- Chứng minh các trƣờng hợp đồng dạng của tam giác.
4 Việc đƣa các tình huống TT vào nội dung
2.2.2. Rèn luyện cho học sinh năng lực chuyển đổi diễn đạt ngôn ngữ thông thƣờng sang ngơn ngữ tốn học
thơng thƣờng sang ngơn ngữ tốn học
2.2.2.1. Mục đích của biện pháp
Biện pháp nhằm rèn luyện cho HS tƣ duy linh hoạt về ngôn ngữ, chuyển đổi ngơn ngữ tốn học sang ngơn ngữ thơng thƣờng và ngƣợc lại. 2.2.2.2. Nghiên cứu sơ lƣợc về ngơn ngữ, ngơn ngữ tốn học
Ngôn ngữ là một hệ thống phức tạp, mà con ngƣời hay động vật sử dụng để
giao tiếp. Ngôn ngữ ngƣời là một hệ thống thông tin liên lạc đƣợc sử dụng trong cộng đồng ngƣời hoặc một quốc gia cụ thể từ cách thức văn bản cho đến nội dung thông tin. Ngôn ngữ phản ánh năng lực của con ngƣời trong quá trình tìm tịi, học hỏi, tƣ duy, và để sử dụng trong quá trình giao tiếp với nhau. Nếu lao động sản xuất là cánh cửa để tách biệt con ngƣời với động vật, thì ngơn ngữ là sản phẩm cao nhất biểu thị sự phát triển, sự học hỏi và là tinh hoa của nhân loại.
Ngơn ngữ tốn học theo từ điển wikipedia: “ngơn ngữ tốn học là hệ thống
ngôn ngữ đƣợc sử dụng bởi các nhà toán học để truyền đạt ý tƣởng tốn học với nhau. Ngơn ngữ này bao gồm một nền tảng từ một số ngôn ngữ tự nhiên, việc sử dụng các thuật ngữ kỹ thuật và quy ƣớc ngữ pháp có sự khác biệt với các bài giảng toán học, đƣợc bổ sung bởi một số ký hiệu tƣợng trƣng chuyên mơn cao cho các cơng thức tốn học”.
Khác biệt với ngôn ngữ hàng ngày, ngôn ngữ tốn học có sự ngắn gọn, và chính xác hơn. Chỉ có một ý hiểu duy nhất cho một ngữ nghĩa về mặt tốn học, khơng có những từ nhiều nghĩa, hay chuyển nghĩa. Ngôn ngữ tự nhiên phụ thuộc vào đặc trƣng từng vùng, từng miền, từng quốc gia, tuy nhiên ngơn ngữ tốn học thì lại là một hệ thống chung với hầu hết các chƣơng trình giáo dục thế giới. Các nhà nghiên cứu cho rằng tốn học cũng là một ngơn ngữ. Và ngơn ngữ tốn học là một hệ thống các biểu tƣợng, kí hiệu theo một trật tự sắp xếp nhất định nào đó để diễn tả chính xác một nội dung nào đó.
2.2.2.3. Chỉ dẫn thực hiện biện pháp
HS lựa chọn ngơn ngữ thích hợp để diễn đạt lại nội dung các tình huống. Với quá trình này, GV cho HS tìm hiểu tình huống có vấn đề, đâu là nội dung chính của tình huống, đâu là yếu tố phụ có thể bỏ qua. Từ đó để có các kí hiệu chính xác, mang tính tƣờng minh, tạo sự linh hoạt giữa các yếu tố. Chính sự đa dạng hóa các mơ hình tốn học của các tình huống TT là tiền đề
để HS lựa chọn đƣợc ngôn ngữ phong phú cho việc mô tả các sự kiện.
Dạy học cho HS THCS có thể thay đổi hƣớng tiếp cận, không quá phụ thuộc vào sách giáo khoa, HS dƣới sự chỉ dẫn của GV mơ tả các tình huống dƣới nhiều hình thức nhƣ
Ví dụ 2.7. Xét bài toán cổ sau:
Trên mặt ao lặng Có một bơng sen Đúng nửa thước cao Bị gió thổi nghiêng Ngư ông đo
được Hoa sen cách gốc Đúng hai thước trịn Bạn thử tính tốn Ao sâu mấy thước ?
Chuyển đổi ngôn ngữ từ lời thơ sang nội dung bài tốn hình vẽ.
Có một bơng hoa sen đứng thẳng trên mặt nƣớc, CD cao 0,5 thƣớc, sau khi bị gió thổi hoa sen ở vị trí B với BC dài 2 thƣớc. Hãy tính độ sâu của ao (AC)?
