Chƣơng 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3. Hình thành năng lực toán học theo hƣớng gắn với lí thuyết RME
1.3.3. Quy trình mô hình hóa
Sơ đồ về quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) là “một trong những sơ đồ đầu tiên biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tế theo cả hai chiều khi thực hiện mô hình hóa” (trích theo [12], tr. 26-27). Trong sơ đồ này ta thấy “từ một mô hình trong thực tế, ngƣời mô hình hóa thực hiện “phiên dịch” sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán, rồi giải bài toán trong mô hình đó và áp dụng kết quả đối với tình huống ban đầu. Chiều của các mũi tên biểu hiện một vòng lặp, cho phép đi quanh sơ đồ giữa thực và thế giới toán học nhiều lần”.
Hình 1.2: Sơ đồ quá trình mô hình hóa (Pollak, 1979)
“Mô hình hóa các tình huống thực tế trong dạy học toán sử dụng các công cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến nhƣ công thức, thuật toán, phƣơng tình, bảng biểu, biểu tƣợng, đồ thị, kí hiệu,… gồm 4 giai đoạn sau đây:
Giai đoạn 1: quan sát hiện tƣợng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố quan trọng (nhƣ biến cố, tham số) có tác động đến vấn đề đó;
Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học. Từ đó phác họa mô hình toán học tƣơng ứng.
Giai đoạn 3: Áp dụng các phƣơng pháp và công cụ toán học phù hợp để mô hình hóa bài toán và phân tích mô hình.
Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đƣa ra kết luận”.
Tuy nhiên, chúng ta có thể mô tả quá trình mô hình hóa một vấn đề nào đó thƣờng xảy ra qua ba giai đoạn sau:
- Xây dựng mô hình: Đầu tiên ta sẽ đi tìm những sự vật, hiện tƣợng đại diện hay những vấn đề tƣơng tự. Ở giai đoạn này chúng ta cần vận dụng trí tƣởng tƣợng cũng nhƣ trực giác để loại bỏ những thông tin không cần thiết của vấn đề nghiên cứu và thay bằng một “ hình mẫu” mang những tính chất, những mối quan hệ chủ yếu. “Hình mẫu” chỉ có trong óc và căn cứ vào đó,
ngƣời ta xây dựng mô hình thật (nếu nhƣ ngƣời đó sử dụng mô hình vật chất) hoặc liên tƣởng tới những mô hình đã sẵn có.
- Nghiên cứu trên mô hình: Ở giai đoạn này, đối tƣợng ở đây chính là mô hình. Các phƣơng pháp, lí thuyết và thực nghiệm đƣợc tiến hành nghiên cứu dựa trên chính đối tƣợng.
- Xử lí kết quả và điều chỉnh mô hình: Trong giai đoạn này, kết quả thu đƣợc trên mô hình đƣợc chuyển về đối tƣợng nghiên cứu để đối chiếu, làm cơ sở cho việc điều chỉnh mô hình.
Quy trình mô hình hoá đƣợc xem là khép kín vì nó đƣợc dùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại đƣợc dùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn, minh họa quy trình trên bằng sơ đồ dƣới đây:
Hình 1.3: Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991)
Hình 1.4: Quy trình mô hình hóa (theo Swetz & Hartzler, 1991)
Để vận dụng linh hoạt quy trình trên, trong quá trình dạy học, giáo viên nên hƣớng dẫn học sinh nắm đƣợc các yếu tố cụ thể của từng bƣớc sau đây trong quá trình mô hình hóa các bài toán:
- Bƣớc 1: (Toán học hóa): Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết đơn giản hóa vấn đề, mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học. Đây là quá trình chuyển các vấn đề từ thực tiễn sang toán học bằng cách tạo ra các mô hình toán học tƣơng ứng của chúng. Quá trình này đòi hỏi phải hiểu vấn đề, có thể là vấn đề mở hoặc có độ phức tạp khác nhau. Lập các giả thuyết đơn giản hóa vấn đề để có thể giải đƣợc bài toán. Xác định các khái niệm toán học liên quan, các biến số, biểu diễn vấn đề bằng ngôn ngữ toán học và lập mô hình toán học nhƣ bảng biểu, hình vẽ, đồ thị, hàm số hay phƣơng tình công thức toán học.
- Bƣớc 2: (Giải bài toán): Sử dụng các công cụ và phƣơng pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề hay bài toán đã đƣợc toán học hóa. Yêu cầu học sinh lựa chọn, sử dụng các phƣơng pháp và công cụ toán học để thành lập và giải quyết vấn đề sử dụng ngôn ngữ toán học. Ở giai đoạn này công
nghệ thông tin sẽ hỗ trợ học sinh phân tích dữ liệu, thực hiện tính toán phức tạp và đƣa ra đáp số của bài toán.
