- Chứng minh các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác.
4 Việc đƣa các tình huống TT vào nội dung
2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu, xác định mối liên hệ giữa các dữ kiện liên quan, xác định các yếu tố bản chất để thiết lập bài tốn từ tình huống
liên quan, xác định các yếu tố bản chất để thiết lập bài tốn từ tình huống thực tiễn
2.2.1.1. Mục đích của biện pháp
Biện pháp góp phần nâng cao khả năng thiết lập MHH bài tốn hồn chỉnh và có kiến thức cơ bản đề chuyển đổi một số tình huống TT về giải bài tốn.
2.2.1.2. Chỉ dẫn thực hiện biện pháp
Trƣớc hết HS cần hiểu đƣợc các yêu cầu khi xây dựng mơ hình giải tốn. Để xây dựng đƣợc một mơ hình giải tốn HS cần nắm vững các nguyên tắc [13]
Nguyên tắc 1 : Đảm bảo tính khoa học của tốn học.
Nguyên tắc 2 : Làm rõ tính ứng dụng của tốn học trong TT. Nguyên tắc 3 : Chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết vấn đề. Nguyên tắc 4 : Đảm bảo tính khả thi và tính vừa sức.
Để có thể xây dựng MHH cho tình huống thực tiễn, HS cần làm rõ các nội dung thực tế bằng cách đơn giản hóa các nội dung, cần cụ thể nội dung nào là chủ yếu, quan trọng, đƣa ra các phƣơng án rõ ràng, lập luận về các khả năng có thể xảy ra, xây dựng bảng câu hỏi rõ ràng cho các vấn đề phức tạp,
đối chiếu số liệu tìm đƣợc để kết luận về kết quả của mơ hình. Quy luật của các tình huống thƣờng hƣớng đến quan hệ tác động giữa các đại lƣợng. Khi đó ngƣời GV cần tác động vào quá trình tƣ duy của HS, để HS mở mang hiểu biết về nội dung học. Căn cứ vào các ngun tắc, q trình MHH tốn học đƣợc mô tả qua 4 bƣớc [14]
Bƣớc 1 : Xây dựng mơ hình trung gian của vấn đề, (xác định các yếu tố quan trọng nhất trong hệ thống và xác lập các qui luật mà chúng ta phải tuân theo).
Bƣớc 2 : Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề đang xét (diễn tả ngơn ngữ tốn học cho mơ hình trung gian).
Bƣớc 3 : Sử dụng các cơng cụ tốn học để khảo sát và giải quyết bài toán.
Bƣớc 4 : Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu đƣợc trong bƣớc 3. Để minh chứng cho Bƣớc 1 của quá trình MHH, ?1 sách giáo khoa Tốn 8 (trang 24) đã có nội dung sau :
„„?1 Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với biến x biểu thị :
a) Quãng đường Tiến chạy được trong x phút, nếu chạy với vận tốc trung bình là 180m/ph.
b) Vận tốc trung bình của Tiến (tính theo km/h), nếu trong x phút Tiến chạy được quãng đường là 4500m.‟‟
Đây chính là q trình trung gian để đƣa một vấn đề từ thực tế cuộc sống dẫn dắt đến bài toán chuyển động trong thực tế, đặc trƣng bởi các đại lƣợng quãng đƣờng, thời gian, vận tốc : .
Là quá trình thiết lập mối quan hệ, mà dựa vào đó HS có thể trả lời ?1
a) b) .
thƣờng „viết thêm‟‟ nay đƣợc giải thích theo tốn cấu tạo số. Xét ? 2 sách giáo khoa toán 8 trang 24
„„Gọi x là số tự nhiên có hai chữ số (ví dụ x = 12). Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có được bằng cách :
a) Viết thêm chữ số 5 vào bên trái số x (ví dụ : , tức là 500+12) ;
b) Viết thêm chữ số 5 vào bên phải số x (ví dụ : , tức là 12 .10+5).‟‟
Chính từ những nội dung này sách giáo khoa đã hƣớng dẫn cho HS bƣớc đầu để MHH đƣợc tình huống TT. Tuy nhiên nếu chỉ đƣa ra các tình huống đơn giản, HS khơng phát huy đƣợc hết khả năng của mình, nội dung tốn càng thực tế bao nhiêu thì càng phát huy hứng thú của học trị bấy nhiêu. Bên cạnh đó cũng cần chú ý đến NL nhận thức của các nhóm đối tƣợng HS để có các dạng bài phù hợp.