Rõ ràng hình tam giác ABC trên hình là một tam giác vng với Khi đó , gọi độ sâu AC của ao là thƣớc, nhƣ vậy . Theo định lí Pythagore ta có
( ) . Vậy độ sâu ao là 3,75 thƣớc.
Khi giải tốn có liên quan đến vấn đề thực tế, ngƣời học không chỉ xây dựng đƣợc cách thức giải tốn, mà cịn đƣợc trau dồi về từ, ngữ nghĩa, cấu trúc của câu, khả năng chuyển đổi linh hoạt. Từ một tình huống, hiện tƣợng thực tế, gắn kết các yếu tố, cấu thành một nội dung toán học hay, phù hợp, tinh tế, rõ ràng. Muốn làm đƣợc nhƣ vậy, HS cần có vốn từ, có sự nhanh nhẹn trong sử dụng kí hiệu. Có thể với cùng một nội dung có vơ vàn cách thức biểu đạt, song khi chuyển sang ngơn ngữ tốn học thì chỉ có duy nhất một cách biểu đạt, đó phải là cách chuẩn xác nhất. Cần tránh sự tùy tiện khi dùng từ, kí hiệu, cơng thức tốn học, hoặc rập khn q máy móc với những bài tốn suy luận. HS cần có lối tƣ duy sáng tạo, thơng suốt và đƣợc rèn luyện cũng nhƣ phải trải qua q trình tìm tịi, tích lũy. Ngƣời GV đóng vai trị định hƣớng cho học trị, có sự chuẩn xác về mặt câu chữ, địi hỏi ngƣời thầy ln linh động, tìm tịi, và có sự kiểm định với các nội dung truyền đạt. Có nhƣ vậy, HS mới phát huy, nâng cao khả năng lập luận, giải tốn.
Một đàn em nhỏ đứng bên sơng To nhỏ bàn nhau chuyện chia hồng
Mỗi người năm quả thừa năm quả Mỗi người sáu quả một người không
Hỏi anh bạn trẻ đang dừng bước Có mấy em thơ ?mấy trái hồng?
Đây là một bài toán quen thuộc HS đã đƣợc làm quen ở tiểu học với cách giải theo phƣơng pháp giả thiết tạm. Để hiểu nội dung bài tốn đƣợc cụ thể, HS có thể xây dựng theo bảng sau:
Số quả/1 ngƣời Kết quả
Cách chia đầu 5 Thừa 5 quả
Cách chia sau 6 Thiếu 1 ngƣời
(HS hiểu rằng mỗi ngƣời 6 quả một ngƣời khơng cũng có nghĩa là đang thiếu đi 6 quả )
Cách giải bài toán: Bài toán đã cho 2 đại lƣợng phụ thuộc vào nhau, đó là số ngƣời và số hồng. Cách giải tốn cũng có thể linh động chọn một trong hai đối tƣợng làm ẩn, và biểu thị đối tƣợng cịn lại thơng qua đối tƣợng đã chọn. Lƣu ý rằng hai đại lƣợng số hồng và số ngƣời là những đại lƣợng khơng đổi, để từ đó lập luận và tìm ra mối liên hệ giữa các đại lƣợng đã biết và chƣa biết (hay còn gọi là bƣớc lập phƣơng trình)
Gọi số ngƣời là ( ) Gọi số quả là ( )
Theo cách chia đầu, số hồng là: Theo cách chia sau, số hồng là: ( )
Theo cách chia đầu, số ngƣời là: Theo cách chia sau, số ngƣời là:
Vì số hồng là khơng đổi nên ( )
Vì cách chia sau có một ngƣời khơng đƣợc nên Trả lời:
Vậy số ngƣời là 11; số hồng là 60 quả
Trả lời:
Vậy số hồng là 60 quả ; số ngƣời là 11 Từ một tình huống TT, HS chƣa thể chuyển sang ngay ngơn ngữ tốn học, mà cần phân tích, đánh giá lại để tìm rõ đâu là nội dung chính cần giải quyết, bài tốn có mấy đại lƣợng, chúng liên hệ và phụ thuộc lẫn nhau nhƣ thế nào? Để làm rõ nội dung bài tốn, HS có thể kẻ bảng so sánh số liệu, ghi rõ đâu là đối tƣợng đã biết, đối tƣợng nào chƣa biết, nếu có một đối tƣợng đã biết thì các đối tƣợng cịn lại có phụ thuộc vào nó khơng, nếu phụ thuộc thì phụ thuộc nhƣ thế nào? có mối quan hệ ra sao?