- Bƣớc 3: (Thông hiểu): Hiểu ý lời giải của bài toán đối với tình huống thực tiễn (bài toán ban đầu), trong đó cần nhận ra đƣợc những hạn chế và khó khăn có thể khi áp dụng kết quả này vào tình huống thực tiễn.
- Bƣớc 4: (Đối chiếu): Xem xét lại các giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng nhƣ lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phƣơng pháp toán học đã sử dụng toán học đã sử dụng, đối chiếu với thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng. Đây là giai đoạn đòi hỏi học sinh có hiểu biết rõ về các công cụ toán học cũng nhƣ việc sử dụng nó để giải quyết các vấn đề nảy sinh trong cuộc sống. Từ đó, xem lại các phƣơng pháp và công cụ toán học đã sử dụng; xem lại các giả thuyết, hạn chế của mô hình và tiến tới cải tiến mô hình cũng nhƣ lời giải của bài toán”.
Trong phần lớn các sơ đồ đều tập trung vào khám phá các giai đoạn tồn tại trong quá trình và một đại diện điển hình là sơ đồ của Blum và Lei (2006) gồm 7 bƣớc để mô tả quá trình giải quyết một nhiệm vụ mô hình hóa. Sơ đồ này là nền tảng cho hoạt động mô hình hóa và cho cả những sơ đồ khác hiện hành. Điểm khác biệt của sơ đồ này là sự tách biệt giữa mô hình tình huống với tình huống thực tiễn và mô hình thực bởi vì Blum cho rằng đây là một giai đoạn quan trọng của quá trình mô hình hóa mà mỗi học sinh ít nhiều đều phải trải qua.
Hình 1.5: Quá trình mô hình hóa (theo Blum và Lei, 2006, [42])
Trong sơ đồ trên, ta có thể thấy:
-“ Bƣớc 1: Hiểu tình huống thực tế đã cho, xây dựng một mô hình hóa cho tình huống đó, khám phá tình huống, thiết lập mục tiêu của bài toán.
- Bƣớc 2: Đơn giản hóa tình huống và đƣa vào các biến phù hợp để đƣợc mô hình thực của tình huống; xác định các biến trong tình huống và lực chọn các biến quan trọng mô tả tình huống.
- Bƣớc 3: Chuyển từ mô hình thực sang mô hình toán; thiết lập mô hình bằng cách tạo và lựa chọn cách biểu diễn hình học, bảng biểu, đồ thị, đại số, thống kê mô tả mối quan hệ giữa các biến số.
- Bƣớc 4: Làm việc trong môi trƣờng toán học để đạt đƣợc kết quả toán; phân tích và biểu thị các mối quan hệ để rút ra kết luận, nếu mô hình chƣa thiết lập đƣợc cần lựa chọn lại các biểu số đƣợc sử dụng.
- Bƣớc 5: Thể hiện (hiểu) kết quả trong ngữ cảnh thực tế.
- Bƣớc 6: Xem xét tính phù hợp của kết quả hoặc thực hiện quá trình lần 2. - Bƣớc 7: Áp dụng mô hình cho những tình huống tƣơng tự”.
Tóm lại, tuân theo quy trình và các bƣớc cụ thể trên, học sinh cần xuất phát từ tình huống thực tiễn, diễn đạt vấn đề thực tiễn trên bằng lời (lập giả thuyết, công thức, phƣơng trình,…); sau đó sử dụng công cụ toán học để
giải toán và hiểu ý nghĩa của lời giải bài toán đối với thực tiễn. Cuối cùng, học sinh xem xét lại mô hình (hoặc chấp nhận mô hình), diễn đạt lại bài toán ban đầu (hoặc thông báo kết quả) và tìm hiểu những hạn chế và khó khăn có thể gặp phải khi áp dụng kết quả của bài toán vào tình huống thực tiễn. Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa ở trên luôn tuân theo một cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và dễ hiểu hơn đối với học sinh ở trƣờng phổ thông. Cơ chế điều chỉnh trên gồm các bƣớc cụ thể nhƣ sau:
- “Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế”;
- “Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đƣa ra”; - Lựa chọn và sử dụng hiệu quả phƣơng pháp giả quyết vấn đề và quá trình mô hình hóa;
- Lựa chọn và sử dụng các mô hình toán học phù hợp với thực tế cũng nhƣ xem xét đến các khả năng của nó;
- Tìm hiểu các ƣu và khuyết điểm của mô hình đã đƣa ra, sau đó thay đổi cho mô hình phù hợp với thực tiễn;
- Hiểu đƣợc ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế có độ phức tạp cao hơn;
Hình 1.6: Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa