2 và b0 = 1. Do đú a = 2m và b = n2m. Phương phỏp lấy mẫu này gọi là lấy mẫu nhị tố (dyadic sampling) và quỏ trỡnh phõn tớch tương ứng của tớn hiệu gọi là phõn tớch nhị tố (dyadic
decomposition). Sử dụng nh ng giỏ tr này, ta cú thể biểu diễn wavelet rời rạc ữ ị
cấu thành một họ cỏc hàm cơ sở trực chuẩn như sau:
Cỏc hệ ố s cho hàm f(t) được tớnh theo cụng thức :
Với phõn tớch nh t , cỏc h s wavelet thu được nh sau : ị ố ệ ố ư
f(t) được khụi phục từ cỏc hệ số wavelet rời rạc theo cụng thức :
Với bi n đổi trờn, hàm f(t) đầu vào v n liờn t c trong khi cỏc h s bi n ế ẫ ụ ệ ố ế đổi là rờ ạ Đi r c. õy là bi n ế đổi wavelet thời gian rời rạc DTWT (Discrete Time
Wavelet Transform).
Cỏc ứng dụng xử lý ảnh số thực thi bởi mỏy tớnh số. Tớn hiệu f(t) cần
được rờ ại r c húa b i vỡ cỏc m u c a d li u g c ở ẫ ủ ữ ệ ố được biểu di n b i m t s ễ ở ộ ố
lượng bit hữu hạn. Khi hàm đầu vào f(t) và tham số a, b được bi u di n dưới ể ễ
dạng rời rạc, biến đổi được gọi là biến đổi wavelet r i r cờ ạ DWT (Discrete Wavelet Transform) của tớn hiệu f(t).
Biến đổi wavelet r i rạc trởờ thành cụng cụ xử lý hi u qu sau khi ệ ả
Mallat đưa ra lý thuyết biểu diễn đa phõn giải của tớn hiệu. Phương phỏp đa
phõn giải biểu di n mễ ột hàm (tớn hiệu) với tập cỏc hệ số, m i h sốỗ ệ cung c p ấ
i
Ưu đ ểm của DWT so với biến đổi Fourier là phõn tớch đa phõn giải được xỏc định cả trong mi n th i gian và t n sốề ờ ầ . K t qu là DWT phõn ró tớn ế ả
hiệu số vào cỏc băng con khỏc nhau sao cho cỏc băng tần số thấp cú độ phõn giải tần số tố ơt h n (độ phõn gi i th i gian kộm h n) so v i cỏc b ng con t n ả ờ ơ ớ ă ầ
số cao.
DWT ngày càng được sử dụng r ng rói cho k thu t nộn nh nh ộ ỹ ậ ả ờ
nh ng u ữ ư đ ểi m như truyền dẫn ảnh lũy tiến, dễ dàng tạo ra cỏc vựng nộn đặc biệt… Do những đặc đ ểi m này, DWT là cơ sở của tiờu chuẩn nộn JPEG2000.
2.1.2.Khỏi niệm phõn tớch đa phõn giải
Nhiều hàm cơ sở wavelet tr c chu n ự ẩ được tỡm ra trong nh ng n m ữ ă
1980 cú dạng như sau :
Lý thuyết phõn tớch đa phõn gi i đưa ra m t hướng ti p c n cú phương ả ộ ế ậ
phỏp để tạo ra cỏc hàm wavelet. í tưởng c a phõn tớch a phõn gi i là x p x ủ đ ả ấ ỉ
hàm f(t) ở cỏc mức phõn giải khỏc nhau.
Trong lý thuyế đt a phõn giải, c n xem xột hai hàm: hàm wavelet mẹ ầ
ψ(t) và hàm tỉ lệ Φ(t) (scaling function). Cỏc phiờn b n t lệả ỉ và d ch c a hàm ị ủ
tỷ lệ là:
Với m c ố định, t p cỏc hàm ậ Φm,n(t) là trực chu n. K t h p tuy n tớnh ẩ ế ợ ế
Tập cỏc hàm nh vậư y t o thành b i s kế ợạ ở ự t h p tuy n tớnh cỏc ph n t ế ầ ử
trong tập hợp {Φm,n(t)}. Cỏc tập này g i là vựng ọ span {Φm,n(t)}. Xem Vm là khụng gian vectơ tương ứng v i vựng {Φm,n(t)}. Giả sửớ độ phõn gi i t ng khi ả ă
giảm m, từ đ ú thu được những khụng gian vectơ xấp x kế ếỉ ti p nhau (m i ỗ
khụng gian Vj+1 nằm trong khụng gian phõn giải kế tiếp Vj):
Tập cỏc khụng gian con tho món nh ng tớnh ch t sau õy : ả ữ ấ đ
1.Mỗi khụng gian con nằm trong khụng gian con của độ phõn giải kế tiếp. Ngh a là với mọi m ta cú : ĩ
2.Hợp của cỏc khụng gian con tạo ra khụng gian hàm khả tớch bỡnh phương (square integrable function) L2(R), với R là tập số thực:
3.Giao của tất cả cỏc khụng gian con t o thành tạ ập rỗng:
4.Phộp biến đổi t lệ mộỷ t hàm t khụng gian phõn gi i V0 bở ệừ ả i h số 2m
sẽ dẫn đến khụng gian cú độ phõn giải thấp hơn là Vm.