Mặt khác rèn luyện cho HS thiết kế MHH thông qua những tình huống điển hình cũng có những hạn chế nhất định khi bó hẹp tri thức học trị trong một khn khổ nào đó. Vì vậy GV cần nghiên cứu để đƣa thêm các tình huống thƣờng ngày để hƣớng sự tiếp thu của HS đƣợc cụ thể và thiết thực hơn. Muốn vậy HS cần có sự tìm hiểu, thu thập thơng tin để nâng cao vốn hiểu biết, và dự đốn quy luật, xây dựng mơ hình mang tính phỏng đốn.
Ví dụ 2.1. Một xe khách chun tuyến Hịa Bình - Phú Thọ vận tốc dự
định 48km/h. Tuy nhiên sau khi đi đƣợc một giờ với vận tốc ấy, ô tô bị phải dừng lại 10 phút để nghỉ và mua xăng. Vì muốn đến Phú Thọ cho kịp thời gian nên ngƣời lái xe phải tăng vận tốc thêm 6km/h. Vậy qng đƣờng Hịa Bình - Phú Thọ dài bao nhiêu km ?
HS cần biết xây dựng bảng dữ liệu, để lọc ra các yếu tố nào là cần thiết, dùng nó để giải tốn tìm ra câu trả lời
vận tốc (km/h) thời gian (h) quãng đƣờng (km) dự định 1giờ đầu dừng nghỉ, mua xăng còn lại
Để lập đƣợc bảng biểu dựa vào khung trên, HS cần hiểu về mối quan hệ giữa các đại lƣợng của chuyển động, từ đó chọn ra những chi tiết, dữ kiện để chuyển ngơn ngữ sang kí hiệu và điền đƣợc vào các nội dung.
v (km/h) t (h) s (km) dự định 1giờ đầu dừng nghỉ, mua xăng còn lại
Rõ ràng việc giải bài tốn này chỉ khó nhất ở việc lập bảng biểu thị các dữ liệu bài toán. Lập đƣợc bảng biểu thị thì việc giải bài toán trở nên đơn giản, quan trọng là những yếu tố trọng tâm cần đƣợc phát hiện, và quá trình xây dựng bảng HS biết lựa chọn yếu tố cốt lõi, lƣợc bớt các yếu tố không thiết thực. Cách xây dựng bảng cần cụ thể về quá trình đi theo dự định, biểu thị các đại lƣợng liên quan, tƣơng tự nhƣ vậy khi di chuyển, vận tốc thay đổi nhƣ thế nào? thời gian có gì biến đổi ? (thời gian nghỉ - xe không chuyển động), quãng đƣờng là đại lƣợng duy nhất không biến đổi.
Từ sự phân tích các yếu tố của bài tốn, và từ bảng biểu trên HS có thể giải bài tốn nhƣ sau:
Gọi đoạn đƣờng đi từ Hịa Bình đến Phú Thọ là ( ) ( ). Sử dụng các dữ liệu trên bảng phân tích, có đƣợc phƣơng trình: .
Trả lời: Quãng đƣờng Hịa Bình - Phú Thọ dài 120km.
Ví dụ 2.2. Trong buổi hội chợ do liên đội trƣờng THCS Supe phát
động, lớp 8A2 mở gian hàng bán trà sữa tự làm cho các bạn HS trong trƣờng. Gian hàng gồm 4 ngăn, mỗi ngăn lại chứa một loại sữa chua khác nhau.
Ngăn thứ 1: Chứa hộp sữa chua mít.
Ngăn thứ 2: Chứa số hộp sữa chua trà xanh nhiều hơn ngăn thứ 1: 6 hộp.