Với mỗi cách xử lí của HS, có điểm mạnh, điểm hạn chế, quan trọng là GV hƣớng dẫn giúp HS đi đến đích theo cách nghĩ, cách hiểu và lập luận của HS. Đƣơng nhiên là có sự điều chỉnh nếu nội dung, cách làm bị lệch hƣớng, nhƣng quan trọng nhất là HS tự xây dựng mơ hình cho mình, tự chuyển hóa các nội dung thành bài tốn của mình, và định hƣớng để giải chúng. Tuy nhiên, muốn q trình này trơi chảy, liền mạch cần sự định hƣớng của GV, cũng nhƣ q trình luyện tập, tìm tịi của HS, khơng thể làm thành thục nếu bản thân HS chỉ ham thích nhất thời, và chỉ hời hợt qua một số bài tập đơn giản. Làm nhƣ vậy chƣa phát huy đƣợc tƣ duy cũng nhƣ tính tích cực của ngƣời học, và hạn chế sự đa dạng trong quá trình xây dựng các sơ đồ, bảng biểu. Để xác định mục đích của bài tốn, cần có những phƣơng hƣớng cụ thể, xây dựng MHH là cơ sở để tránh đƣợc sai lầm trong quá trình lập luận. Vì thế bài tốn trở nên sáng sủa, tƣờng minh, và từ đó HS nhìn nhận đƣợc cách giải
một cách thông suốt.
Với những vấn đề tƣơng tự, để mở mang khả năng diễn đạt, cũng nhƣ lập luận của HS, GV nên khuyến khích nhiều cách làm, nhiều cách lập luận, phát huy sáng tạo.
Ví dụ 2.9. Một ông vua muốn kiểm tra xem chiếc vƣơng niệm vàng của
mình, có bị thợ kim hồn pha thêm tạp chất (ví dụ nhƣ bạc) hay khơng ? Giả sử rằng nếu vƣơng niệm có trọng lƣợng là 5 niutơn, khi nhúng vào chậu nƣớc thì giảm trọng lƣợng 0,3 niutơn. Biết rằng trọng lƣợng của vàng giảm 1
20, bạc giảm 1
10 trọng lƣợng khi cùng cân trong nƣớc. Em hãy tính xem chiếc vƣơng niệm có bị độn bạc hay khơng? Nếu có thì độn bao nhiêu gam bạc? Qui ƣớc vật có khối lƣợng 0,1kg tƣơng đƣơng trọng lƣợng là 1 niu tơn. (vật có khối lƣợng 100 gam thì trọng lƣợng bằng 1 niutơn).
HS thiết lập bảng so sánh
Gọi trọng lƣợng bạc trong mũ là x (niutơn) (0 < x < 5). Trọng lƣợng vàng trong mũ là 5 - x (niutơn). Khi nhúng ngập trong nƣớc Trọng lƣợng bạc giảm Trọng lƣợng vàng giảm phƣơng trình là :
Trọng lƣợng bạc trong mũ là 1 niutơn. Vậy chiếc mũ chứa 100 gam bạc. Cần chú trọng cho HS giải thích ngơn từ và ngữ nghĩa để HS hiểu rõ bài tốn từ đó xây dựng MHH bài tốn chính xác. Đa số HS còn nhầm lẫn giữa ngữ nghĩa với cấu trúc các thuật ngữ tốn, vì vậy sử dụng kí hiệu thiếu chuẩn xác. Vậy nên GV nhấn mạnh để làm rõ và có cách hiểu đúng nội dung từ ngữ thì chuyển đổi ngơn ngữ thơng thƣờng sang ngơn ngữ tốn mới chính xác và việc làm tốn mới có hiệu quả.