5.Dịch một hàm trong khụng gian phõn giải khụng làm thay đổi độ
phõn giải khụng gian.
6.Luụn tồn tại m t tộ ập {Φ(t-n) thuộc V0 với n nguyờn} t o thành m t c ạ ộ ơ
Nguyờn lý cơ bản c a phõn tớch a phõn gi iủ đ ả là: bất c khi nào cỏc ứ
thuộc tớnh trờn được thỏa món, luụn luụn tồn tại một cơ sở wavelet trực chuẩn
ψm,n(t) sao cho:
Trong đú:
Pj là hỡnh chiếu trực giao c a ψủ lờn khụng gian Vj. Ứng với mỗi giỏ trị
m, cú thể coi hàm wavelet ψm,n(t) tạo ra khụng gian vectơ Wm. Từ biểu thức
trờn cú thể thấy wavelet tạo ra khụng gian Wm và hàm tỷ lệ tạo ra khụng gian
Vm là khụng độc lập nhau. Wm là phần bự trực giao của Vm trong khụng gian
Vm-1. Do đú bất kỳ hàm nào trong khụng gian Vm-1 cú thể được biểu diễn là
tổng của một hàm trong khụng gian Vm và một hàm trong khụng gian Wm. Tổng quỏt húa, ta cú:
Do m bất kỳ nờn:
Vỡ vậy:
Tiếp tục phõn tỏch theo phương phỏp này, ta thu được:
vớ ấ ỳ ≥i b t k k m.
Như vậy, n u cú m t hàm thu c khụng gian Vế ộ ộ m-1 (nghĩa là hàm này cú thể được biểu diễn bởi hàm tỷ lệ ở lượt phõn giải m-1), ta cú th phõn ró nú ể
thành tổng cỏc hàm bắt đầu b ng hàm xấp xỉ độ phõn giải thấp hơn và tiế đằ p ú là chuỗi cỏc hàm tạo bởi việc co gión wavelet thể hiện phần thụng tin chi tiết
bị thiếu.
Xem xột quỏ trỡnh biểu di n mễ ộ ảt nh v i s lượng pixel ngày càng ớt ở ớ ố
cấp xấp xỉ kế ế ti p nhau, cỏc h sốệ wavelet cú th ể được xem nh ph n thụng ư ầ
tin chi tiết bổ xung cần thiết để chuyển từ quỏ trỡnh xấp x thụ tỉ ới trạng thỏi
mịn hơn. Do vậy, ở mỗi cấp độ phõn ró, tớn hiệu được phõn ró thành hai phần: một là phần xấp xỉ thụ của tớn hiệu ở độ phõn giải thấp và phần cũn lại là phần
thụng tin chi tiết bị mất do quỏ trỡnh x p x ú. Nh vậấ ỉ đ ư y cỏc h sốệ wavelet
cm,n(f) mụ tả ph n thụng tin chi ti t b thi u h t khi i t quỏ trỡnh x p x tớn ầ ế ị ế ụ đ ừ ấ ỉ
hi u ệ ở lượt phõn giải 2m-1 tới quỏ trỡnh xấp xỉ thụ hơn ở lượt phõn giải 2m.