Ngăn thứ 3: Chứa số hộp sữa chua nếp cẩm gấp 4 lần số hộp ở ngăn thứ 2.
Ngăn thứ 4: Chứa số hộp sữa chua nha đam gấp 3 lần số hộp ở ngăn thứ 1 và thêm 9 hộp nữa.
a) Hãy biểu diễn số hộp sữa chua có trong mỗi ngăn theo ?
b) Ngày thứ nhất bán đƣợc 30% số hộp ngăn thứ 1 và số hộp ở ngăn thứ 2, Ngày thứ hai bán đƣợc số hộp ở ngăn thứ 3 và số hộp ở ngăn thứ 4. Hỏi ngày nào bán đƣợc nhiều hơn?
c) Ngăn thứ 2 chứa 24 hộp sữa chua, giá mỗi hộp sữa chua ở các ngăn 1, 2, 3, 4 lần lƣợt là 10 000; 12 000; 14 000; 15 000. Hỏi số tiền bán sữa chua là bao nhiêu ?
Dùng bảng để chuyển các lời văn sang các cơng thức tốn học. a) Số lƣợng các hộp sữa chua có trong các ngăn
Số ngăn Lời văn Biểu thị
Ngăn 2 nhiều hơn ngăn thứ 1: 6 hộp
Ngăn 3 gấp 4 lần số hộp ở ngăn thứ 2. ( )
Ngăn 4 gấp 3 lần ở ngăn thứ 1 và thêm 9
hộp b) So sánh số lƣợng bán ra trong 2 ngày Ngày thứ 1 Ngày thứ 2 30% số hộp ngăn thứ 1 bán đƣợc số hộp ở ngăn thứ 3 và số hộp ở ngăn thứ 2 và số hộp ở ngăn thứ 4 ( ) Tổng <
c) Dựa vào dữ kiện để tính số sữa chua trong mỗi ngăn và giá tiền ta có
Số ngăn Số hộp Giá tiền /1 hộp Thành tiền
Ngăn 1 18 10 000 180 000
Ngăn 2 24 12 000 288 000
Ngăn 3 4.24 = 96 14 000 1 344 000
Ngăn 4 3.18+9 = 63 15 000 945 000
Tổng tiền 2 757 000
Ví dụ 2.3. Mẹ bạn Nam gửi tiền tiết kiệm tại ngân hàng Vietinbank, lãi
suất niêm yết là 7% cho 12 tháng từ ngày 15 tháng 1 năm 2019, đến ngày 17 tháng 1 năm 2020 đi rút tiền về, tổng số tiền nhận đƣợc là 1 tỷ 391 triệu đồng. Vậy số tiền lúc đầu mẹ Nam gửi là bao nhiêu ?
Các dữ liệu cần quan tâm là lãi suất: 7% /12 tháng. Tổng số tiền gửi và lãi là 1 tỷ 391 triệu đồng. Số tiền gửi và lãi đều chƣa biết ?
Giả sử số tiền gửi là x (tỷ đồng), số tiền lãi nhận đƣợc là (tỷ đồng).
Khi đó: ( ) . Vậy mẹ bạn Nam đã gửi 1 tỷ 300 triệu đồng.
Bài tốn đã dùng các kí hiệu tốn học để chuyển các thông tin quan trọng trở thành các dữ kiện để giải toán. Các dữ kiện này đƣợc ƣu tiên sắp xếp theo một trình tự logic, cụ thể hóa bằng một phƣơng trình bậc nhất một ẩn giải đƣợc. Việc giải quyết tình huống trở nên thuận lợi và dễ dàng.
Bài tốn có nội dung Lý, Hóa cũng là một trong những dạng bài tập mà HS lớp 8 rất khó khăn trong việc đƣa nội dung về nội dung giải tốn. Sở dĩ có hiện trạng nhƣ vậy do HS không hiểu kĩ cách chuyển đổi từ vật lý, hóa học sang ngơn ngữ tốn học. Mặt khác việc không nắm rõ công thức cũng là rào cản khiến HS không thấy cái hay của các bài toán này. Về cơ bản các bài tốn liên mơn khơng địi hỏi tính tốn rắc rối, hoặc biến đổi phức tạp, quan trọng là HS cần biến đổi nội dung lí hóa sang biểu thức, hoặc phƣơng trình, hoặc điều kiện tốn học cụ thể. Để chuyển đổi ngôn ngữ đƣợc dễ dàng, HS cần có những phân tích rõ ràng, cụ thể, nắm vững các cơng thức liên hệ sau đó phải có những lập luận chặt chẽ có căn cứ.
Ví dụ 2.4. Một mẫu hợp kim đồng và kẽm nặng 4,2kg có thể tích 562cm3, thì cần bao nhiêu kg đồng, kẽm ? Biết rằng 0,712kg đồng có thể tích là 80cm3
, 0,63kg kẽm có thể tích 90cm3 ?
HS cần phân tích bài tốn, và hiểu rõ các đại lƣợng : khối lƣợng, thể tích, khối lƣợng riêng có quan hệ nhƣ thế nào ? các yếu tố trong bài toán, để các dữ kiện đƣợc rõ ràng thì việc lập bảng biểu thị là cần thiết, HS có thể tự tạo bảng dữ kiện.
Bảng 1 : Biểu thị khối lƣợng, thể tích của đồng, kẽm, và tính khối lƣợng riêng từng kim loại.
Khối lƣợng (g) Thể tích (cm3
) Khối lƣợng riêng (g/cm3)
Đồng 712 80 8,9
Kẽm 630 90 7
Bảng 2 : Biểu thị nội dung bài toán
Khối lƣợng (g) Khối lƣợng riêng (g/cm3) Thể tích (cm3) trong hợp kim Đồng hợp kim 8,9 Kẽm hợp kim 7 Hợp kịm 4200 562 Phƣơng trình : .
Trả lời ; khối lƣợng đồng là 1246g, khối lƣợng kẽm là 2954g.
Ví dụ 2.5. Có ba dung dịch muối NaCl loại I có nồng độ 24%, loại II
có nồng độ 20% và loại III có nồng độ 30% hịa với nhau đƣợc 2kg hỗn hợp dung dịch có nồng độ 25%. Biết khối lƣợng dung dịch loại II nhiều hơn loại I là 200g. Vậy khối lƣợng dung dịch mỗi loại là bao nhiêu ?
HS cần nắm đƣợc cơng thức hóa học về nồng độ phần trăm nhƣ sau
nếu HS khơng nhớ cơng thức hóa học, có thể dùng mơ hình để biểu thị, coi rằng một dung dịch có 100 lít dung dich khi đó :
Bảng số liệu có 3 cột là 3 cột dung dịch cho trƣớc, gồm các nồng độ khác nhau. HS có thể hiểu đơn giản dung dịch có nồng độ a% nghĩa là trong 100 gam dung dịch có a gam NaCl cịn lại là nƣớc.
Khi đó gọi khối lƣợng dung dịch NaCl loại I là (g) ta có bảng sau
Khối lƣợng dung dịch Khối lƣợng NaCl
Dung dịch loại I
Dung dịch loại II ( )
Dung dịch loại III ( ) [ ( )]
Thành phẩm
(dung dịch sau khi pha)
2000 2000.25%
Vậy phƣơng trình là :
( ) [ ( )] . Vậy x = 500(g), dung dịch I : 500g, dung dịch II : 700g, dung dịch III : 800g.
Ví dụ 2.6. Làm sao để không qua sông mà đo đƣợc chiều rộng của sông, không trèo lên ngọn cây mà biết cây cao bao nhiêu m ? HS có thể có những trải nghiệm thú vị thơng qua tình huống này. Cụ thể :
24 20 30 0 0 0 0 0 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% nồng độ 24% nồng độ 20% nồng độ 30% Nồng độ dung dịch muối NaCl Nước Cột1
a) Hãy đo khoảng cách của bờ B (thuộc đƣờng đê 320 đoạn qua xã Thạch Sơn, Lâm Thao, Phú Thọ) với bờ A (bài bồi nằm giữa sông Hồng) mà không thể tới đƣợc ?
b) Cây Dã Hƣơng nằm trƣớc cửa phòng điều hành của trƣờng THCS Supe (thị trấn Hùng Sơn, Lâm Thao, Phú Thọ) có chiều cao bao nhiêu ?
HS cần làm những gì ? trƣờng hợp có giác kế để đo góc ? Giả sử giác kế bị hỏng, hoặc mất HS sẽ làm gì để đo góc ? Đây đều là phƣơng pháp dùng một vật trực tiếp đo đƣợc khoảng cách để thay thế vật mà chúng ta cần phải đo khoảng cách.
a) Trƣờng hợp có giác kế, HS có thể tiến hành :
Lƣu ý khi sử dụng giác kế, nên chọn các bề mặt đặt giác kế tƣơng đối bằng phẳng, vạch một đoạn thẳng đặt làm đoạn , sau đó đo độ dài. Giả sử . Sau đó dùng giác kế đo các góc ̂ ̂ . Vẽ một tam giác thỏa mãn ; ̂ ̂ .
Khi đó theo tỉ số
Thay số a = 145m, a‟ = 5cm, DE = 4,3cm ta có k = 2900. Vậy AB = 12470cm = 124,7m
Nếu khơng có giác kế, HS có thể tự tạo một chiếc máy 3 kim để đo góc.
Nhƣ thế nào là máy 3 kim? Chúng ta chỉ cần đóng một chiếc đinh lớn lên mỗi đỉnh của hình tam giác vng cân ở trên một tấm gỗ thì đã có thể tạo ra một máy 3 kim rồi. HS đứng tại điểm B trên bờ sông, định đo chiều rộng AB của mặt sông mà không cần qua sông. Khi tiến hành đo, HS hãy đứng ở điểm C trên bờ sơng và đặt máy 3 kim trƣóc mắt dùng một mắt để nhìn sao cho 2 điểm A, B thẳng hàng với hai chiếc đinh a và b trên máy 3 kim. Lúc này HS đang đứng trên đƣờng thẳng AB kéo dài. Giữ cho máy ba kim cố định một chỗ, đƣa mắt nhìn hai chiếc đinh a, b đến điểm D thẳng hàng với 2 chiếc đinh a, b. Lúc này điểm D nằm trên đƣờng cao vng góc vói AC, đóng một thanh gỗ lên điểm c.
Di chuyển máy 3 kim trên đƣờng CD từ điểm c đến điểm E sao cho đồng thời đinh b thẳng hàng với thanh gỗ ở điểm c và đinh a thẳng hàng với điểm A. Nhƣ vậy trên hai bờ sông HS đã lập đƣợc 3 đỉnh của tam giác ACE trong đó góc c là góc vng, góc E bằng với 1 góc nhọn của máy ba kim và bằng của góc vng, đƣơng nhiên góc A cũng phải bằng góc vng, bởi vậy tam giác ACE cũng là một tam giác vng cân trong đó AC = CE. Nhƣ vậy nếu HS đo
D
đƣợc khoảng cách đoạn CE (dùng bƣớc chân) thì sẽ biết đƣợc khoảng cách đoạn AC, sau đó trừ đi đoạn BC là có thể đo đƣọc chiều rộng mặt sông AB. b) Đo chiều cao của cây Dã Hƣơng
HS dựng một đoạn AC thẳng đứng, sau đó đặt lên thƣớc ngắm (thƣớc quay quanh 1 chốt trên cọc). Chỉnh thƣớc ngắm để hƣớng của thƣớc đi qua đỉnh C‟ của cây, xác định giao B của CC‟ với AA‟.
Tiến hành đo độ dài các đoạn AB; A‟B.
Khi đó theo tỉ số .
Thay số: AB = 1,75m ; AC = 1,5; A‟B‟ = 3,9m, ta có A‟C‟ = 3,34m.