Giáo viên cần chú ý cho học sinh sử dụng ngôn ngữ một cách chuẩn xác, vì hiểu nhầm một nội dung sẽ làm sai lệch bài tốn và khơng thể giải, hoặc giải ra đáp số sai. Cần phân biệt rõ các khái niệm gần giống nhau, chỉ khác ở trật tự sắp xếp nhƣ lập phƣơng một tổng, tổng hai lập phƣơng, hoặc lập phƣơng một hiệu, hiệu hai lập phƣơng. Cũng nhƣ vậy với các kí hiệu tƣơng đƣơng, kí hiệu suy ra… Cũng cần lƣu ý các dạng phƣơng trình đặc biệt nhƣ phƣơng trình chứa ẩn ở mẫu, các phƣơng trình có dạng tham số…
Một trong những sai lầm dễ mắc phải, khi học sinh giải toán về bất phƣơng trình, bất đẳng thức học sinh thƣờng nhầm lẫn hai khái niệm “dấu” và “chiều của bất đẳng thức” vì vậy có cách làm khơng chính xác. Để khắc phục đƣợc điều này, GV cần cho HS nghiên cứu kĩ các nội dung trong sách giáo khoa, và các ví dụ cụ thể để HS nhận biết rõ ràng. Nội dung giải bài tốn bằng cách lập phƣơng trình là một nội dung hay và đa dạng, vì thế với mỗi dạng bài, HS cần nhận rõ ẩn số, các đại lƣợng biểu thị thông qua ẩn số. Nên chọn đại lƣợng nào làm ẩn, để quá trình giải bài toán đƣợc thuận lợi, tránh tình trạng chọn nhiều ẩn, dẫn đến bài tốn trở nên phức tạp. Đảm bảo tính chuẩn xác cho nội dung kiến thức sử dụng.
Chỉ coi trọng kết quả bài toán, thiếu quan tâm lời dẫn giải, cách lập luận. Cũng là một trong những hạn chế của học trò, khi lập luận không chú ý đến thứ tự của vấn đề, dữ kiện nào có trƣớc, dữ kiện nào cho sau. Biểu thị sự tƣơng quan chặt chẽ và logic giữa các số liệu của bài tốn. Nếu khơng có sự định hƣớng của GV, HS sẽ giải thích tùy tiện, thiếu khoa học, dẫn đến thiếu chính xác.
Ví dụ 2.10. Một khách du lịch ở Đền Hùng nhận thấy để đi từ Thanh
Sơn đến Việt Trì cứ 45‟ có một chuyến cùng chiều, và 30‟ có một chuyến ngƣợc chiều. Giả sử rằng vận tốc các xe là nhƣ nhau, cùng khởi hành sau khoảng thời gian bằng nhau, và chạy liên tục không dừng. Hỏi cứ sau bao nhiêu phút thì các xe buýt lại lần lƣợt rời bến?
Đại số Số học
Gọi thời gian phải tìm là x (phút). Thời gian ngƣời khách du lịch đi từ Thanh Sơn đến Việt Trì là (phút).
Giải sử ngƣời du lịch đi từ Thanh Sơn đến Việt Trì trong vịng 90 phút rồi đi từ Việt Trì về Thanh Sơn trong vịng 90 phút nữa thì ngƣời đó gặp 90 : 3 = 3 xe đi ngƣợc chiều (đi từ Việt Trì đến Thanh Sơn) và 90 : 45 = 2 xe đi cùng chiều( đi từ Việt Trì về Thanh Sơn)
Xét các xe buýt đi theo chiều từ Việt Trì đến Thanh Sơn :
Trong phút đi từ Thanh Sơn đến Việt Trì ngƣời đó gặp
xe ngƣợc chiều chạy lại, trong phút đi từ Việt Trì đến Thanh Sơn ngƣời đó gặp
xe cùng chiều vƣợt qua (đi từ Việt Trì đến Thanh Sơn).
Trong 2a phút có
xe đi qua Thanh Sơn theo chiều từ Việt Trì đến Thanh Sơn . Phƣơng trình Vậy cứ 180 phút có 3 + 2 = 5 xe đi từ Việt Trì đến Thanh Sơn qua Thanh Sơn. Do đó cứ 180 : 5 = 36 phút lại có hai xe cùng chiều rời bến.
Trả lời : Sau khoảng 36‟ các xe rời bến.
bài tốn, và cách lập luận để HS tìm lời giải, giúp vốn từ, cách lập luận, trình bày đƣợc logic và chặt chẽ. HS thƣờng dè dặt trong việc sử dụng các lập luận số học để giải bài toán, việc chia bảng để hiểu rõ hơn cách chuyển sang kí hiệu, cơng thức. GV cần định hƣớng cho HS nắm đƣợc nội dung vấn đề, qua đó diễn tả lại một cách phong phú, có nhƣ vậy nhận thức của HS sẽ nâng cao hơn. Nếu đơn thuần chỉ để HS phát biểu một phƣơng án thì sẽ hạn chế năng lực tƣ duy. Tuy vậy việc phát biểu của học trò cũng cần lƣu ý diễn đạt sao cho ngắn gọn và chính xác. Một trong những phƣơng pháp dạy học là đa dạng hóa cách giải cho một bài tốn cũng là hƣớng phát triển tƣ duy cho học sinh, tránh tình trạng chỉ có cách hiểu duy nhất cho tình huống, cách giải kiểu rập khn, thiếu linh hoạt trong suy luận.