2.1.3.Sử dụng bộ ọc và thuật toỏn hỡnh chúp l
Ta thấy rằng phõn tớch đa phõn giải phõn ró tớn hiệu thành hai phần:
một là phần xấp xỉ tớn hiệu gốc từ độ phõn giải mịn thành thụ hơn, hai là phần
thụng tin chi tiết bị mất do quỏ trỡnh x p x ú. i u này ấ ỉ đ Đ ề được mụ hỡnh húa
theo cụng thức toỏn học sau:
Với fm(t) là giỏ trị hàm đầu vào f(t) tại lượt phõn gi i 2ả m, cm+1,n là thụng tin chi tiết, am+1,n là phần x p xấ ỉ thụ của tớn hiệ ại lu t ượt phõn giải 2m+1. Hàm
Φm+1,n và ψm+1,n là cỏc hàm tỷ ệ l và hàm cơ ở s wavelet trực chuẩn.
Năm 1989, Mallat đưa ra phương phỏp đa phõn gi i cho quỏ trỡnh phõn ả
ró wavelet của tớn hiệu sử dụng c u trỳc l c hỡnh chúp c a b ng l c QMF ấ ọ ủ ă ọ
(Quadrature Mirror Filter). Wavelet được phỏt triển bởi Daubechies v i cỏc ớ
băng lọc khụi phục hoàn hảo rời rạc miền thời gian, tương ứng với cỏc bộ lọc FIR. Trong lý thuyế đt a phõn giải, cú thể chứng minh rằng sự phõn ró tớn hiệu
sử dụng bi n đổi wavelet r i r c cú th ế ờ ạ ể được bi u di n b ng b lọể ễ ằ ộ c FIR. M i ọ
phõn tớch đa phõn giải đều quy về thuật toỏn tớnh toỏn hệ số wavelet cho tớn hi u ệ f(t) như sau [7]:
Với g và h là b l c thụng th p và thụng cao th a món: ộ ọ ấ ỏ
Thực tế, am,n(f) là hệ số mụ t hỡnh chi u c a f(t) trờn khụng gian chi u ả ế ủ ế
Vm (nghĩa là quỏ trỡnh xấp xỉ của hàm f(t) ở lượt phõn giải 2m). Trong khi đú,
cm,n(f) thuộc khụng gian Wm là hệ số wavelet (thụng tin chi ti t) lượt phõn ế ở
giải 2m. Nếu tớn hiệu đầu vào f(t) cú d ng m u rạ ẫ ời rạc thỡ cú thể xem cỏc mẫu
này là cỏc hệ ố s xấp x phõn gi i m c cao nh t aỉ ả ứ ấ 0,n(f) thuộc khụng gian V0, do vậy biểu thức toỏn học trờn mụ tả thuật toỏn phõn tớch băng con đa phõn giải
để xõy dựng am,n(f) và cm,n(f) mức m v i b lọớ ộ c thụng th p h và b lọc thụng ấ ộ
cao g từ cm-1,n(f) tạo thành ở mức m-1. Cỏc bộ ọc này gọi là bộ ọc phõn tớch. l l Thuật toỏn đệ quy dựng để tớnh toỏn DWT với cỏc mức khỏc nhau thường được gọi là thuật toỏn hỡnh chúp (Pyramid Algorithm) của Mallet. Do cỏc băng lọc tổng hợp h và g được lấy cỏc hàm cơ sở ự tr c chu n và nờn ẩ ψ Φ
cỏc bộ ọ l c này mang lại sự khụi phục tớn hiệu chớnh xỏc.
Cỏc bộ ọ l c h, g lý tưởng là những bộ ọ l c mà đỏp ng xung cú độ dài vụ ứ
dài nhỏ. Để s dụử ng nh ng b l c nh vậữ ộ ọ ư y, yờu c u tr c chu n được thay th ầ ự ẩ ế
bằng yờu cầu sử dụng những hàm cơ sở song trực giao.
Cỏc bộ lọc wavelet trực giao (orthogonal) khi (h’,g’)=(h,g). Nếu khụng thỡ được gọi là song trực giao (biorthogonal). Khi đú, cỏc bộ lọ ổc t ng h p (h’ ợ
và g’) dựng cho mụ đc ớch tỏi tạo lại tớn hi u cú thệ ể khỏc với cỏc bộ lọc phõn tớch dựng để phõn gi i tớn hiả ệu. Để khụi phục chớnh xỏc, cỏc bộ lọc phõn tớch
và tổng h p phợ ải thoả món yờu cầu sau:
Bộ lọc wavelet (9,7) s dụử ng trong tiờu chu n JPEG2000 là m t vớ d ẩ ộ ụ
tiờu biểu cho bộ lọc song tr c giao. Tớn hi u được khụi ph c s d ng b ng l c ự ệ ụ ử ụ ă ọ
tổng hợp h’ và g’ theo cụng thức sau:
